1610915346-ca3c42683bad539de2fd15cb675d150f (824739), страница 55
Текст из файла (страница 55)
Рассматриваются в основном множества на плоскости, но все сказанное легко переносится на случай прямой и трехмерного пространства.91]§ 9. Мера и теория интегрирования377Мы будем пользоваться геометрической терминологией (точка,линия, область и т. д.), но в основе будет лежать арифметизированная плоскость, в которой точка определяется парой чисел (x, y) —координатами.Назовем ε-окрестностью точки M (a, b) круг с центром M и радиусом ε, т. е.
множество тех точек (x, y), координаты которых удовлетворяют неравенству(x − a)2 + (y − b)2 < ǫ2 .Будем рассматривать множество точек на плоскости, содержащиеконечное или бесконечное число точек. В первом случае множествоназывается конечным, а во втором — бесконечным. Пусть E — бесконечное множество. Введем некоторые важные для дальнейшегопонятия. Точка M называется предельной точкой множества E, если любой ε-окрестности M принадлежит бесконечное число точекE. Сама точка M может как принадлежать, так и не принадлежатьE. Конечное множество, очевидно, не имеет предельных точек.Множество E называется ограниченным, если все его точки принадлежат некоторому квадрату: a 6 x 6 b, c 6 y 6 d (b − a = d − c)со сторонами, параллельными осям. В следующем номере мы покажем, что всякое бесконечное ограниченное множество имеет покрайней мере одну предельную точку.
Множество E, содержащеевсе свои предельные точки, называется замкнутым множеством.Если E не имеет предельных точек, то его также естественно называть замкнутым. Точка M , принадлежащая E, называется внутренней точкой E, если этому множеству принадлежит все точкинекоторой ε-окрестности точки M . Открытым множеством называется множество E, все точки которого суть внутренние точки,и областью (открытой областью) — такое открытое множество E,что любые две точки E можно соединить ломаной линией (состоящей из конечного числа отрезков прямых), все точки которой принадлежат E. Отметим, что иногда вместо термина «открытое множество» применяют термин «область», и при этом вышеуказанныйтермин «область» заменяют термином «связная область». Мы будем применять указанную выше терминологию.Внутренние точки квадрата 0 < x < 1, 0 < y < 1 образуютобласть, а внутренние точки двух квадратов, не имеющих общих378Гл.
III. Кратные и криволинейные интегралы. . .[91точек, образуют открытое множество, но не область. Вся плоскостьE2 есть одновременно и замкнутое и открытое множество. Назовемграницей открытого множества множество l точек M ′ , обладающих следующим свойством: сама точка M ′ не принадлежит E, ноявляется предельной для E точкой. Отметим, что всякая точка M ,принадлежащая открытому множеству E, является и предельнойдля E, ибо все точки некоторой ε-окрестности M принадлежат E.Покажем, что l — замкнутое множество. Пусть N — предельнаяточка l.
Надо доказать, что N принадлежит l. По определениюпредельной точки в любой ε-окрестности N находятся точки l, апотому и точки E, ибо l — граница E. Но точка N не принадлежитE, ибо все точки E — внутренние. Таким образом, N — предельнаяточка E, не принадлежащая E, т. е. N принадлежит l, что и требовалось доказать. Если присоединить к открытому множеству E егограницу l, то полученное множество E, как нетрудно показать, замкнуто. Переход от E к E обычно называется замыканием E.
Замыкание открытого квадрата 0 < x < 1, 0 < y < 1 приводит кзамкнутому квадрату 0 6 x 6 1, 0 6 y 6 1. Отметим, что все точки l или некоторые из них могут стать внутренними точками E. Этобудет иметь место, например, если E — все точки плоскости, крометочек окружности x2 +y 2 = 1. При этом E есть вся плоскость. ЕслиE есть круг x2 + y 2 < 1 с исключенным радиусом из точки (0, 0) вточку (1, 0), т.
е. с исключенными точками (x, 0), где 0 6 x < 1, тоE есть весь замкнутый круг x2 6 1. Точки исключенного радиусастали внутренними точками E. Если E — область, то E называютчасто замкнутой областью.Введем еще некоторые понятия, связанные с любым множеством точек плоскости. Назовем производным множеством E ′множества E совокупность всех предельных точек E. Как и выше для l, можно доказать, что всякое производное множество E ′ —замкнуто. Пусть E1 — множество всех точек плоскости, не принадлежащих E.
Оно называется обычно дополнительным для E. Границей l любого множества E называется множество точек, принадлежащих одному из множеств E или E1 и производной другого,т. е. E и E ′ или E1 и E ′ . Для открытого множества это определениеграницы равносильно приведенному выше.Дадим и другое определение любого множества E, равносиль-92]§ 9. Мера и теория интегрирования379ное, как нетрудно показать, указанному выше. Назовем точку Mиз E изолированной точкой E, если существует ε-окрестность M ,не содержащих точек E, отличных от M . Границей l множестваE назовем множество изолированных точек E и тех предельныхточек E, которые не являются внутренними точками этого множества. Можно, как и выше, показать, что l — замкнутое множество.Точки l могут как принадлежать, так и не принадлежать к E.
Если присоединить l к E, то получим замкнутое множество E. Этодоказывается, как и выше, для открытого множества.92. Основные теоремы. Докажем две теоремы, связанные свведенными понятиями.Т е о р е м а 1. Всякое бесконечное, ограниченное множествоимеет по крайней мере одну предельную точку.В силу ограниченности множества E все его точки принадлежат некоторому квадрату: a 6 x 6 b, c 6 y 6 d, который мы будемобозначать символом [a, b; c, d]. Разделим этот квадрат на четыреравных квадрата.
По крайней мере один из них [a1 , b1 ; c1 , d1 ] содержит бесчисленное множество точек из E. Квадрат [a1 , b1 ; c1 , d1 ]опять разделим на четыре равных квадрата, и по крайней мереодин из них содержит бесчисленное множество точек из E, и т. д.Мы имеем, таким образом, две бесконечные последовательности замкнутых промежутков(a, b), (a1 , b1 ), (a2 , b2 ), . . . , (an , bn ), . .
. ,(c, d), (c1 , d1 ), (c2 , d2 ), . . . , (cn , dn ), . . . ,и в каждой из них следующий промежуток есть половина предыдущего. Последовательность an есть неубывающая последовательность, а bn — невозрастающая, и обе последовательности ограничены. Таким образом, an и bn имеют предел при n → ∞. Но разностьbn − an = b−a2n → 0 при n → ∞, и следовательно an и bn имеют одини тот же предел: an → p и bn → p при n → ∞.
Совершенно аналогично, cn → q и dn → q при n → ∞, и точка M c координатами(p, q) есть, как нетрудно видеть, предельная точка для E.Поскольку в любой ε-окрестности предельной точки M находится бесконечное число точек E, мы можем выбрать такую беско-380Гл. III. Кратные и криволинейные интегралы. . .[92нечную последовательность различных точек Mn (pn , qn ) из E, чтоMn → M , т. е. pn → p и qn → q. Итак, если E имеет предельную точку M , то существует бесконечная последовательностьразличных точек Mn из E, стремящихся к M . Бесконечное множество, состоящее из точек Mn с координатами xn = n, yn = n(n =1, 2, . . .), не имеет предельных точек (это множество — не ограничено).Пусть E и E1 — какие-либо множества точек.
Берем всевозможные расстояния M N любой точки M из E и любой точки N из E1 .Полученное множество неотрицательных числе M N имеет некоторую точную нижнюю границу δ > 0 [I, 42]. Это число δ называется расстоянием между множествами E и E1 . Если эти множества имеют хотя бы одну общую точку, то, очевидно, δ = 0.Но это равенство может иметь место и для множеств без общихточек.Т е о р е м а 2. Если E и E1 — замкнутые ограниченные множества без общих точек, то расстояние δ между ними положительно.Доказываем от обратного.
Пусть δ = 0. Из определения точнойнижней границы следует, что при этом должна существовать такая последовательность точек Mn из E и Nn из E1 , что расстоянияMn Nn → 0 при n → ∞. Отметим, что среди точек Mn и средиточек Nn могут быть и совпадающие. Возможны два случая: илисреди Mn бесчисленное множество различных точек, или таких точек лишь конечное число, и то же возможно и для Nn . Пусть дляMn и Nn имеет место первый случай.
В силу ограниченности E итеоремы 1 можно утверждать, что множество Mn имеет по крайней мере одну предельную точку, и мы оставим только те отрезкипрямых Mn Nn , в которых Mn стремится к некоторой предельнойточке M при беспредельном возрастании значка. Из этой подпоследовательности выделим новую так, чтобы и последовательность Nnстремилась к некоторой предельной точке N . Нумеруя полученнуюбесконечную последовательность опять целыми положительнымизначками, можем считать, что в последовательности Mn Nn и Mnи Nn стремятся к предельным точкам M и N при n → ∞. В силузамкнутости E и E1 , можем утверждать, что M принадлежит E, аN принадлежит E1 .
С другой стороны, из Mn Nn → 0 следует, что92]§ 9. Мера и теория интегрирования381M и N совпадают, а это противоречит тому, что E и E1 не имеютобщих точек.Переходим ко второму случаю. Пусть он имеет место для Mn .При этом имеется бесчисленное множество совпадающих Mn . Сохраняя лишь те пары Mn и Nn , где Mn совпадают с некоторой точкой M , получим, сохраняя прежнюю нумерацию, последовательность отрезков M Nn , где M из E и Nn из E1 . Среди точек Nn неможет быть бесчисленного множества одинаковых, ибо M Nn → 0,а E и E1 не имеют, по условию, общих точек.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
