1610915346-ca3c42683bad539de2fd15cb675d150f (824739), страница 54

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 54)

Выключаем эту сторону узенькой вертикальной полоской, т. е.370Гл. III. Кратные и криволинейные интегралы. . .[90интегрируем по прямоугольнику (σε ), ограниченному прямыми: x = ε,x = 1, y = 0, y = 1 (ε > 0):ZZZ1ydxdy√=x0(σε )ydyZ1√dx√ = 1 − ε,xεи при ε → 0 будем иметь предел, равный единице, т. е. наш интегралсходится и равен единице.3.

Притяжение, оказываемое массой на точку, расположенную внеили внутри ее (рис. 74). Пусть масса притягиваемой точки C(x, y, z) естьединица. Разобьем притягивающее тело (v) на элементымассы ∆m и в каждом изних возьмем точку M (ξ, η, ζ).Обозначив через r расстояние CM , мы получаем для веvличины притяжения точки Cэлементом ∆m приближенноевыражение (сосредоточив всюмассу ∆m в точке M )∆m,r2Рис.

74причем постоянную тяготения мы считаем равной единице. Так как указанная сила притяженияимеет направление отрезка CM , то проекции этого элементарного притяжения на координатные оси будут:∆m ξ − x,r2r∆m η − y,r2r∆m ζ − r.r2rПроекции же полного притяжения будут иметь приближенные выраженияX∼X ξ−x∆m,r3Y ∼X η−y∆m,r3Z∼X ζ−z∆m.r3Обозначив через µ(ξ, η, ζ) плотность массы в точке M , мы приближенно имеем∆m ∼ µ∆v,90] § 8. Несобственные интегралы и интегралы, зависящие от. .

.371и окончательно, увеличивая число элементов и уменьшая беспредельнокаждый из них:ZZZZZZZZZη−yζ −zξ−xµ 3 dv, Z =µ 3 dv.(66)X=µ 3 dv, Y =rrr(v)(v)(v)Обращаем внимание на то, что в написанных интегралах переменными интегрирования являются координаты (ξ, η, ζ) переменной точки Mобласти (v), и плотность µ(ξ, η, ζ) является функцией этих переменных.Координаты (x, y, z) точки C входят под знак интеграла как непосредственно в числители, так и через посредствоpr = (ξ − x)2 + (η − y)2 + (ζ − z)2 ,и являются параметрами, так что величины X, Y и Z суть функции x,y и z.Если точка C находится вне притягивающей массы, величина r никогда не обращается в нуль, и мы будем иметь дело с обыкновеннымиинтегралами.

Если же точка C попадает внутрь массы, то подынтегральные функции в выражениях (66) обращаются в бесконечность при совпадении переменной точки интегрирования M с C, и мы имеем дело снесобственными интегралами. Они, однако, наверно имеют смысл, еслимы будем считать, что µ есть непрерывная функция, ибо, назвав черезµ0 верхнюю границу значений функции |µ|, мы получим η −y ζ − z ξ − x 1 ξ − xµ0µ0µ0 < 2 , µ 3 < 2 , µ 2 < 2 , (67)µ 3 = µ 2rrrrrrrrчисло p предыдущего правила в данном случае равно 2 и A = µ0 .Тем более будет иметь смысл и интегралZZZµdv,U=r(68)(v)выражающий потенциал рассматриваемой массы в точке C.

(С этимпонятием мы познакомимся подробнее ниже.)4. Мы имеем очевидные формулы∂rη−y∂rξ−z∂rξ−x=− ,=− ,=− ,r∂xr∂yr∂zξ−x1 ξ − x ∂ 1 η − y∂ 1 ξ − z∂ 1=−−=,=,=,r3r2r∂x rr3∂y rr3∂z r372Гл. III. Кратные и криволинейные интегралы. . .[90а потому интегралы (66) можно переписать в виде:ZZZZZZ∂ 1∂ 1X=µdv, Y =dv,µ∂x r∂z r(v)Z=ZZZ(v)(v)∂ 1dv,µ∂z rт. е. эти интегралы получаются путем дифференцирования интеграла(68) по x, y и z под знаком интеграла. Дифференцирование производитсяпо координатам точки (x, y, z), в которой подынтегральная функция терпит разрыв, и рассматриваемый случай не подходит под тот случай, длякоторого были установлены выше [87] теоремы, касающиеся непрерывности и возможности дифференцирования под знаком интеграла.

Дальшемы увидим, что при условии непрерывности µ(ξ, η, ζ) интегралы X, Y, Zсуть непрерывные функции (x, y, z) во всем пространстве, U — непрерывная функция с непрерывными частными производными первого порядка,а эти производные могут быть получены дифференцированием интеграла (68) под знаком интеграла, т. е.X=∂U,∂xY =∂U,∂yZ=∂U.∂zДифференцируя потенциал U второй раз по x, y и z под знаком интеграла и помня, что µ(ξ, η, ζ) не зависит от (x, y, z), получимZZZZZZ∂2 1 ∂2 1 ∂2U∂2U=µdv,=µdv,∂x2∂x2 r∂y 2∂y 2 r(v)2∂ U=∂z 2ZZZ(v)(v)∂ 1µ 2dv.∂z r2.(69)Эти формулы справедливы только в том случае, если точка C(x, y, z)находится вне притягивающих масс, т.

е. вне (v). При этом все интегралы — собственные. Если же C внутри (v), то двукратное дифференцирование 1/r даст, как нетрудно проверить непосредственным дифференцированием:3(ξ − x)21∂2 1 3(η − y)21 ∂2 1 =−,=−,∂x2 rr5r3∂y 2 rr5r3(70)22 13(ζ − z)1∂=− 3,∂z 2 rr5r90] § 8. Несобственные интегралы и интегралы, зависящие от. . .373и к интегралам (69) не будет уже применим признак сходимости из [90],т. е. если C внутри (v), то вторые производные от потенциала U нельзяопределять, два раза дифференцируя под знаком интеграла.Складывая равенства (70), будем иметь∂2 1 ∂2 1 ∂2 1 ++=∂x2 r∂y 2 r∂z 2 r33[(ξ − x)2 + (η − y)2 + (ζ − z)2 ]− 3 = 0,=r5rи, следовательно, складывая равенства(69), справедливые, если C вне (v), получим уравнение∂2U∂2U∂2U++= 0.22∂x∂y∂z 2(71)Итак, потенциал объемных масс U (x, y, z)удовлетворяет уравнению (71) в точкахC(x, y, z), находящихся вне этих масс.

Вдальнейшем мы выясним, как надо изменить это уравнение, если точка C находится внутри масс.Рис. 75.5. Рассмотрим случай однородногошара радиуса a (µ — постоянно). Направим ось OZ по прямой OC, гдеO — центр шара (рис. 75), и введем сферические координаты (ρ, θ, ϕ):U=ZZZdv=µµr0(v)Но очевидноZ2π Zπ Za0ρ2 sin θdϕ dθ dρ.r(72)0r 2 = ρ2 + z 2 − 2ρz cos θ.(73)Мы выполним сперва интегрирование по θ:Zπsin θdθ.r0Введем вместо θ переменную r, причем ρ и ϕ считаются постоянными.Здесь придется различать два случая: если z > ρ, то при постоянных ρ иϕ и при изменении θ от 0 до π величина r меняется от (z − ρ) до (z + ρ).374Гл.

III. Кратные и криволинейные интегралы. . .[90Если же z < ρ, то r меняется от (ρ − z) до (ρ + z) (рис. 76). Сверх того,в силу (73) при постоянных ρ и ϕ:drsin θdθ=.rρzrdr = ρz sin θdθ,Итак, оказываетсяZπ0 z+ρZdr2=ρzz z−ρsin θdθ=ρ+zrZ2dr=ρzρ(z > ρ)(z < ρ).ρ−zПодставляя это в (72), мы должны различить два случая:1. Точка C находится вне сферы или на ее поверхности; тогда a 6 z,и в промежутке (0, a) все значения ρ 6 z; в этом случае мы имеемU =µZ2π0dϕZa4πa3 µm2ρ2 dρ== ,z3z2(74)0где m есть полная масса шара.2. Точка C находится внутри сферы (рис.

76); здесь промежуток (0, a)нужно разбить на два: (0, z) и (z, a), и мыполучимU =µZ2π0h Zz 2ρ2 dρ Za 2ρ2 dρ i+=dϕzρ0z1 = 2πµ a2 − z 2 ; (75)3при z = a, т. е. когда точка находится на поверхности шара, обе формулы (74) и (75) дают одинаковую величину для U , что доказыРис. 76.вает непрерывность функции U . Переходимк вычислению притяжения. В силу симметрии, оно должно быть направлено по оси OZ, так что нужно вычислитьтолько∂U.Z=∂z90] § 8. Несобственные интегралы и интегралы, зависящие от. . .375Когда точка C находится вне шара, мы пользуемся формулой (74):m(76)Z = − 2;zкогда же точка C находится внутри шара, применяем формулу (75):4Z = − πµz.3(77)При z = a обе формулы (57) и (58) совпадают, что доказывает непрерывность притяжения Z.Формулы (74), (76), (77) показывают, что потенциал и притяжение однородного шара в точке вне шара можно получить, сосредоточиввсю массу шара в его центре.

Притяжение же в точке внутри шарапропорционально расстоянию притягиваемой точки от центра шара.Для простоты вычислений мы выбрали оси координат специальнымобразом, направив ось OZ в точку C, так что в предыдущих формулахz есть расстояние точки C до центра сферы. При любом расположенииp координатных осей с началом в центре сферы надо заменить z наx2 + y 2 + z 2 , где (x, y, z), как всегда, координаты точки C. Формулы(74) и (75) дадутm(C вне сферы),U= px2 + y 2 + z 2ih1(C внутри сферы).U = 2πµ a2 − (x2 + y 2 + z 2 )3Первое из выражений для U очевидно удовлетворяет уравнению (71).Дифференцируя второе выражение два раза по x, y и z получим∂2U∂2U∂2U++= −4πµ22∂x∂y∂z 2(C внутри сферы).(78)Как мы увидим в дальнейшем, это уравнение оказывается справедливым и для любого объема (v) с переменной плотностью, если C находитсявнутри (v).6. Положим, что притягивающие массы распределены по поверхности (S) с поверхностной плотностью µ(M ), которая является функциейпеременной точки M поверхности (S).

Обозначая, как и выше, черезC(x, y, z) притягиваемую точку с массой единица и через r расстояние|CM |, получим для потенциала U выражениеZZµ(M )dS(79)U=r(S)376Гл. III. Кратные и криволинейные интегралы. . .и для проекций притяженияZZ∂U∂ 1X==µ(M )dS;∂x∂x r(S)∂U=Z=∂zZZ(S)Y =∂U=∂yZZ(S)∂ 1µ(M )dS.∂z rµ(M )[91∂ 1ds,∂y rПотенциал (79) называется обычно потенциалом простого слоя. Выше мы рассматривали тот случай, когда C находился не на (S) (внутриили вне (S)), так что все интегралы собственные.

При этом потенциал(79) удовлетворяет, как и в примере 4, уравнению (71).§ 9. МЕРА И ТЕОРИЯ ИНТЕГРИРОВАНИЯ91. Предварительные понятия. При изложении теории простого и кратного интегралов мы исходили из интуитивного представления площади и объема. В настоящем параграфе мы дадимобоснование этих понятий и строгое изложение основ теории кратных интегралов. Отсюда будет, естественно, следовать и теорияпростого (однократного) интеграла. Теория измерения длин, площадей и объемов называется обычно общим термином — теориямеры. Сначала мы изложим более элементарную теорию меры —так называемую меру Жордана (французский математик второйполовины ХIХ — начала ХХ в.), связанную с понятием интегралаРимана, которым мы пользовались в настоящей главе. В настоящеевремя она уже не играет большой роли в математическом анализеи мы приводим ее для того, чтобы дать законченное теоретическоеизложение интеграла Римана.Далее мы переходи к теории меры Лебега (французский математик первой половины ХХ в.), которая связана с новым понятиеминтеграла — с интегралом Лебега.Этот и следующий номера содержат некоторые сведения о множествах точек, необходимые как для теории Жордана, так и длятеории Лебега.

Характеристики

Список файлов книги