1610915346-ca3c42683bad539de2fd15cb675d150f (824739), страница 53
Текст из файла (страница 53)
Пусть f (M ) — непрерывна в конечной области (σ) за исключением точки C, в окрестностикоторой f (M ) не ограничена. Пусть (∆) — малая область, содержащая C внутри себя. Исключим из (σ) ту ее часть, которая принадлежит (∆), а оставшуюся часть обозначим (σ − ∆). СуществуетинтегралZZf (M )dσ.(σ−∆)364Гл. III. Кратные и криволинейные интегралы. .
.[89Если при беспредельном сужении (∆) к точке C этот интегралстремится к определенному пределу, не зависящему от того, каким именно образом (∆) сужается к C, то этот предел и называютнесобственным интегралом от f (M ) по (σ) (C может быть на границе σ):ZZZZf (M )dσ = lim(σ)f (M )dσ.(60)(σ−∆)Дальше будем считать (это не существенно), что ∆ пробегает пронумерованную последовательность (∆n ) (n = 1, 2, .
. .), сжимающуюся к C. Точнее говоря: C лежит внутри всех (∆n ), причем (∆n+1 )принадлежит (∆n ) при любом n и (∆n ) принадлежит кругу с центром C и радиусом εn , причем εn → 0 при n → ∞.Положим сначала, что f (M ) > 0. При этом последовательностьчиселZ Zxn =f (M )dσ (n = 1, 2, . .
.)(σ−∆n )не убывает при возрастании n и, следовательно, или имеет некоторый конечный предел I, или стремится к (+∞). Покажем, что тоже будет иметь место и для всякой другой последовательности (δn )областей, сужающихся к C:Z Zyn =f (M )dσ,(σ−δn )т. е. если xn → I то и yn → I, а если xn → +∞, то и yn → +∞.Пусть xn → I. При этом xn 6 I и при любом заданном ε > 0существует такое целое положительное N , что xn > I −ε при n > N.Рассмотрим какое либо (δn ). Существует, очевидно, такое n′ что(∆n′ ) принадлежит (δn ), так что yn 6 xn′ 6 I, т. е. yn 6 I при всехn. Далее, существует такое N ′ что (δm ) при m > N ′ принадлежит∆N и при m > N ′ имеем ym > xN > I − ε, откуда и следует, чтоyn → I при n → ∞.Совершенно аналогично доказывается, что если для одной изпоследовательностей (∆n ) имеем xn → +∞, то и yn → +∞ длявсякой другой последовательности.
В первом случае, т. е. если для89] § 8. Несобственные интегралы и интегралы, зависящие от. . .365некоторой последовательности xn → I, то интеграл по (σ) сходитсяи его величина равна I, а во втором случае он расходится.Если F (M ) 6 0 в окрестности C, то, вынося минус за знакинтеграла, придем к предыдущему случаю.
Положим теперь, чтоf (M ) бывает разных знаков. В этом случае мы будем рассматривать только абсолютно сходящиеся интегралы, т. е. такие интегралы, чтоZZ|f (M )|dσ(61)(σ)имеет смысл, т. е. сходится. В нем подынтегральная функция уженеотрицательна, и к нему применимы предыдущие замечания. Вчастности, из этих замечаний следует, что если f1 (M ) и f2 (M ) —две положительные функции, f1 (M ) 6 f2 (M ) и интеграл от f2 (M )сходится, то интеграл от f1 (M ) и подавно сходится. Нашу функцию f (M ) можно представить в виде разности двух положительных функций: f (M ) = |f (M )| − [|f (M )| − f (M )]. Интеграл (61)по условию сходится. Тем самым сходится интеграл от функций2|f (M )|. Функция [|f (M )| − f (M )] равна 2|f (M )| в тех точках,где f (M ) 6 0, и равна нулю, где f (M ) > 0, т.
е. положительнаяфункция |f (M )| − f (M )| 6 2|f (M )|, и, следовательно, интегралот нее тоже сходится. Но тогда сходится и интеграл от разности|f (M )| − [|f (M )| − f (M )], т. е. от f (M ). Итак, если интеграл (61)сходится, то сходится и интеграл от f (M ).Укажем одно достаточное условие сходимости интеграла (61):если в окрестности точки C функция удовлетворяет условию|f (M )| 6 rAp , где r — расстояние от C до переменной точки M ,A и p — постоянные и p < 2, то интеграл (61) сходится.Доказательство этого условия такое же, что и приведенное далеедоказательство аналогичного условия для случая неограниченнойобласти интегрирования.Совершенно аналогичным образом определяется несобственныйтрехкратный интеграл по конечной области (v), если f (M ) становится неограниченной в окрестности некоторой точки C, и всепредыдущие рассуждения годятся и для такого интеграла.
Только высказанное выше достаточное условие абсолютной сходимостиинтеграла в данном случае формируется так: если в окрестности366Гл. III. Кратные и криволинейные интегралы. . .[89точки C функция удовлетворяет условию |f (M )| 6 rAp , где r —расстояние от C до переменной точки M , A и p — постоянные иp < 3, то интегралZZZf (M )dv(62)(v)абсолютно сходится. В данном случае условие p < 2 заменяетсяусловием p < 3, так как в полярных координатах в пространствеэлемент объема имеет выражение dv = r2 sin ϑdrdϑdϕ (r2 вместо rв dσ = rdrdϕ).Рассмотрим теперь тот случай, когда область интегрирования(σ) простирается в бесконечность во всех направлениях или простонеограничена.
Пусть (σ1 ) — конечная область, содержащаяся в (σ)и беспредельно расширяющаяся таким образом, что всякая точкаM области (σ) попадает, начиная с некоторого этапа расширения,в (σ1 ). Считая f (M ) непрерывной в (σ), можно составить интегралZZf (M )dσ.(63)(σ1 )Если при беспредельном расширении (σ1 ) этот интеграл стремитсяк определенному пределу, не зависящему от того, каким образом(σ1 ) расширяется, то этот предел и называют интегралом от f (M )по бесконечной области (σ):ZZZZf (M )dσ = limf (M )dσ.(64)(σ)(σ1 )Если f (M ) > 0 для всех достаточно далеких точек M , то интеграл(63) при расширении (σ1 ) или имеет определенный предел, или беспредельно возрастает. Для первого случая характерным являетсятот факт, что интеграл по любой области или даже по конечномучислу любых областей, принадлежащих (σ) и лежащих вне кругас центром в начале и некоторым радиусом r0 , остается ограниченным (при этом он будет стремиться к нулю, если r0 → ∞).
Обозначим через (σ ′ ) совокупность вышеупомянутых областей. Отметим89] § 8. Несобственные интегралы и интегралы, зависящие от. . .367еще, что из определения несобственного интеграла следует, что, если сходится интегралZZ|f (M )|dσ,(65)(σ)то интеграл (64) также сходится. Он называется в этом случае абсолютно сходящимся, и только такие интегралы мы и рассматриваем.Нетрудно доказать следующее достаточное условие сходимости: если для всех достаточно удаленных точек M функция удовлетворяет условию |f (M )| 6 rAp , где r — расстояние от любой фиксированной точки (начала) до переменной точки M , A и p — постоянные и p > 2, то интеграл (64) сходится.
Пользуясь написаннымнеравенством и вводя полярные координаты, получимZZZZ1drdϕ.|f (M )|dσ 6 Ap−1r(σ′ )(σ′ )Совокупность областей (σ ′ ) обязательно содержится в кольце, ограниченном окружностями r = r0 и r = R, где R может быть скольугодно большим. Интегрируя по всему кольцу, получимZZ|f (m)|dσ 6 A(σ′ )Z2π0dϕZRr01rdr =p−112πA1−.p − 2 r0p−2Rp−2Принимая во внимание, что p − 2 > 0, получим искомую оценкуинтеграла по (σ ′ ):ZZ2πA 1,|f (M )|dσ 6p − 2 r0p−2(σ′ )что и доказывает высказанное выше утверждение. При достаточнобольшом r0 интеграл по (σ ′ ) будет сколь угодно малым.Аналогично определяется несобственный тройной интеграл побесконечной области. В последней теореме для тройного интегралаусловие p > 2 надо заменить условием p > 3.
Заметим еще, что сказанное выше о несобственных двойных интегралах в случае, когда368Гл. III. Кратные и криволинейные интегралы. . .[89f (M ) обращается в бесконечность, применимо и к несобственныминтегралам, распространенным по поверхности. Такие интегралысводятся, как мы видели, к интегралам по плоскости (66).Мы рассматривали только абсолютно сходящиеся несобственные интегралы. Но имеет место следующая важная теорема: еслинесобственный интеграл сходится, то он и абсолютно сходится (см.: Г. М. Ф и х т е н г о л ь ц. «Курс дифференциального и интегрального исчисления», т. III). Она относится ко всем упомянутымвыше несобственным интегралам.
Для случая двойных интеграловиз сходимости интеграла (60) следует сходимость интеграла (61) ииз сходимости (64) следует сходимость (65).Если f (M ) > 0, то для несобственных интегралов неважно, каким образом (∆) стягивается к точке C или (σ1 ) расширяется. Можно считать, например, что (∆η ) есть круг или сфера с центром C,радиус η которой стремится к нулю, и что (σ1 ) есть часть (σ), содержащаяся в круге с фиксированным центром, радиус которогобеспредельно растет. Если же f (x, y) меняет знак, то мы должныпредварительно убедиться в том, что несобственный интеграл сходится, и нельзя доказывать его сходимость при помощи специального выбора областей (∆).Пользуясь сказанным выше, нетрудно определить понятие равномерной сходимости несобственного кратного сходящегося интеграла, зависящего от параметра.
Например, интеграл (60), подынтегральная функция которого зависит от параметра α, назовемравномерно сходящимся относительно α, если при любом положительном δ существует такое положительное η, не зависящее отα, что ZZf (M )dσ < δ.(σ′ )если (σ ′ ) — любая часть (σ), содержащаяся в круге (∆η ).
Аналогично определяется равномерная сходимость и других несобственных интегралов. В частности, из оценки (62) вытекает, что интегралбудет равномерно сходящимся, если числа A и p не зависят от α.Для равномерно сходящихся интегралов имеют место свойстваи признак равномерной сходимости, указанные в [87].90] § 8. Несобственные интегралы и интегралы, зависящие от. .
.369Более сложными являются несобственные кратные интегралы, вкоторых подынтегральная функция становится неограниченной нев окрестности некоторой точки, а в окрестности некоторой линии(l). При этом надо исключить эту линию некоторой областью (∆)и затем суживать (∆) к линии (l).Можно доказать, что если интеграл по (σ) сходится, то он выражается через повторные квадратуры (формула (7) из [59]). Если f (x, y) > 0в (σ) и повторные квадратуры от нее приводят к конечному числу A, тоинтеграл от f (x, y) по (σ) сходится и равен A. Если для знакопеременнойf (x, y) повторные квадратуры для |f (x, y)| приводят к конечному числу,то интеграл от f (x, y) по (σ) сходится (ср.
[110]).90. Примеры. 1. Рассмотрим интегралZZdxdy(1 + x2 + y 2 )α(α 6= 1),(σ)где (σ) — вся плоскость. Вводя полярные координаты и интегрируя покругу (KR ) с центром в начале и радиусом R, получимZZ(KR )π1rdrdϕ=−1.(1 + r 2 )α1 − α (1 + R2 )α−1Если α < 1, то при беспредельном возрастании R правая часть беспредельно возрастает, и интеграл расходится.
Если α > 1, то правая частьππ, т. е. интеграл сходится и равен α−1. Вимеет конечный предел α−1последнем случае сходимость можно доказать, пользуясь достаточнымусловием, указанным в предыдущем номере. При α = 1 интеграл расходится.2. Рассмотрим интегралZZydxdy√ ,x(σ)где (σ) есть квадрат, ограниченный прямыми: x = 0, x = 1, y = 0, y = 1.Вдоль стороны x = 0 подынтегральная функция обращается в бесконечность.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
