1610915346-ca3c42683bad539de2fd15cb675d150f (824739), страница 56
Текст из файла (страница 56)
Применяя то же рассуждение, что и выше, можем считать, что Nn стремятся к некоторой точке N из E1 , и из M Nn → 0 получаем, что M и N должнысовпадать, что опять приводит к противоречию. Теорема доказана.Из доказанной теоремы следует, что если точка M не принадлежит замкнутому множеству E (ограниченному или неограниченному), то расстояние между M и E положительно.Легко доказать и следующее утверждение: если E и E1 — ограниченные замкнутые множества, то существует по крайней мере одна такая пара точек M из E и N из E1 , что M N = δ.
Отметим, что расстояние между двумя неограниченными замкнутымимножествами, не имеющими общих точек, может равняться нулю,так как эти множества могут безгранично сближаться при удалениина бесконечность. Этого не может быть, если одно из них ограничено.Введем еще одно понятие. Возьмем всевозможные расстоянияM ′ M ′′ , где M ′ и M ′′ принадлежат некоторому множеству E. Множество неотрицательных чисел M ′ M ′′ имеет [I, 42] точную верхнюю границу d, которая может равняться и +∞. Число d называется диаметром множества E. Для ограниченных множеств d неравно +∞, а для неограниченных d = +∞.Все сказанное выше имеет место для прямой и трехмерногопространства.
Точки прямой определяются одним вещественнымчислом x, ε-окрестность точки x = c определяется неравенствомc − ε 6 x 6 c + ε, ограниченная область есть некоторый открытыйпромежуток a < x < b, а граница состоит из двух точек x = a иx = b. Нетрудно показать, что открытое множество E есть множество точек конечного или бесконечного числа открытых промежутков, без общих точек, причем в последнем случае складывае-382Гл. III. Кратные и криволинейные интегралы. . .[93мые промежутки можно пронумеровать: an < x < bn (n = 1, 2, .
. .).В трехмерном случае точка определяется тройкой чисел (x, y, z), аε-окрестность точки (a, b, c) неравенством(x − a)2 + (y − b)2 + (s − c)2 < ε2и внутренность куба неравенствамиa < x < b,c < y < d,e < z < f,(b − a = d − c = f − e).93. Счетные множества. Действия над точечными множествами.
Введем новый термин. Путь имеется некоторое множество, содержащее бесконечное число элементов. Оно называется счетным множеством, если все содержащиеся в нем элементыможно пронумеровать целыми положительными числами∗ . Мы будем часто говорить в этом случае, что множество содержит счетное число элементов. Пусть мы имеем не одно счетное множество,а счетное число счетных множеств. Их элементы можно обозначитьбуквой с двумя значками ap,q (p, q = 1, 2, . . .): первый указывает номер множества, а второй — номер элемента в этом множестве. Всеэти элементы также можно пронумеровать по возрастанию суммызначков и первого из них при одинаковой сумме:a1,1 , a1,2 , a2,1 , a1,3 , a2,2 , a3,1 , . . .
,т. е. объединение счетного числа счетных множеств есть такжесчетное множество ∗∗ .То же будет и при объединении конечного числа счетных множеств, а также и в том случае, когда среди объединяемых множествкроме счетных есть и конечные множества. Рассмотрим еще множество рациональных чисел из промежутка 0 6 x 6 1. Их можнопронумеровать по возрастанию суммы числителя и знаменателя и∗ То есть можно установить взаимооднозначное соответствие между рассматриваемым множеством и множеством N натуральных чисел.∗∗ Важно заметить, что элементов с одинаковой суммой значков каждыйраз конечное число.93]§ 9.
Мера и теория интегрирования383по возрастанию числителя при одинаковой сумме. При этом дробиберутся в несократимой форме:0,11,11,21,31,42,31,51,62,53,4...Так же можно пронумеровать дроби из любого промежутка или навсей числовой оси.Введем обозначения, которыми мы будем пользоваться в дальнейшем. Если точка M принадлежит множеству E, то будем писать: M ∈ E. Если же M не принадлежит E, то будем писать M ∈E.e то будемЕсли все точки множества E принадлежат множеству E,eписать E ⊂ E.Определим действия над точечными множествами.Суммой конечного или счетного числа множествXS=Ek(1)kназывается множество, состоящее из точек, принадлежащих хотябы одному из Ek .Разностью множества E1 и E3 :R = E1 − E2(2)называется множество, состоящее из точек E1 , не принадлежащихE2 .Произведением конечного или счетного числа множествYT =Ek(3)kназывается множество, состоящее из точек, принадлежащих всемEk .
Отметим, что если E2 ⊂ E1 то из (2) следуетE1 = E2 + R.Если E1 ⊂ E2 , то R, определяемое формулой (2), не содержит ни одной точки. Такое множество называется пустым множеством. Множество E, определяемой формулой (3), будет пустым, если нет точек, принадлежащих всем Ek .384Гл. III. Кратные и криволинейные интегралы. . .[93Указанные выше определения имеют, очевидно, смысл и длямножеств, состоящих из любых элементов. Отметим при этом, чтоуказанный выше результат (объединение счетного числа счетныхмножеств есть счетное множество) надо формулировать так: суммасчетного числа счетных множеств есть счетное множество.Напомним еще об одном понятии [91].
Мы рассматриваем в основном множества точек на некоторой плоскости. Совершенно аналогично можно рассматривать точки на прямой или в трехмерномпространстве. Множеством дополнительным для E (см. [91]) наплоскости называется множество всех точек этой плоскости, не принадлежащих E (аналогично для прямой или трехмерного пространства). Это множество обозначается обычно символом CE. Очевидe — два множества и E ⊂ E,e тоно, что C(CE) = E. Если E и Ee ⊂ CE. В дальнейшем равенство A = B для двух множеств ACEи B означает, что эти множества состоят из одних и тех же точек,т.
е. если M ∈ A, то M ∈ B, и наоборот, если M ∈ B, то M ∈ A.Для дополнительных множеств имеют место следующие формулы:CE1 − CE2 = E2 − E1 ,CYEk =kCXkCXkX(4)CEk ,(5)CEk ,(6)kEk =YkCEk =YEk .(7)kДокажем, например, первую из них. Пусть M принадлежит множеству, стоящему в левой части (4), т. е. M ∈ CE1 и M ∈CE2 .
Докажем, что она принадлежит множеству, стоящему в правой части(4). Из M ∈ CE1 следует, что M ∈E1 , и из M ∈CE2 следует, чтоM ∈ E2 . Но раз M ∈E1 и M ∈ E2 , то M принадлежит правой части(4). Совершенно аналогично доказывается, что если точка M принадлежит правой части (4), то она принадлежит и левой части (4).Формула (7) непосредственно следует из (5), а (6) из (7).94]§ 9.
Мера и теория интегрирования385Основную роль в дальнейшем будут играть открытые и замкнутые множества. Сформулируем ряд теорем, касающихся этих множеств.Т е о р е м а 1. Если E — открытое множество, то CE — замкнутое, а если E — замкнутое, то CE — открытое.Т е о р е м а 2. Сумма конечного или счетного числа открытыхмножеств — открытое множество. Произведение конечного числа открытых множеств — открытое множество.Т е о р е м а 3. Произведение конечного или счетного числа замкнутых множеств — замкнутое множество.
Сумма конечногочисла замкнутых множеств — замкнутое множество.Т е о р е м а 4. Если E1 — открытое и E2 — замкнутое множества, то R = E1 − E2 — открытое множество. Если же E1 — замкнутое, а E2 — открытое множество, то R — замкнутое множество.Отметим, что пустое множество считаем как замкнутым, таки открытым. Доказательства всех этих теорем очень просты. Дляпримера докажем теорему 2. Пусть Ek — открытые множества иточка M ∈ S, где S — сумма Ek . При этом M принадлежит какомулибо слагаемому Ek , но поскольку это слагаемое открытое множество, ему принадлежит некоторая ε-окрестность M , а отсюда следует, что эта окрестность принадлежит и S.
Таким образом, еслиM ∈ S, то в S входит и некоторая ε-окрестность M , то есть S — открытое множество. Положим теперь, что произведение (3) конечно(k = 1 < 2, . . . < m), и все Ek — открытые множества. Если M ∈ T ,то она входит во все Ek , причем Ek принадлежит и некотораяε-окрестность M . Пусть ε′ > 0 наименьшее из положительных чисел εk (k = 1, 2, . . . , m).
При этом ε′ -окрестность M входит во всеEk , следовательно, и в T , т. е. T — открытое множество. Теорема 3следует из теорем 1 и 2 при помощи перехода к дополнительныммножествам с использованием формул (5) и (6).94. Мера Жордана. Здесь мы считаем, что все множества, окоторых мы будем говорить, ограничены, и не будем этого оговаривать особо. За основу меры мы примем, что мера (площадь) квадрата со сторонами, параллельными осям, т. е. квдарата: a 6 x 6 b,386Гл. III. Кратные и криволинейные интегралы.
. .[94c 6 y 6 d, где b − a = d − c, равна (b − a)2 . Проводя прямыеx = p + kr,y = q + lr(k, l = 0, ±1,±2, . . .),где r > 0, мы покрываем плоскость сеткой квадратов со сторонами,параллельными осям, и r — длина сторон этих квадратов. Назовеммножеством типа (α) множество, состоящее из конечного числа замкнутых квадратов сетки. Площадью такого множества назовемсумму площадей, составляющих его квадратов. Это определениеплощади нуждается в оправдании. Проводя прямые, параллельныеосям, всякое множество типа (α) можно подразделить на квадраты, и нетрудно показать, что сумма площадей этих квадратов приэтом остается неизменной, и таким образом всякое множество типа (α) имеет определенную площадь.
Всякое множество типа (α)будем обозначать большою буквою в скобках, а его площадь тойже буквой, но без скобок. Если множество (U ) типа (α) находитсястрого внутри множества (V ) типа (α), то U < V .ПустьE — какое-либоограниченное множество точек. Покроем плоскость сеткою равных квадратов, ипусть (S) — совокупность техквадратов, все точки которых, включая и точки ихграниц, суть внутренние точки E, а S ′ — совокупностьтех квадратов, которые имеют общие точки с границейl множества E.
Квадраты из(S ′ ) не входят в (S). Отметим, что если (S) не содержит ни одного квадрата(пустое множество точек), тонадо считать S = 0 (рис. 77).Беря всевозможные сеткиравных квадратов, получимРис. 77бесконечное множество неот-94]§ 9. Мера и теория интегрирования387рицательных чисел S. Все эти числа не больше площади квадрата, которому принадлежит ограниченное множество E. Точнаяверхняя граница множества чисел S называется внутренней мерой множества E. Обозначим ее через a.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
