1610915346-ca3c42683bad539de2fd15cb675d150f (824739), страница 58
Текст из файла (страница 58)
При параллельном переносе площадь квадрата, очевидно, не меняется. Покажем, что площадь любого квадратаравна квадрату длины его стороны. Достаточно, очевидно, доказать следующую теорему:Т е о р е м а 1. Если повернуть квадрат со сторонами, параллельными осям, вокруг начала, то площадь его остается прежней.Пусть (q) — исходный квадрат со стороной r и (q1 ) — квадрат,полученный после поворота. Такими же буквами будем обозначатьих площади и положим qq1 = s. При помощи параллельного переноса, не меняющего площади, мы можем совместить (q) с любымпараллельным квадратом с стороною r и, следовательно, для всехквадратов со стороной r отношение qq1 при данном повороте плоскости будет одно и то же. Совершим теперь над плоскостью преобразование подобия с центром в начале, при котором длины всехрадиусов-векторов, выходящих из начала, умножаются на некоторое положительное число k.
Такое преобразование сводится к пе-96]§ 9. Мера и теория интегрирования393реходу точки (x, y) в точку с координатами (kx, ky). При этом преобразовании все линейные размеры умножаются на k. Отсюда следует, что площади (внутренние и внешние) при этом умножаютсяна k 2 . Обозначим через (q ′ ) и (q1′ ) те квадраты, которые получаются из (q) и (q1 ) при помощи указанного преобразования подобия.Очевидно, что (q1′ ) получается из (q ′ ) при помощи того же вращения, при помощи которого (q1 ) получается из (q). Но q1′ = k 2 q1 иq′q ′ = k 2 q и, следовательно, q1′ = s. Но, подбирая соответственнымобразом число k, мы можем перевести квадрат q в квадрате с любойдлиной стороны.
Таким образом, мы видим, что отношение qq1 = sпри данном повороте плоскости имеет одну и ту же величину длявсех исходных квадратов q. Покажем теперь, что s = 1. Рассмотримкруг x2 + y 2 < 1 с центром в начале и радиусом единица, покрытыйсеткой квадратов со сторонами, параллельными осям. Этот кругесть, очевидно, квадрируемая область.При повороте вокруг начала площадь квадрата получит множитель s, и в силу определения площади и доказанной выше теоремы,площадь круга также должна умножаться на s.
Но при упомянутом повороте круг перейдет сам в себя, и его площадь не должнаизмениться, т. е. s = 1, что и требовалось доказать.Положим, что имеются две различные по направлению сеткиравных квадратов. В первой имеем множества типа (α), а аналогичные множества второй сетки назовем множествами типа (β). Такие области квадрируемы при любом выборе сетки квадратов и ихмера равна сумме площадей составляющих их квадратов (площадьквадрата — квадрат длины его стороны).Покажем, что при переходе от одной сетки к другой не нарушается свойство квадрируемости и не меняется мера квадрируемогомножества. Пусть E — ограниченное множество точек плоскости, ипусть оно квадрируемо в первой сетке.
Отсюда следует, что прилюбом заданном ε > 0 его границу l можно [95] заключить строго внутрь некоторого множества (L) типа (α), мера которого < ε.Расстояние между l и границей L положительно, и при достаточном измельчании второй сетки можно заключить l строго внутрьмножества (L1 ) типа (β), содержащегося внутри (L). ПосколькуL1 < L < ε и ε > 0 произвольно, можно утверждать, что l имеетмеру нуль и при использовании второй сетки, т. е. E квадрируемо394Гл.
III. Кратные и криволинейные интегралы. . .[97и во второй сетке. Аналогично доказывается, что если E квадрируемо во второй сетке, то оно квадрируемо и в первой сетке. Длядоказательства совпадения меры E в указанных сетках достаточнодоказать совпадение внутренних мер. Пусть a — внутренняя мераE в первой сетке и a1 — во второй.
При любом заданном ε > 0 существует в первой сетке такое множество (S) типа (α), состоящееиз внутренних точек E, что S > a − ε. Расстояние между (S) и lположительно, и при достаточном измельчании второй сетки сущеe типа (β), состоящее из внутренних точек E иствует множество (S)содержащее (S). При этом Se < a − ε, откуда, ввиду произвольностиε, следует, что a1 > a. Аналогично доказывается, что a > a1 , т. е.a1 = a. Если E не имеет внутренних точек, то a = a1 = 0.
Мыдоказали следующую теорему.Т е о р е м а 2. При использовании различно направленных сеток, равных квадратов свойство квадрируемости и величина мерыне меняются.97. Случай любого числа измерений. Как мы указывали,вся теория площадей переносится и на трехмерное пространство,и мы получаем, таким образом, понятия внутреннего и внешнегообъема и квадрируемой трехмерной области или множества. Рольквадратов играют кубы.Можно построить совершенно аналогичную теорию измерения«площадей» или теорию меры для любого n-мерного пространства.Точкой такого пространства назовем последовательность n вещественных чисел (x1 , x2 , . .
. , xn ). Расстояние между двумя точками(x1 , x2 , . . . , xn ) и (y1 , y2 , . . . , yn ) определим формулойvu nuXr = t (ys − xs )2 .s=1Шаром с центром (a1 , a2 , . . . , an ) и радиусом ρ назовем совокупность точек (x1 , x2 , .
. . , xn ), координаты которых удовлетворяютнеравенствуnX(xs − as )2 6 ρ2 .s=198]§ 9. Мера и теория интегрирования395Наконец, кубом с ребром r назовем совокупность точек, координаты которых удовлетворяют неравенствам as 6 xs 6 bs (s =1, 2, . . . , n), где bs − as = r. Мерой куба будем считать число rn . Всеэти определения дают нам возможность повторить предыдущуютеорию для n-мерного пространства и установить понятия внутренней и внешней меры области или вообще множества, и при их совпадении говорить, что область (или множество) измерима (на плоскости — квадрируема).
Все доказанные теоремы будут справедливыи для n-мерного пространства. Параллельный перенос в n-мерномпространстве выражается формулами преобразования: x′s = xs + as(s = 1, 2, . . . , n), а поворот вокруг начала выражается некоторымлинейным преобразованием, при котором расстояние точки до начала остается неизменным. Более подробно об этих преобразованиях мы будем говорить в томе III.При определении связной области мы пользовались понятиемломаной линии, т.
е. линии, состоящей из конечного числа отрезков прямых. В n-мерном пространстве прямой мы назовем линию (т. е. множество точек), имеющую параметрическое уравнение xs = ϕs (t), где ϕs (t) — многочлены первой степени. Примерамиобластей в n-мерном пространстве являются множества внутренних точек шара или куба. Обычно область n-мерного пространства определяется некоторыми неравенствами, которым должныудовлетворять координаты точек этой области.
Заметим, что приn = 1, т. е. на прямой, связная область есть обязательно множествовнутренних точек некоторого промежутка. То, что мы говорилио простых кривых, можно обобщить на n-мерное пространство. Вчастности, если в трехмерном пространстве имеется поверхность сявным уравнением z = ϕ(x, y), где ϕ(x, y) — непрерывная функцияв некоторой ограниченной замкнутой области плоскости XOY , тотакая поверхность есть измеримое множество, и ее мера равна нулю. Далее легко, как и в [95], построить понятие простой поверхности, и всякая область, ограниченная простой поверхностью, будетизмеримой.98. Интегрируемые функции. Пусть (σ) — ограниченнаяквадрируемая область или открытое множество и f (N ) — ограниченная функция, определенная на (σ) и ее границе.
Разобьем (σ) на396Гл. III. Кратные и криволинейные интегралы. . .[98конечное число квадрируемых областей (или открытых множеств)(σk ) (k = 1, 2, . . . , m), как это указано в [95]. Пусть δ — это разбиение и σk — меры множеств (σk ), так что σ1 + σ2 + . . . + σn = σ,Nk — любая точка, принадлежащая множеству (σk ) или его границе, dk — диаметр (σk ) и µ(δ) — наибольшее из чисел dk . Функцияf (N ) называется интегрируемой по (σ), если существует определенный предел суммnXσ(δ) =f (Nk )σkk=1при стремлении µ(δ) к нулю [ср. I, 116]. Этот предел называетсяинтегралом от функции f (N ) по (σ):ZZnXf (N )dσ = limf (Nk )σk .k=1(σ)Пусть mk и Mk — точная нижняя и точная верхняя границы значения f (N ) на (σk ) (включая границу). Составим суммыs(δ) =nXmk σk ,S(δ) =k=1nXMk σk ,k=1которые зависят только от разбиения δ.
Имеет место очевидноенеравенствоs(δ) 6 σ(δ) 6 S(δ).Пусть i — точная верхняя граница значений s(δ) и I — точная нижняя граница значений S(δ) при всевозможных разбиениях δ. Имеем[I, 115]s(δ) 6 i 6 I 6 S(δ).Как и в [I, 116], можно показать, что необходимое и достаточноеусловие интегрируемости ограниченной функции f (N ) заключается в том, что разностьS(δ) − s(δ) =nXk=1(Mk − mk )σkстремится к нулю, если µ(δ) стремится к нулю.98]§ 9.
Мера и теория интегрирования397Если это условие выполнено, то i = I и величина интеграларавна i. Можно показать, что s(δ) → i и S(δ) → I при µ(δ) →0 для любой ограниченной функции f (N ), и отсюда следует, чторавенство i = I является не только необходимым но и достаточнымусловием существования интеграла от f (N ). Если f (N ) ≡ 1, тосумма σ(δ) равна площади (мере) (σ):ZZdσ = m(σ).(σ)Используя указанное выше условие интегрируемости, можно указать некоторые классы интегрируемых функций:1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
