1610915346-ca3c42683bad539de2fd15cb675d150f (824739), страница 60
Текст из файла (страница 60)
. . , xn−1 ) < xn < ϕ2 (x1 , x2 , . . . , xn−1 ),где ϕ1 (x1 , x2 , . . . , xn−1 ) и ϕ2 (x1 , x2 , . . . , xn−1 ) — непрерывные функции в Qn−1 . При этом n-кратный интеграл выразится квадратуройпо xn и (n − 1)-кратным интегралом по (Qn−1 ):Z Z=···(Pn )Z ZZf (x1 , x2 , . . . , xn )dx1 . . . dxn =···Z (Qn−1 )ϕ2 (x1Z,...,xn−1 )ϕ1 (x1 ,...,xn−1 )f (x1 , . . . , xn )dxn dx1 . . . dxn−1 .
(19)Обобщением прямоугольника плоскости со сторонами, параллельными осям, являются призматоид (Rn ) n-мерного пространства,определяемый неравенствами:a1 6 x1 6 b1 , a2 6 x2 6 b2 , . . . , an 6 xn 6 bn .(20)Интегрирование по этому призматоиду приводится к повторномуинтегралу, все пределы которого постоянны:ZZ Z· · · f (x1 , . . . , xn )dx1 . . . dxn =(Pn )=Zb1a1dx1 . .
.bZn−1an−1dxn−1Zbnf (x1 , . . . , xn )dxn ,anи можно менять произвольно порядок интегрирования, оставляя покаждой переменной прежние пределы.Для читателя, знакомого с понятием определителя, укажем иформулу замены переменных в n-кратном интеграле. Положим,что вместо переменных (x1 , x2 , . . . , xn ) вводятся новые переменные(x′1 , x′2 , .
. . , x′n ), и пустьxi = ϕi (x′1 , x′2 , . . . , x′n ) (i = 1, 2, . . . , n)— формулы, выражающие старые переменные через новые.(21)404Гл. III. Кратные и криволинейные интегралы. . .[101Введем в рассмотрение так называемый функциональный определитель системы функций (21): ∂ϕ1 ∂ϕ1∂ϕ1 ′ ∂x1 ∂x′2 . . . ∂x′n ∂ϕ2 ∂ϕ2 . .
. ∂ϕ2 ′ ′∂x′n .D = ∂x1 ∂x2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ∂ϕn ∂ϕnn ′. . . ∂ϕ∂x∂x′∂x′12(22)nФормула замены переменных имеет видZ ZZZ ZZ· · · f dx1 . . . dxn =· · · f |D|dx′1 . . . dx′n ,(23)(Pn′ )(Pn )где неравенства, определяющие новую область интегрирования(Pn′ ), получаются из неравенств, определяющих (Pn ), если там заменить xi их выражениями (21). Условия применимости формулы(23) те же, которые были указаны для двойного интеграла в [80].Несобственные n-кратные интегралы определяются так же, как инесобственные двойные и тройные интегралы [89]. Перейдем теперьк примерам.101. Примеры. 1.
Тетраэдр n-мерного пространства, ограниченныйгиперплоскостями:x1 = 0,x2 = 0, . . . , xn = 0,x1 + x2 + . . . + xn = a(a > 0),определяются неравенствами:x1 > 0,x2 > 0, . . . , xn > 0,x1 + x2 + . . . + xn < a.(24)При n = 3 получается обычный тетраэдр, ограниченный координатнымиплоскостями и плоскостью x + y + z = a.
Введем новые переменные,положивa(x2 + . . . + xn ),x1 + x2 + . . . + xna(x3 + . . . + xn )axn, . . . , x′n =,x′3 =x2 + . . . + xnxn−1 + xnx′1 = x1 + x2 + . . . + xn ,x′2 =101]§ 9. Мера и теория интегрирования405откуда следуетx1 + . . . + xn = x′1 ,2a (x3 + . . . + xn ) =x′1 x′2 x′3 ,a(x2 + . .
. + xn ) = x′1 x′2 ,...,an−1 xn = x′1 x′2 . . . x′n .Старые переменные выражаются через новые по формуламx′ x′ (a − x′3 )x′1 (a − x′2 ), x2 = 1 2 2,...,aa′ ′′′′ ′x x . . . xn−1 (a − xn )x1 x2 . . . x′n,x=.xn−1 = 1 2nan−1anИз этих формул непосредственно вытекает, что тетраэдр (24) можно заменить n-мерным кубом:x1 =0 < x′1 < a,0 < x′2 < a, . . . ,0 < x′n < a.(25)2. Определим меру (объем) n-мерного шара с центром в начале ирадиусом r, определяемого неравенствомx21 + x22 + . . . + x2n 6 r 2 .(26)Если совершить преобразование подобия с коэффициентом подобия k, тообъем всякого куба умножится на kn , а радиус r умножится на k. Отсюданепосредственно следует, что искомая мера un , являющаяся функциейодного r, должна иметь видvn = Cn r n ,(27)где Cn — численная постоянная, различная для различных n.
Если пересечь шар (26) плоскостью постоянного x1 , то, как это видно из формулы(26), получится (n − 1)-мерный шар, квадрат радиуса которого равенn−1(r 2 − x21 ). В силу (27), мера этого шара будет Cn−1 (r 2 − x21 ) 2 . Частьn-мерного шара, заключенная между плоскостями x1 и (x1 + dx1 ), будетn−1иметь меру Cn−1 (r 2 −x21 ) 2 dx1 , откуда вытекает следующее выражениедля vn :Z+rn−1vn = Cn r n = Cn−1 (r 2 − x21 ) 2 dx1 ,−rили, совершая подстановку x1 = r cos ϕ, получим следующую связь между Cn и Cn−1 :Cn = Cn−1Zπ0πsinn ϕdϕ = 2Cn−1Z20sinn ϕdϕ,(28)406Гл. III. Кратные и криволинейные интегралы.
. .[102где, как известно [I, 100],πZ2sinn ϕdϕ =(n − 1)(n − 3) . . . 1 πn(n − 2) . . . 22sinn ϕdϕ =(n − 1)(n − 3) . . . 2n(n − 2) . . . 30при четномn,при нечетномn.πZ20Заменяя в (28) n на (n − 1), получимπCn−1 = 2Cn−2Z2sinn−1 ϕdϕ.0Из написанных равенств вытекает при любом целом n:Cn = Cn−22π.n(29)Но, как известно, C2 = π и C3 = 43 π. Применяя формулу (29), получимотсюдаn(2π) 2Cn =при четном n,n(n − 2) . . . 2n+1Cn =n−12 2 π 2n(n − 2) .
. . 1при нечетном n.102. Внешняя мера Лебега. Переходя к теории меры и интеграла Лебега, отметим прежде всего, что некоторые из результатовэтой теории мы приводим без доказательства. В соответствующихместах мы приводим ссылку на том V, содержащий доказательстваупомянутых результатов.В дальнейшем мы часто будем встречаться с суммами конечногоили счетного числа неотрицательных слагаемых. При этом мы будем допускать, что отдельные слагаемые или суммы равны (+∞).Если какое либо слагаемое равно (+∞), то и сумма естественно считается равной (+∞).
Но сумма счетного числа слагаемых (пределсуммы первых n-слагаемых при n → ∞) может быть равна (+∞) и102]§ 9. Мера и теория интегрирования407тогда, когда среди слагаемых нет равных (+∞). Отметим еще, чтосумма неотрицательных слагаемых не зависит от их порядка.В теории меры Лебега допускаются как ограниченные, так инеограниченные множества. Мы начнем с определения внешней меры.
Существенное различие по сравнению с мерой Жордана состоит в том, что при определении внешней меры допускается покрытиемножества не только конечным, но и счетным числом квадратов ∆n(n = 1, 2, . . .) со сторонами, параллельными осям. Эти квадраты могут принадлежать разным сеткам квадратов и перекрываться. Мыбудем считать ∆n открытыми квадратами, что несущественно, ноэто будет нам удобнее, поскольку в дальнейшем изложении открытые множества играют важную роль.О п р е д е л е н и е.
Внешней мерой любого точечного множества E называется нижняя граница суммXпл.∆n(30)nплощадей квадратов ∆n при всевозможных покрытиях E этимиквадратами.Если при любом покрытии сумма (30) равна (+∞), то внешняямера E считается равной (+∞). Если E — ограниченное множество,то его можно покрыть одним квадратом ∆1 и, следовательно, еговнешняя мера конечна. Но внешняя мера может быть конечной идля неограниченного точечного множества. Внешняя мера пустого множества естественно считается равной нулю.
Внешнюю мерувсякого множества E обозначаем символом |E|.В дальнейшем сумму (30) для какого-либо покрытия A некоторого множества E будем обозначать через σ(A).Переходим к доказательству основных свойств внешней меры.Т е о р е м а 1. Если E2 ⊂ E1 то |E2 | 6 |E1 |.Непосредственно следует из того, что всякое покрытие E1 естьи покрытие E2 .Т е о р е м а 2. Для конечного и счетного числа слагаемых внешняя мера суммы не больше суммы внешних мер слагаемых:X XEk 6|Ek |.(31)kk408Гл. III. Кратные и криволинейные интегралы. .
.[102Пусть задано ε > 0. В силу определения точной нижней границы,существует такое покрытие Ak множеств Ek , что σ(Ak ) 6 |Ek | + 2εk .Берем квадраты, входящие хотя бы в одно из Ak (их конечное илисчетное число [93]). Они совершают некоторое покрытие A суммыEk , и для него имеемσ(A) =Xσ(Ak ) 6откудаXk|Ek | + εXX 16|Ek | + ε,k2kkX XEk 6|Ek | + ε,kkи, в силу произвольности ε, получаем (31).Отметим, что в формуле (31) может иметь место знак < дажев том случае, когда Ek не имеют попарно общих точек. Таким образом, для внешней меры мы не имеем свойства аддитивности. Вдальнейшем мы часто будем обозначать открытые множества буквою O (французское слово ouvert — открытый), а замкнутые множества буквою F (французское слово fermè — замкнутый).Т е о р е м а 3.
Для всякого множества E при любом заданномε > 0 существует такое открытое множество O, покрывающееE, что|O| 6 |E| + ε.(32)Если |E| = +∞ то это очевидно при любом O, покрывающем E.Положим, что |E| конечна. При любом заданном ε > 0 выбираемтакое покрытие A множества E, чтоσ(A) 6 |E| + ε.(33)Сумма открытых квадратов ∆n , входящих в A, есть открытое множество O. Оно покрывается промежутками ∆n и покрывает E.
Поопределению внешней меры,|O| 6 σ(A)и из (33) следует (32).103]§ 9. Мера и теория интегрирования409103. Измеримые множества. Мы не будем вводить понятиявнутренней меры, как это мы делали в теории меры Жордана, ас помощью открытых множеств непосредственно перейдем к понятию измеримого множества (аналог квадрируемости по Жордану).Свойство, выражаемое теоремой 3, имеет место для всякого множества E. Но не для всякого множества E внешняя мера разностиO − E соответствующим выбором O может быть сделана < ε, гдеε > 0 — задано.
Если E обладает таким свойством, то мы будемназывать его измеримым.О п р е д е л е н и е. Множество E называется измеримым, еслипри любом заданном ε > 0 существует такое открытое множество O, что E ⊂ O и |O − E| 6 ε.Внешнюю меру измеримого множества E будем называть просто мерою E и обозначать символом m(E).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
