1610915346-ca3c42683bad539de2fd15cb675d150f (824739), страница 63
Текст из файла (страница 63)
Отсюда легко следует, что f (x) — измеримая функция. Онаэквивалентна функции, тождественно равной единице. Но нетрудно видеть, что всякая точка x0 из ∆ есть точка разрыва непрерывности. Действительно, в любой ε-окрестности x = x0 находятсякак рациональные, так и иррациональные значения x, т. е. в любойε-окрестности x0 функция f (x) принимает как значение 0, так изначение 1, откуда следует, что всякая точка x0 из ∆ есть точкаразрыва непрерывности.Приведем результат Н. Н.
Лузина (1913), вскрывающий связьмежду измеримыми и непрерывными функциями.Т е о р е м а. Пусть f (x) определена на измеримом множествеE конечной меры и принимает почти везде на E конечные значения. При этом для измеримости f (x) необходимо и достаточноследующее: при любом заданном ε > 0 существует такое замкнутое множество F , принадлежащее E, что m(E − F ) < ε и f (x)непрерывна на F . Отметим, что m(E − F ) = m(E)− m(F ), в силуF ⊂ E.Сформулируем еще один результат Д.
Ф. Егорова (1911), устанавливающий связь между сходимостью измеримых функций и ихравномерной сходимостью.Т е о р е м а. Пусть fn (x) — последовательность функций, принимающих на измеримом множестве E конечной меры почтивезде конечные значения и сходящаяся почти везде на E к функцииf (x), также принимающей на E почти везде конечные значения.422Гл.
III. Кратные и криволинейные интегралы. . .[106При этом для любого заданного ε существует такое замкнутоемножество F , принадлежащее E, что m(E−F ) < ε и сходимостьfn (x) → f (x) на F равномерна.106. Интеграл Лебега. Переходим к определению интегралаЛебега. Пусть на измеримом множестве конечной меры E заданаограниченная измеримая функция.
Из ограниченности f (x) следуетсуществование такого числа L > 0, что |f (x)| 6 L при x ∈ E.Разбиваем E на конечное число измеримых подмножеств попарнобез общих точек:nXE=Ek ,(39)k=1и пусть mk и Mk — точная нижняя и верхняя границы значений наEk . Составляем суммы [ср.
98]s(δ) =nXmk m(Ek ),k=1S(δ) =nXMk m(Ek ),(40)k=1где δ обозначает подразделение (39). Эти суммы, очевидно, ограничены при любых подразделениях: |s(δ)| 6 Lm(E) и |S(δ)| 6 Lm(E).Пусть i — точная верхняя граница s(δ) и I — точная нижняя граница S(δ) при всевозможных δ.О п р е д е л е н и е. Если i = I, то говорят, что f (x) интегрируема по E, и величину интеграла считают равной i = I:Zf (x)dx = i = I.(41)EОпределенный таким образом интеграл называется интеграломЛебега. Отметим вид f (x)dx подынтегрального выражения и тотфакт, что мы пишем один знак интеграла во всех случаях: прямой,плоскости, n-мерного пространства.
Только в [110], при изложении вопроса о приведении кратного интеграла к последовательнымквадратурам, мы будем записывать подынтегральное выражение вболее подробной форме и знак интеграла при кратном интегрировании будем писать несколько раз. Так, например, для интеграла106]§ 9. Мера и теория интегрированияна плоскости можно писатьZZf (x1 , x2 )dx1 dx2илиEZZ423f (x, y)dxdy.EВведем понятие произведения подразделений [ср. I, 115–117].Положим, что наряду с подразделением (39) мы имеем другое подразделение δ ′ :n′XE=El′ .(42)l=1Произведением подразделений (41) и (42) называется подразделениеδδ ′ , состоящее из всевозможных частичных множеств Ek El′ . Эти последние не имеют попарно общих точек, но могут быть и пустыми.ПодразделениеmXE=El′′l=1называем продолжением подразделения (39), если каждое El′′ принадлежит только одному из Ek .
При переходе от некоторого подразделения δ к его продолжению сумма s(δ) не убывает и S(δ)не возрастает. Если δ1 и δ2 — два каких-либо подразделения, тоs(δ1 ) 6 S(δ2 ), откуда s(δ1 ) 6 i 6 I 6 S(δ2 ) и, в частности, [I, 115],s(δ) 6 i 6 I 6 S(δ).(43)Кроме сумм (40), составим суммуσ(δ) =nXf (xk )m(Ek ),k=1где xk ∈ Ek . Имеем, очевидно,s(δ) 6 σ(δ) 6 S(δ).(44)Т е о р е м а. Для равенства i = I необходимо и достаточно, чтобы существовала такая последовательность подразделений δn , для которой S(δn ) − s(δn ) → 0.424Гл. III. Кратные и криволинейные интегралы. .
.[106Доказываем достаточность. Если S(δn ) − s(δn ) → 0, то из (43)следует, что i = I.Доказываем необходимость. Пусть i = I. По определению i и I,существуют такие последовательности подразделений δn′ и δn′′ , чтоs(δn′ ) → i(s(δn′ ) 6 i) и S(δn′′ ) → I(S(δn′′ ) > I). Для последовательности подразделений δn = δn′ δn′′ , тем более s(δn ) → i и S(δn ) → I. Ноi = I и, следовательно, S(δn ) − s(δn ) → 0.Доказанная теорема дает необходимое и достаточное условиеинтегрируемости f (x). Отметим, что в подразделениях δn частичные множества не должны обязательно измельчаться, т. е. наибольший из их диаметров не должен обязательно стремиться к нулю.Если существует последовательность подразделений δn , для которой S(δn ) − s(δn ) → 0, то s(δn ) → i (i = I), S(δn ) → i, и из (44)следует, что и σ(δn ) → i при любом выборе точек xk из Ek . Еслиδen суть продолжение δn , то все сказанное выше имеет место и дляδen .
Мы укажем сейчас такую последовательность подразделенийδn , что для любой ограниченной измеримой функции, определенной на множестве E конечной меры, S(δn )−s(δn ) → 0, откуда будетследовать интегрируемость такой функции. Пусть m и M — точныенижняя и верхняя границы значений f (x) на E. Разобьем промежуток (m, M ) на частиm = y0 < y1 < y2 < . . . < yn−1 < yn = M(45)и определим следующим образом разбиение δ множества E на частичные множества:E1 = E[y0 6 f (x) 6 y1 ], Ek = E[yk−1 < f (x) 6 yk ](k = 2, 3, . . .
, n).(46)Отсюда следует, что yk−1 6 mk и yk > Mk и, таким образом,nXyk−1 m(Ek ) 6 s(δ) 6 S(δ) 6k=1nXyk m(Ek )(47)k=1и тем болееnXk=1yk−1 m(Ek ) 6 i 6 I 6nXk=1yk m(Ek ).(48)106]§ 9. Мера и теория интегрирования425Образуем разность между крайними членами этого неравенства:nXk=1yk m(Ek ) −nXyk−1 m(Ek ) =k=1nXk=1(yk − yk−1 )m(Ek ).Пусть µ(δ) — наибольшая из разностей yk − yk−1 (k = 1, 2, .
. . , n).Имеем в силу того, что сумма m(Ek ) равна m(E),06nXk=1yk m(Ek ) −nXyk−1 m(Ek ) 6 µ(δ)m(E).k=1Если мы возьмем такую последовательность подразделений δn , длякоторых соответствующая величина µ(δn ) → 0 при n → ∞, то разность между крайними членами неравенства (48) стремится к нулю,и, следовательно, i = I, т. е. f (x) интегрируема. Отметим, что условие µ(δn ) → 0 при n → ∞ сводится к беспредельном измельчениюразбиения промежутка (m, M ) изменения функции f (x). Подразделение (46) множества E называется обычно подразделением Лебега,а обе суммы, входящие в неравенство (47), соответствующими суммами Лебега. Из сказанного выше следуетО с н о в н а я т е о р е м а.
Всякая ограниченная, измеримая на измеримом множестве E конечной меры функция f (x) интегрируема по E, и величина интеграла равна пределу сумм Лебега илисумм σ(δn ) при любом выборе xk для подразделений Лебега прибеспредельном измельчении промежутка (m, M ) изменения функции.Суммы σ(δn ) будут иметь, как мы упоминали выше, тот же предел и для любых предложений δen подразделений δn , о которых говорилось в теореме.Пусть ограниченная функция f (x) определена, например, на конечном замкнутом промежутке ∆(a 6 x 6 b; c 6 y 6 d).
Какпоказал Лебег, для существования интеграла Римана от f (x) по∆ необходимо и достаточно, что бы лебегова мера точек разрываf (x) имела меру нуль. Из этого результата легко следует, что приэтом f (x) измерима на ∆ и ее интеграл Лебега по ∆ совпадает синтегралом Римана.426Гл. III. Кратные и криволинейные интегралы. . .[107107. Свойства интеграла Лебега. Поскольку интеграл Лебега может быть определен как предел сумм σ(δn ) для подразделения Лебега при µ(δn ) → 0, и для их продолжений δen , он имеетсвойства, аналогичные свойствам интеграла Римана. Мы отметими еще некоторые важные дополнительные свойства, которых не было у интеграла Римана. В этом номере мы считаем везде, что f (x)и fk (x) — измеримые ограниченные функции и E — множество конечной меры.1.
Если C — постоянная, тоZCdx = Cm(E).(49)EДля любого подразделения δ суммы s(δ) и S(δ) имеют значениеCm(E), откуда и следует (49).2.ZZZ[f1 (x) + f2 (x)]dx = f1 (x)dx + f2 (x)dx.(50)EEEδn′Пусть δn и— последовательность подразделений, при которых σ(δn ) для f1 (x) и σ(δn′ ) для f2 (x) имеют пределом соответствующие интегралы. Для δn′′ = δn δn′ суммы σ(δn′′ ) как для f1 (x), таки для f2 (x) имеют пределом соответствующие интегралы, и (50)получается на основе теоремы о пределе суммы.3.Z XZmmXCk fk (x)dx =Ck fk (x)dx.(51)E k=1k=1EПрименяем несколько раз формулу (50), а вынесение постоянного множителя за знак интеграла следует из возможности вынесенияего за знак сумм σ(δn ).4. Если f (x) > 0 на E, тоZf (x)dx > 0.(52)EВсе суммы σ(δn ) неотрицательны.107]§ 9. Мера и теория интегрирования4275.
Если f1 (x) > f2 (x) на E, тоZf1 (x)dx >EZf2 (x)dx.(53)EДостаточно применить 4 к разности f1 (x) − f2 (x) и воспользоваться 3.6.Z Z f (x)dx 6 |f (x)|dx.(54)EEДля доказательства достаточно взять произведение подразделений для f (x) и |f (x)| и написать аналогичное неравенство для суммσ(δn ).7. Если a 6 f (x) 6 b, тоZam(E) 6 f (x)dx 6 bm(E).(55)EНепосредственно следует из 5 и 1.8.
Если |f (x)| 6 L, тоZ f (x)dx 6 Lm(E).(56)EНеравенство |f (x)| 6 L равносильно: −L 6 f (x) 6 L и (56)является следствием 7.9. Если E = E ′ + E ′′ , где E ′ и E ′′ измеримы и без общих точек,тоZZZf (x)dx =Ef (x)dx +E′f (x)dx.(57)E ′′Достаточно взять последовательности подразделений для E ′ иE , составить для них суммы σ(δn ), сложить их и перейти к пределу.′′428Гл. III. Кратные и криволинейные интегралы. . .[10710. Пусть f (x) — ограниченная функция,определенная на множестве E конечной меры. При этом для любого заданного ε > 0существует такое η > 0, чтоZ f (x)dx 6 ε,eесли e ⊂ E и m(e) 6 η.Это свойство следует из неравенстваZ f (x)dx 6 Lm(e).eОно называется абсолютной непрерывностью интеграла.11. Если E разбито на конечное или счетное число измеримыхмножеств Ek (попарно, без общих точек), тоZXZf (x)dx =f (x)dx.(58)k EkEВ случае конечного числа слагаемых формула следует из 9.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
