1610915346-ca3c42683bad539de2fd15cb675d150f (824739), страница 67
Текст из файла (страница 67)
Через произвольную точку O (рис. 82) проведем две прямые, параллельные даннымвекторам. Они определят плоскость, параллельную не только векторам A и B, но и всем векторам вида mA и nB при произвольных114]§ 10. Основы векторной алгебры451значениях чисел m и n, а в силу правила сложения — также и их суммеC = mA + nB.Обратно, всякий вектор C, паРис. 82.раллельный построенной плоскости,можно представить в виде mA + nB. Для того, чтобы убедиться вэтом, достаточно отложить этот вектор от точки O и представитьего, как диагональ параллелограмма, стороны которого параллельны A и B.
Написанное выше соотношение можно переписать в болеесимметричном видеaA + bB + cC = 0,и оно выражает условие компланарности трех векторов, т. е. тогообстоятельства, что эти три вектора параллельны одной и той жеплоскости. Если A и B имеют одинаковые или противоположныенаправления, то векторы A и B компланарны с любым векторомC, и в предыдущем соотношении надо считать c = 0.114. Разложение вектора по трем некомпланарным векторам.
Предположим теперь, что имеются три некомпланарныхвектора A, B и C. Всякий вектор можно представить как диагональ параллелепипеда, три ребра которого параллельны векторамA, B и C. Таким образом всякий векторможет быть выражен через три некомпланарных вектора в виде (рис. 83):D = mA + nB + pC.Отсюда следует, что между всякими четырьмя векторами существует соотношение видаРис.
83.aA + bB + cC + dD = 0.Если три первых вектора компланарны, то надо считать лишьd = 0.452Гл. IV. Векторный анализ и теория поля[115Особенно важный частный случай предыдущего правила разложения вектора по трем векторам мы имеем тогда, когда пространство отнесено к прямоугольной системе координат XY Z, векторыже A, B, C по длине равны единице (такие векторы мы будем называть вообще единичными) и имеют направление осей OX, OY , OZ.В этом случае они называются основными векторами или ортамии обозначаются буквами i, j, k.Всякий вектор A можно представить в видеA = mi + nj + pk.(1)Если отложить вектор A от начала координат, то числа m, n, p,дадут координаты его конца и выразят проекции вектора A на координатные оси.
Эти проекции мы в дальнейшем будем обозначатьчерез Ax , Ay , Az и называть слагающими или составляющими вектора A по координатным осям. Предыдущее соотношение можетбыть тогда переписано в видеA = Ax i + Ay j + Ax k.(2)Если n — любое направление в пространстве∗ , то проекция вектора A на это направление будетAn = |A| cos(n, A)или, принимая во внимание выражение для косинуса угла междудвумя направлениями, известное из аналитической геометрии:An = |A|[cos(n, X) cos(A, X) + cos(n, Y ) cos(A, Y )++ cos(n, Z) cos(A, Z)] = Ax cos(n, X) + Ay cos(n, Y ) + Az cos(n, Z).При сложении векторов составляющие их, очевидно, складываются(проекция замыкающей равна сумме проекций составляющих).115.
Скалярное произведение. Скалярным произведениемдвух векторов A и B называется скаляр, величина которого равна произведению величин этих векторов, умноженному на косинусугла, образованного ими.∗ n — также является вектором, хотя и не обозначается принятым для векторов шрифтом.115]§ 10. Основы векторной алгебры453Скалярное произведение обозначают символом A · B, так чтоA · B = |A||B| cos(A, B).(3)Из этого определения непосредственно следует, чтоA · B = B · A,т. е. для скалярного произведения имеет место переместительныйзакон.Если векторы A и B образуют прямой угол, то, очевидноA · B = 0.В частности, для основных векторов будем иметьi · j = j · k = k · i = 0.Если векторы A и B имеют одно и то же направление, тоA · B = |A||B|,а если их направления противоположны, тоA · B = −|A||B|.В частности,A · A = |A|2 = A2x + A2y + A2z(4)i · i = j · j = k · k = 1.(5)иСкалярное произведение выражается через слагающие векторовследующим образомA · B = |A||B| cos(A, B) = |A||B|[cos(A, X) cos(B, X)++ cos(A, Y ) cos(B, Y ) + cos(A, Z) cos(B, Z)] == |A| cos(A, X)|B| cos(B, X) + |A| cos(A, Y )|B| cos(B, Y )++ |A| cos(A, Z)|B| cos(B, Z) = Ax Bx + Ay By + Az Bz ,(6)454Гл.
IV. Векторный анализ и теория поля[116т. е. скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений соответствующих слагающих этих векторов.Заметим, что левая часть написанного равенства не зависит отвыбора координатных осей, что по виду этой части не очевидно.При выводе формулы (6) мы воспользовались известной из аналитической геометрии формулой для угла между двумя направлениями [114].Нетрудно показать, что для скалярного произведения имеет место и распределительный закон, т.
е. соотношение(A + B) · C = A · C + B · C.(7)Действительно, пользуясь только что выведенным выражениемскалярного произведения, можем написать(A + B) · C = (Ax + Bx )Cx + (Ay + By )Cy + (Az + Bz )Cz == (Ax Cx + Ay Cy + Az Cz ) + (Bx Cx + By Cy + Bz Cz ) == A · C + B · C.Из распределительного свойства непосредственно вытекает иболее общая формула(A1 + B1 ) · (A2 + B2 ) = A1 · A2 + A1 · B2 + B1 · A2 + B1 · B2 , (8)выражающая обычное правило раскрытия скобок при перемножении многочленов.116.
Векторное произведение. Из какой-либо точки O пространства проведем векторы A и B и построим на них параллелограмм. Перпендикуляр в точке O к плоскости построенного параллелограмма имеет два противоположных направления. Одно изэтих направлений обладает тем свойством, что для наблюдателя,стоящего вдоль него, направление вектора A может быть переведено в направление вектора B вращением на угол, меньший π, вту же сторону, в какую для наблюдателя, стоящего вдоль оси OZ,положительное направление оси OX может быть переведено в направление оси OY вращением на угол π2 .116]§ 10. Основы векторной алгебры455На рис. 84 изображено это направление перпендикуляра в случае правой и левой систем координат.Векторным произведением вектора A на вектор B называетсявектор, по величине равный площади параллелограмма, построенного на этих векторах, и по направлению совпадающий с вышеуказанным направлением перпендикулярак плоскости этого параллелограмма.Векторное произведение вектораA на вектор B обычно обозначают символом A × B.
Его величина,согласно предыдущему определению,равна|A||B| sin(A, B).(9)Его направление зависит от ориентировки координатной системы ипри перемене ориентировки перехоРис. 84.дит в противоположное.Если векторы A и B имеют одинаковые или противоположныенаправления, то векторное произведение равно нулю. Вектор, укоторого направление зависит от ориентировки осей, как, например, у A × B, называется часто псевдовектором. Отметим, что дляопределения вектора достаточно задать тройку чисел (Ax , Ay , Az ) вкакой-либо определенной прямоугольной системе координат XY Z.Во всякой другой прямоугольной системе X ′ Y ′ Z ′ составляющие(Ax′ , Ay′ , Az′ ) получатся из (Ax , Ay , Az ) по формулам преобразования координат.
Если X ′ Y ′ Z ′ имеют ориентировку, отличную отXY Z, то для псевдовектора надо еще изменить знак у составляющих.Отметим еще очевидные формулыA × A = 0;j × k = i;B × A = −A × B;k × i = j;i × j = k.(10)(11)Найдем теперь выражение составляющих векторного произведения P = A × B через составляющие векторов A и B. Принимая456Гл. IV. Векторный анализ и теория поля[116во внимание перпендикулярность вектора A × B векторам A и B,можем написатьPx Ax + Py Ay + Pz Az = 0,Px Bx + Py By + Pz Bz = 0.Воспользуемся следующей элементарной алгебраической леммой,доказательство которой предоставляем читателю:Л е м м а. Решение двух однородных уравнений с тремя переменнымиax + by + cz = 0, a1 x + b1 y + c1 z = 0имеет видx = λ(bc1 − cb1 ),y = λ(ca1 − ac1 ),z = λ(ab1 − ba1 ),где λ — произвольный множитель.
При этом считается, что хотя бы одна из написанных разностей отлична от нуля.Применяя эту лемму, получимPx = λ(Ay Bz −Az By ), Py = λ(Az Bx −Ax Bz ), Pz = λ(Ax By −Ay Bx ),где λ еще надо определить. Заметим, что если все три написанныеразности равны нулю, то векторы A и B образуют углы 0 или π, иA×B = 0, т. е. Px = Py = Pz = 0. Воспользуемся для определения λтождеством, которое называется обычно тождеством Лагранжа:(a2 + b2 + c2 )(a21 + b21 + c21 ) − (aa1 + bb1 + cc1 )2 == (bc1 − cb1 )2 + (ca1 − ac1 )2 + (ab1 − ba1 )2 , (12)справедливость которого нетрудно проверить, раскрывая скобки вего обеих частях. Отметим далее, что (Px2 + Py2 + Pz2 ) есть квадратдлины вектора P, т.
е.λ2 [(Ay Bz − Az By )2 + (Az Bx − Ax Bz )2 + (Ax By − Ay Bx )2 ] == |A|2 |B|2 sin2 (A, B).116]§ 10. Основы векторной алгебры457Применяя к левой части тождество Лагранжа, можем переписатьэто равенство так:λ2 [(A2x + A2y + A2z )(Bx2 + By2 + Bz2 ) − (Ax Bx + Ay By + Az Bz )2 ] == |A|2 |B|2 sin2 (A, B),или, принимая во внимание (4) и (6),λ2 [|A|2 |B|2 − |A|2 |B|2 cos2 (A, B)] = |A|2 |B|2 sin2 (A, B),откуда непосредственно следует, что λ = ±1.Докажем наконец, что λ = +1. Подвергнем векторы A и Bнепрерывной деформации, которая привела бы вектор A к совпадению с основным вектором i, а вектор B — к совпадению с основнымвектором j.
Деформацию можно производить так, что векторы Aи B в нуль не обращаются и не бывают параллельны между собой.Тогда векторное произведение A × B, не обращаясь в нуль, такжебудет непрерывно изменяться и в результате обратится вi × j = k,так как A совпадает с i и B с j.Принимая во внимание непрерывность изменения, а также тообстоятельство, что λ может иметь лишь два значения (±1), можем утверждать, что λ вообще не будет меняться при указаннойдеформации и что, следовательно, значение λ после деформациибудет таким же, каким оно было и до нее. Но после деформациимы будем иметьAx = 1, Ay = Az = 0, By = 1, Bx = Bz = 0, Pz = 1, Px = Py = 0,и из соотношенияPz = λ(Ax By − Ay Bx )мы можем заключить, что λ = +1.Мы получаем, таким образом, следующие выражения слагающих векторного произведения A × B:Ay Bz − Az By ,Az Bx − Ax Bz ,Ax By − Ay Bx .(13)458Гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
