1610915346-ca3c42683bad539de2fd15cb675d150f (824739), страница 71
Текст из файла (страница 71)
91.это будет внутренняя нормаль, а на другом (S2 ) — внешняя по отношению к выделенной части векторной трубки. Применяя к нейформулу (47), будем иметьZZZZAn dS −An dS = 0,(S2 )(S1 )причем знак (—) в интеграле по (S1 ) вызван тем обстоятельством,что на (S1 ) направление (n) противоположно направлению внешнейнормали. Предыдущее равенство показывает, что интегралZZAn dS(48)(S)в случае соленоидального поля имеет одно и то же значение длявсех сечений (S) векторной трубки. Он дает поток поля через сечение (S) и называется обычно напряжением векторной трубкив сечении (S).
Таким образом для соленоидального поля напряжение имеет одно и то же значение во всех сечениях векторнойтрубки. Если при движении вдоль векторной трубки площадь еесечения увеличивается, т. е. векторная трубка расширяется, то интенсивность потока, т. е. величина An , вообще говоря, уменьшаетсятак, что величина интеграла (48) остается неизменной.123. Направленный элемент поверхности.
Подобно направленному элементу кривой [121], можно ввести в рассмотрениенаправленный элемент поверхности dS. Положим, что мы различили на данной поверхности две стороны, так что в каждой точке поверхности имеются два взаимно противоположных направления нормали, связанных с той или другой стороной поверхности,478Гл. IV. Векторный анализ и теория поля[123причем в случае непрерывного движения по поверхности направление нормали, определенное с той или другой стороны поверхности,будет изменяться непрерывно [67]. В случае замкнутой поверхности имеются внутренняя и внешняя нормали по отношению к объему, ограниченному поверхностью. Направленным элементом dSповерхности назовем вектор, длина которого равна площади dSэлемента, а направление совпадает с определенным направлениемнормали (n) к этому элементу.
В случае замкнутой поверхностиусловимся принимать за таковое направление внешней нормали, адля внутренней нормали вместо (n) будем писать (n1 ).Проекции вектора dS на координатные оси будут давать проекции элемента площади поверхности на соответствующие координатные плоскости со знаком плюс или минус, смотря по тому,будет ли угол, образованный (n) с координатной осью, острым илитупым.Пусть f (M ) есть некоторая скалярная функция и A(M ) — вектор, определенные на поверхности (S).
Составим выраженияZZf (M )dS(49)ZZA(M ) · dS,(491 )ZZA(M ) × dS.(492 )(S)(S)(S)Первое из них есть вектор, составляющие которого сутьZZZZf (M ) cos(n, X)dS,f (M ) cos(n, Y )dS,(S)ZZ(S)(S)f (M ) cos(n, Z)dS.123]§ 11. Теория поля479Выражение (491 ) есть скалярZZZZA · dS =An dS(S)(S)и, наконец, выражение (492 ) есть вектор с составляющимиZZ[Ay cos(n, Z) − Az cos(n, Y )]dS,(S)ZZ[Az cos(n, X) − Ax cos(n, Z)]dS,(S)ZZ[Ax cos(n, Y ) − Ay cos(n, X)]dS.(S)Пусть (S) — замкнутая поверхность и (v) — объем, ею ограниченный, причем f (M ) и A(M ) определены во всем объеме.
Пользуясь формулой Остроградского, нетрудно проверить следующие триравенства:ZZZZZgradf dv,f dS =(S)ZZ(S)ZZ(S)(50)(v)A · dS =ZZZdivAdv,(501 )(v)A × dS = −ZZZrotAdv.(502 )(v)Равенство (501 ) совпадает с формулой (37). Проверим еще равенство (502 ). Слагающие по оси OX левой и правой частей выражаются интеграламиZZZZZ ∂Ay∂Az−dv,[Ay cos(n, Z) − Az cos(n, Y )]dS, −∂y∂z(S)(v)480Гл. IV. Векторный анализ и теория поля[124которые совпадают по величине, в чем нетрудно убедитьсяпреобразованием тройного интеграла по формуле Остроградского.Совершенно аналогично, пользуясь формулой Стокса и направленным элементом поверхности, можем написать следующие формулы:ZZZZf ds = −(l)ZZ(l)gradf × dS,(51)rotA · dS.(511 )(S)A · ds =ZZ(S)Здесь (S) — некоторая поверхность и (l) — ее контур.
Вторая изэтих формул совпадает с формулой (41), так как в силу определения скалярного произведения rot A · dS = rotn AdS. Для формулы(51) составляющие левой и правой частей на оси OX будутZZZZ ∂f∂fcos(n, Z) −cos(n, Y ) dS;f dx; −∂y∂z(l)(S)пользуясь формулой (22) из [73], нетрудно показать, что эти выражения равны.124. Некоторые формулы векторного анализа. Укажемнекоторые соотношения, связывающие введенные нами векторныеоперации. В [122] мы видели, что вихрь потенциального поля равеннулю:rot gradU = 0.(52)Нетрудно проверить, что вихревое поле имеет расходимость,равную нулю, т.
е.div rotA = 0.(53)Действительно,∂Ay∂ ∂Ax∂Az∂ ∂Az−+−+div rotA =∂x ∂y∂z∂y ∂z∂x∂ ∂Ay∂Ax+−= 0.∂z ∂x∂y124]§ 11. Теория поля481Введем еще в рассмотрение расходимость потенциального поляdiv gradU =∂∂∂gradx U +grady U +gradz U,∂x∂y∂zилиdiv gradU =∂2U∂2U∂2U++.∂x2∂y 2∂z 2(54)Дифференциальный оператор∆U =∂ 2U∂2U∂2U++∂x2∂y 2∂z 2(55)называется оператором Лапласа. Из левой части (54) видно, что онне зависит от выбора координатных осей. Применяя формулу (38)к вектору U , получим определение ∆U в точке M в видеRR ∂U∂n dS∆U =lim(S1 )(v1 )→Mv1.(56)Мы определим ∆U для случая, когда U — скаляр. Символ ∆A, гдеA — векторное поле, означает вектор, составляющие которого суть∆Ax , ∆Ay и ∆Az .
Укажем еще следующие формулы:rot rotA = grad divA − ∆Adiv(f A) = f divA + gradf · A,(57)(571 )div(A × B) = B · rotA − A · rotB,(572 )rotf A = gradf × A + f rotA,(573 )∆(φϕ) = ψ∆ϕ + ϕ∆ψ + 2gradϕ · gradψ.(574 )Мы проверим лишь первую из этих формул, предоставляя проверку остальных читателю. Возьмем составляющую по оси OX вектора, стоящего в левой части (57), и покажем, что она совпадет ссоставляющей вектора, стоящего в правой части:482Гл. IV.
Векторный анализ и теория поля∂∂∂rotx rotA =rotz A −roty A =∂y∂z∂y∂Ax∂Ay−−∂x∂y∂Az∂ ∂Ax−,−∂z ∂z∂xоткуда, открывая скобки и прибавляя и вычитаяrotx rotA =[125∂ 2 Ax∂x2 , 2∂ Ax ∂ 2 Ax ∂ 2 Ax∂ ∂Ax ∂ 2 Ax ∂ 2 Ax++−++=∂x ∂x2∂y 2∂z 2∂x2∂y 2∂z 2∂=divA − ∆Ax ,∂xчто и требовалось доказать. Заметим при этом, что из формулы(57) следует независимость ∆A от выбора осей, ибо∆A = grad divA − rot rotA.125. Движение твердого тела и малая деформация.
В [118] мывидели, что при вращении твердого тела вокруг точки O скорость любойточки выражается формулойv = o × r,−−→где o — вектор мгновенной угловой скорости и r — радиус-вектор OM .Самый общий случай движения твердого тела мы получим, придавая ему еще переносное движение со скоростью v0 , и при этом полнаяскорость выразится формулойv = v0 + o × r.(58)Найдем теперь обратно — вектор угловой скорости по заданному полюскоростей v.
Заметим прежде всего, что векторы v0 одинаковы в данныймомент для всех точек тела, а потому они не зависят от (x, y, z). Мыимеем тогда по формуле (40) rotv0 = 0.Пусть p, q, r — составляющие o относительно осей, имеющих началов O. Составляющие векторного произведения o × r будут: qz − ry, rx − pz,py − qx, так что согласно (40) составляющие rot(o × r) будут 2p, 2q, 2r,а потому вектор угловой скорости выразится через v в видеo=1rotv.2(59)125]§ 11. Теория поля483Отсюда и самое название вектора rotv — вращение вектора скорости.Если помножим вектор скорости v на величину dt малого промежутка времени, то получится вектор v dt, который будет давать приближенно смещение точки за малый промежуток времени dt.
Таким образомполучим векторное поле малых смещений точек твердого тела:A = vdt.Обращаясь к формуле (58) и считая, что переносное движение отсутствует, т. е. что точка O закреплена, получим следующую формулу длявектора смещения:A = o1 × r,(60)где o1 = odt есть малый вектор, направленный по оси вращения и равный малому углу поворота за промежуток времени dt.
Пусть p1 , q1 , r1 —составляющие этого вектора и (x, y, z) — координаты переменной точкитвердого тела. Составляющие вектора A будутAx = q1 z − r1 y,Ay = r1 x − p1 z,Az = p1 y − q1 x.Отсюда, как и выше, нетрудно выразить вектор малого поворота через вектор смещения1(61)o1 = rotA.2Кроме того, последние формулы показывают, что составляющие вектораA суть линейные однородные функции координат (x, y, z).Рассмотрим теперь общий случай линейной однородной деформации,при которой составляющие вектора смещения суть линейные однородныефункции координат:Ax = a1 x + b1 y + c1 z,Ay = a2 x + b2 y + c2 z,Az = a3 x + b3 y + c3 z.(62)Коэффициенты a, b и c будем считать малыми и ограничимся рассмотрением малого объема (v) вблизи начала координат.
Всякая точкаэтого объема сместится на вектор A и ее новые координаты после преобразования будут:ξ = x + Ax ,η = y + Ay ,ζ = z + Az ,484Гл. IV. Векторный анализ и теория поля[125т. е.ξ = (1 + a1 )x + b1 y + c1 z,(63)η = a2 x + (1 + b2 )y + c2 z,ζ = a3 x + b3 y + (1 + c3 )z.Такое преобразование будет только в частных случаях сводиться квращению объема (v), как твердого целого вокруг O. В общем случаеоно будет связано и с деформацией этого объема, т.
е. с изменением расстояний между его точками. Выясним несколько подробнее это обстоятельство.Составляющие вихря вектора смещения A, согласно (62), будут:b3 − c2 , c1 − a3 , a2 − b1 . Если бы преобразование сводилось к вращениюэлементарного объема как целого, то мы получили бы вектор смещенияA(1) с составляющимиA(1)x =1111(c1 − a3 )z − (a2 − b1 )y, A(1)(a2 − b1 )x − (b3 − c2 )z,y =222211(1)Az = (b3 − c2 )y − (c1 − a3 )x.22Вычитая этот вектор из A, представим этот последний в видеA = A(1) + A(2) ,где вектор чистой деформации A(2) имеет составляющие11(b1 + a2 )y + (c1 + a3 )z,A(2)x = a1 x +2211(2)Ay = (b1 + a2 )x + b2 y + (c2 + b3 )z,2211(2)Az = (c1 + a3 )x + (c2 + b3 )y + c3 z.
22(64)(65)Нетрудно видеть, что этот вектор будет потенциальным вектором, аименноA(2) =1grad[a1 x2 + b2 y 2 + c3 z 2 + (b1 + a2 )xy + (c1 + a3 )xz + (c2 + b3 )yz],2и, очевидно, вихрь этого вектора будет нуль.Определим теперь изменение элементарного объема в результате деформации. После деформации новый объем будет выражаться интеграломZZZv1 =dξdηdζ.(v)126]§ 11. Теория поля485Совершая замену переменных по формуле из [63], должны будем заменитьdξdηdζ = {(1 + a1 )[(1 + b2 )(1 + c3 ) − c2 b3 ] + b1 [c2 a3 − a2 (1 + c3 )]++ c1 [a2 b3 − (1 + b2 )a3 ]}dxdydz.Раскрывая скобки и удерживая лишь свободный член и первые степени малых коэффициентов a, b и c, получимdξdζdζ = [1 + (a1 + b2 + c3 )]dxdydz,и предыдущая формула даетZZZv1 =[1 + (a1 + b2 + c3 )]dxdydz = v + (a1 + b2 + c3 )v,(v)где v — величина объема до деформации. Коэффициент кубического изменения будетv1 − v= a1 + b2 + c3 ,vно нетрудно видеть, в силу (62), что сумма, стоящая справа, есть divA,т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
