1610915346-ca3c42683bad539de2fd15cb675d150f (824739), страница 72
Текст из файла (страница 72)
е. расходимость поля смещений дает коэффициент кубического изменения.126. Уравнение непрерывности. Пусть v означает скорость течения жидкости. Вычислим количество жидкости, протекающей черезданную поверхность (S) (рис. 92). Пусть dS — малый элемент поверхности. Частицы, занимавшие в момент t положение dS, за промежутоквремени dt передвинутся на отрезок v dt, итаким образом за этот промежуток времени через dS протечет количество жидкостиdQ, занимающее объем цилиндра с основанием dS и образующей vdt. Высота этогоцилиндра равна, очевидно, vn dt, где vn естьпроекция v на нормаль (n) к поверхности,а потомуdQ = ρvn dtdS,где ρ есть плотность жидкости.
ВеличиРис. 92.на dQ получится отрицательной, если угол(n, v) окажется тупым. В случае замкнутой поверхности направление (n)486Гл. IV. Векторный анализ и теория поля[126совпадает с направлением внешней нормали поверхности, и величина dQполучится отрицательной, если жидкость втекает в объем, ограниченныйэтой поверхностью, через площадку dS. Общее количество жидкости,вытекающей через поверхность, отнесенное к единице времени, будетZZQ=ρvn dS,(66)(S)при этом втекающая жидкость подсчитывается этой формулой со знакомминус.Количество жидкости, занимающей объем (v), ограниченный (S), выражается интеграломZZZρdv,(v)и за это время dt это количество изменит свою величину наZZZ∂ρdv,dt∂t(v)а потому отнесенное к единице времени приращение количества жидкости будетZZZ∂ρdv,∂t(v)а количество вытекающей жидкости выразится тем же интегралом, но собратным знаком, так что для Q получим два выраженияZZZZZ∂ρdv,Q=ρvn dS = −∂t(S)(v)или, согласно формуле (37),ZZZZZZ∂ρdv,Q=div(ρv)dv = −∂t(v)(v)причем мы оставляем плотность ρ под знаком расходимости, так как онаможет быть переменной, т.
е. зависеть от положения точки. Последняяформула дает нам соотношение, справедливое для любого объема внутрижидкости:ZZZ ∂ρ+ div(ρv) dv = 0.∂t(v)126]§ 11. Теория поля487В [74] мы признали, что если двойной интеграл по любой областиот некоторой непрерывной функции равен нулю, то эта функция тождественно равна нулю. То же доказательство годится и для тройногоинтеграла. Отсюда следует∂ρ+ div(ρv) = 0.∂t(67)Это соотношение, связывающее плотность и вектор скорости любой жидкости, сжимаемой или нет, называется уравнением непрерывности.
Соотношение (67) может быть записано иначе, если мы учтем изменениеплотности ρ жидкой частицы, причем ρ(t, x, y, z) есть плотность частицы, которая в момент t имела координаты (x, y, z). Плотность этой частицы зависит от t как непосредственно, так и через посредство (x, y, z),поскольку частица движется и ее координаты зависят от t. Полная производная от ρ по t будет∂ρ∂ρ dx∂ρ dy∂ρ dzdρ=+++,dt∂t∂x dt∂y dt∂z dtчто можно записать и так:∂ρ∂ρ∂ρ∂ρdρ=+vx +vy +vz ,dt∂t∂x∂y∂zили∂ρdρ=+ gradρ · v.dt∂tМы можем переписать равенство (67), пользуясь (571 ), в виде(68)∂ρ+ gradρ · v + ρdivv = 0,∂tт.
е., в силу (68),откудаdρ+ ρdivv = 0,dt(69)1 dρ.ρ dtТаким образом расходимость поля скоростей v дает относительноеизменение плотности элемента жидкости, находящегося в данном месте, — изменение, отнесенное к единице времени.Если жидкость несжимаема, то это изменение должно равняться нулю, и мы получим из (69) условие несжимаемостиdivv = −divv = 0.(70)488Гл. IV. Векторный анализ и теория поля[127Мы вывели условие непрерывности путем подсчета количества жидкости, вытекающей из объема, подсчета, произведенного двумя способами. При этом предполагается, конечно, что в объеме нет источниковжидкости — ни положительной, ни отрицательной силы (сток).Если течение жидкости невихревое, или, иначе говоря, потенциально,т. е.
вектор v есть потенциальный векторv = gradϕ,то ϕ называется потенциалом скорости. Подставляя в уравнение (70),получим:∂2ϕ∂2ϕ∂2ϕ++= 0,(71)div gradϕ = 0, т. е.∂x2∂y 2∂z 2т. е. потенциал скорости для случая несжимаемой жидкости долженудовлетворять уравнению Лапласа (71).127. Уравнения гидродинамики идеальной жидкости. Подидеальной жидкостью мы будем подразумевать такую деформируемуюсплошную среду, в которой внутренние силы — находится ли она в состоянии равновесия или движения — приводятся к нормальному давлению,так что если выделить в этой среде некоторый объем (v), ограниченныйповерхностью (S), то действие на него остальной части среды приводится к силе, направленной в каждой точке (S) по внутренней нормали.Обозначим величину этой силы (давление), отнесенную на единицу площади, буквой p.
В каждый данный момент давление p(M ) дает некотороескалярное поле. Равнодействующая сил давления на поверхности объема(v) выразится, в силу (50), интеграломZZZZZgradpdv,−pdS = −(S)(v)где знак (—) поставлен потому, что положительное давление действуетв направлении внутренней нормали, а вектор dS по условию направленпо внешней нормали.Применяя принцип Даламбера, мы должны уравновесить силу давления внешними силами, которые мы относим к единице массы и обозначаем F, что дает в объеме (v) равнодействующуюZZZρFdv,(v)127]§ 11.
Теория поля489и, наконец, силою инерции, которая на элемент массы будет — ρdvW,где ρ — плотность, W — вектор ускорения жидкой частицы. На объем(v) сила инерции будетZZZ−ρWdv.(v)Итак, согласно принципу Даламбера, мы должны иметьZZZ[ρF − gradp − ρW]dv = 0,(v)откуда, в силу произвольности (v), как и выше, можно заключить, чтоподынтегральная функция равна нулю, и тогда получимρW = ρF − gradp.(72)В этой формуле заключаются три уравнения, которые являются основными уравнениями гидродинамики идеальной жидкости.Пусть u, v, w — составляющие вектора скорости, выраженные какфункции координат точек (x, y, z) и времени t. Слагающая вектора ускорения W по оси OX будет равна полной производной по времени отсоставляющей u(t, x, y, z) вектора скорости, так что мы можем написатьWx =∂u dx∂u dy∂u dz∂u+++∂t∂x dt∂y dt∂z dtилиWx =∂u∂u∂u∂u+u+v+w.∂t∂x∂y∂zСовершенно так же∂v∂v+u+∂t∂x∂w∂wWz =+u+∂t∂xWy =∂v∂vv+w,∂y∂z∂w∂wv+w.∂y∂zТаким образом уравнение (72) приведет нас к трем уравнениям:∂u∂u∂u1 ∂p ∂u+u+v+w = Fx −,∂t∂x∂y∂zρ ∂x ∂v∂v∂v∂v1 ∂p +u+v+w = Fy −,∂t∂x∂y∂zρ ∂y ∂w∂w∂w∂w1 ∂p +u+v+w = Fz −∂t∂x∂y∂zρ ∂z.(73)490Гл.
IV. Векторный анализ и теория поля[128Это — так называемые уравнения гидродинамики в форме Эйлера. К этимуравнениям надо присоединить еще уравнение непрерывности, котороемы вывели в предыдущем номере. Пользуясь настоящими обозначениями, можем переписать уравнение (69) в виде∂ρ∂ρ∂ρ∂u∂v∂w∂ρ+u+v+w+ρ++= 0.∂t∂x∂y∂z∂x∂y∂z(74)Характерной особенностью написанных уравнений является то обстоятельство, что при исследовании движения мы выбрали за независимыепеременные координаты точки пространства (x, y, z) и время t. В некоторых случаях вместо координат точек пространства (x, y, z) за независимые переменные выбирают координаты того положения жидкой частицы, которое она имела в начальный момент времени.
При таком выборенезависимых переменных уравнения гидродинамики, конечно, будут выглядеть иначе. Уравнения (73) и (74) — четыре уравнения, содержащиепять неизвестных функций (u, v, w, ρ, p). К этой системе надо добавитьеще одно уравнение. Можно считать, например, что плотность постоянна или что имеется определенная зависимость между плотностью идавлением p = f (ρ) (уравнение состояния).128. Уравнения распространения звука. Уравнения (72) или(73) имеют место не только для жидкости в тесном смысле этого слова, но и для газа. Существенным является лишь гипотеза о том, чтовнутренняя сила сводится к одному давлению.
Будем считать движениенастолько малым, чтобы в левых частях уравнений (73) можно былопренебречь членами, содержащими произведение скоростей на их производные по координатам. При этом уравнения (73) перепишутся так:1 ∂p∂u= Fx −,∂tρ ∂x∂v1 ∂p= Fy −,∂tρ ∂y∂w1 ∂p= Fz −,∂tρ ∂z(75)или в векторной форме:1∂v= F − gradp.∂tρ(76)Точно так же, отбрасывая в уравнении (74) члены с произведениями проекций скорости на производные от плотности по координатам, получим∂ρ+ ρdivv = 0.∂t(77)128]§ 11. Теория поля491Пусть ρ0 — постоянная плотность среды в состоянии покоя.
Введем малую величину s, характеризующую относительное изменение плотностипри движении и определяемую равенствомρ = ρ0 (1 + s).Отсюдаdsdρ=∼ ds,ρ1+sпричем в знаменателе (1 + s) мы отбрасываем малую величину s. В силу= ρ1 ∂ρ, и равенство (77) даетнаписанного, можно считать ∂s∂t∂t∂s= −divv.∂t(78)Можно считать, что градиент давления пропорционален градиенту величины s, характеризующей сжатие или разрежение, т. е.gradp = egrads,где e — коэффициент упругости среды. Подставляя это в уравнение (76)и считая в этом уравнении ρ = ρ0 , получимe∂v= F − grads.∂tρ0Возьмем операцию расходимости от обеих частей этого равенстваe∂divv = divF − div grads.∂tρ0Принимая во внимание (78), можем написать это уравнение так:r ∗e∂2s2=a∆s−divF.(79)a=∂t2ρ0Этому уравнению должна удовлетворять величина s, которая есть функция времени и координат точки. Заметим, что при вычислении расходимы переставили дифференцирование по t с опемости производной ∂v∂tрацией расходимости, что представляется законным, так как результатдифференцирования не зависит от порядка дифференцирования.∗ Такое переобозначение константы сделано из соображений удобства ичтобы подчеркнуть ее положительность.492Гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
