1610915346-ca3c42683bad539de2fd15cb675d150f (824739), страница 76
Текст из файла (страница 76)
Если, например, (L) — прямая, то во всех ее точках |N| = 0, имы можем выбирать любое из двух направлений нормали к прямойв той плоскости, в которой мы рассматриваем прямую. В дальнейшем мы будем считать, что |N| 6= 0В силу (3) имеемN=1n.ρ(4)Отложим на направлении n,т. е. на направлении нормали кривой в сторону вогнутости, отрезок M C, равный радиусу кривизны ρ в точке M(рис. 98). Его конец C называется центром кривизны кривой в точке M . Если M двигается вдоль кривой (L), то CРис. 98.меняется и описывает некоторую кривую (L1 ), которая называется эволютой кривой (L), т. е.эволютой кривой называется геометрическое место ее центров кривизны.Для дальнейшего нам необходимо определить производную dnds .Вектор n есть единичный вектор, и, следовательно, dn⊥n,тоестьds516Гл.
V. Основы дифференциальной геометрии[133dndsпараллелен касательной. Дифференцируя очевидное равенствоt · n = 0 по s, будем иметьN·n+t·dn= 0.dsНо векторы N и n совпадают по направлению, и, в силу (4),1N · n = ρ1 , так что из последнего равенства следует t · dnds = − ρ .dnСопоставляя это с параллельностью векторов t и ds , видим, что1dnds по направлению противоположен t и имеет длину ρ , т.
е.1dn= − t.dsρ(5)Пусть, как и выше, r и s — радиус-вектор и длина дуги для кривой (L), а r1 и s1 — те же величины для эволюты (L1 ). Дифференцируя равенство (рис. 98)r1 = r + ρnпо s, получимdρdndr1= t+ n+ρ ,dsdsdsили, в силу (5),dρdr1= t + n − t,dsdsто естьdρdr1=n.dsds(6)Правая часть этой формулы есть вектор, направленный по нормали к (L), а левая — вектор, направленный по касательной к эволюте, и, следовательно, нормаль кривой (L) параллельна касательной эволюты.
Но обе эти линии проходят через одну и ту же точкуC, а поэтому должны совпадать, и мы имеем первое свойство эволюты: нормаль к кривой касается эволюты в соответствующейточке.Вспоминая определение огибающих семейств линий, мы можемвысказать и следующее второе свойство эволюты: эволюта естьогибающая семейства нормалей к кривой.133]§ 12. Кривые на плоскости и в пространстве517Естественным параметром для эволюты является ее длина дугиs1 , и, согласно правилу дифференцирования сложных функций,dr1 ds1ds1dr1==t1 ,dsds1 dsdsгде t1 — единичный вектор касательной эволюты. Подставляя в (6),получимdρds1t1 =n,dsdsоткуда, сравнивая длины векторов, стоящих в обеих частях этогоравенства, будем иметь ds1 dρ ds = ds , т.
е. |ds1 | = |dρ|.Считая для простоты, что на рассматриваемом участке кривой иэволюты величины s1 и ρ увеличиваются, можно написать ds1 = dρ.Интегрируя это соотношение по рассматриваемому участку, обнаружим, что приращение длины дуги эволюты совпадает с приращением радиуса кривизны исходной кривой. Таким образом мы получаем третье свойство эволюты: на участке монотонного изменениярадиуса кривизны приращение его равно приращению длины дугиэволюты между соответствующими точками.
В случае рис. 98это свойство выразится равенством: M1 C1 − M C =` CC1 .Выберем на плоскости определенные координатные оси OX иOY , и пусть ϕ есть угол, образованный направлением касательнойt с осью OX. Выражая единичный вектор через его составляющие,получимt = cos ϕi + sin ϕj,где i и j суть единичные векторы по осям OX и OY . Дифференцируем предыдущее равенство по s:N = − sin ϕdϕdϕi + cos ϕ j,dsdsоткуда квадрат длины вектора кривизны будет2 21dϕdϕ= − sin ϕ+ cos ϕилиρ2dsds 1 dϕ .=ρ ds 518Гл. V.
Основы дифференциальной геометрии[133Мы получаем таким образом выражение для кривизны, которое мыуже приводили в [I, 71].Положим, что уравнение кривой (L) дано в явной формеy = f (x).(7)Семейство нормалей к этой кривой будет иметь уравнениеY −y =−1(X − x) илиy′(X − x) + y ′ (Y − y) = 0.(8)Здесь (X, Y ) суть текущие координаты нормали, а (x, y) — координаты точки M кривой (L), причем y есть функция (7) от x.Таким образом роль параметра в уравнении семейства нормалей(8) играет абсцисса x переменной точки кривой. Применяя к семейству (8) обычное правило нахождения огибающей [13], мы должнынаписать два уравнения: уравнение (8) и новое уравнение, котороеполучается из него дифференцированием по параметру x:)(X − x) + y ′ (Y − y) = 0,(9)′−1 + y ′′ (Y − y) − y 2 = 0.Исключая из этих уравнений параметр x, мы получим уравнение, связывающее X и Y .
Это и будет уравнение огибающей семейства нормалей, т. е. уравнение эволюты. Можно поступать и иначе,а именно, решая систему (9) относительно X и Y , мы выразим последние через параметр x, т. е. получим параметрическое уравнениеэволюты′′1+y 2y ′ (1 + y 2 ),.(10)Y=y+X =x−y ′′y ′′Если уравнение кривой (L) задано само в параметрической форме, то надо в формулах (10) выразить производные от y по x черездифференциалы переменных [I, 74]:y′ =dy,dxy ′′ =ddydxdx=d2 ydx − d2 xdy,dx3133]§ 12. Кривые на плоскости и в пространстве519и, подставляя эти выражения в (10), получим параметрическоеуравнение эволюты для этого случая:X =x−dy(dx2 + dy 2 ),d2 ydx − d2 xdyY =y+dx(dx2 + dy 2 ).d2 ydx − d2 xdy(11)П р и м е р ы. 1. Найдем эволюты эллипсаy2x2+=1a2b2(a > b).Написав уравнение эллипса в параметрической формеx = a cos t,y = b sin tи подставляя в уравнение (11), найдем после несложных вычислений:X=a 2 − b2cos3 t,aY =−a 2 − b2sin3 t.bИсключим параметр t из этих двух уравнений.
Умножая первое изуравнений на a, второе на b, возводя в степень 23 и складывая, получимуравнение эволюты эллипса в неявной форме:222a3 X 3 + b3 Y232= (a2 − b2 ) 3 .Нетрудно, пользуясь этими уравнениями построить эволюту эллипса. Заметим, что в вершинах эллипса его радиус кривизны принимает наименьшее и наибольшее значения, и в соответствующих точках эволюта имеетособые точки, а именно точки возврата (рис. 99).2. Найдем эволюту параболы y = ax2 . Пользуясь уравнениями (10),получим без трудаX = −4a2 x3 ,Y =1+ 3ax2 .2aИсключая отсюда параметр x, получим уравнение эволюты параболыв явной форме (рис.
100):Y =231+ √X3.2a2 3 2a3. Рассмотрим циклоидуx = a(t − sin t),y = a(1 − cos t).520Гл. V. Основы дифференциальной геометрииРис. 99.[134Рис. 100.Пользуясь формулами (11), найдем для ее эволюты параметрическоеуравнениеX = a(t + sin t), Y = −a(1 − cos t).Нетрудно показать, что эта кривая будет такая же циклоида, что изаданная кривая, но иначе расположенная относительно осей (рис. 101).Действительно, полагая t = τ − π, последние формулы можно переписать в видеX + aπ = a(τ − sin τ ),Y + 2a = a(1 − cos τ ),откуда и следует наше утверждение.134. Эвольвента.
Сама кривая (L) по отношению к своей эволюте (L1 ) называется эвольвентой. Из свойств эволюты нетруднополучить правило построения эвольвенты по заданной эволюте. Если C — переменная точка на (L1 ) и s1 — длина дуги этой кривой, то,откладывая на касательной к (L1 ) в точке C в отрицательном направлении отрезок CM = s1 + a, где a — некоторая постоянная, получим геометрическое место (L) концов M . Нетрудно показать, что134]§ 12. Кривые на плоскости и в пространстве521Рис. 101.это геометрическое место и будет искомой эвольвентой (рис. 102). Чтобыобнаружить это, достаточно доказать, что отрезок CM будет служитьнормалью к кривой (L). Пусть, каки выше, r и r1 — радиусы-векторыкривых (L) и (L1 ), t1 — единичныйвектор касательной к (L1 ).
По построениюРис. 102.r = r1 − (s1 + a)t1 ,откуда, дифференцируя по s1 ,dt1dr= t1 − t1 − (s1 + a),ds1ds1то естьdt1dr= −(s1 + a).ds1ds1dr, параллельный касательной к (L),Отсюда видно, что вектор ds1dt1, т. е. параллелен нормали кв то же время параллелен вектору ds1(L1 ), а отсюда следует, что касательная CM к (L1 ) есть нормаль к(L).Мы можем придавать произвольное значение постоянной a вформуле CM = s1 + a, а потому можем получить бесчисленноемножество эвольвент для заданной эволюты. Из самого способапостроения следует, что любые две эвольвенты будут иметь общиенормали и что отрезок нормали между этими двумя эвольвентами522Гл.
V. Основы дифференциальной геометрии[135будет сохранять постоянную длину, равную разности значений постоянной a, соответствующих взятым эвольвентам. Такие две кривые называются параллельными кривыми.135. Естественное уравнение кривой. Вдоль всякой кривойкривизна есть определенная функция длины дуги1= f (s).ρ(12)Покажем, наоборот, что всякому уравнению вида (12) соответствует одна определенная кривая.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
