1610915346-ca3c42683bad539de2fd15cb675d150f (824739), страница 80

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 80)

107).Согласно теореме второй, изучениекривизны кривых на поверхности своРис. 107.дится к изучению кривизны нормальных сечений в заданной точке поверхности. Как мы видели, для нормального сечения в формуле (48)надо считать cos ϕ = ±1. Согласимся относить знак (−), когда онвстретится, к величине ρ, т. е. согласимся считать радиус кривизны144]§ 13.

Элементы теории поверхностей545нормального сечения отрицательным, если главная нормаль нормального сечения противоположна направлению вектора m, т. е.противоположна выбранному направлению нормали к поверхности.При таком соглашении мы будем иметь для нормальных сеченийформулуLdu2 + 2M dudv + N dv 21=.REdu2 + 2F dudv + Gdv 2(56)Напомним еще раз, что в правой части этой формулы коэффициенты дифференциальных форм имеют определенное значение,так как мы фиксировали некоторую точку на поверхности, и велиdv, т. е. от выбора начина R1 зависит лишь от значения отношения duправления касательной. Знаменатель в правой части формулы (56)имеет всегда положительные значения, так как выражает величину1нормального сечения определяетсяds2 , а потому знак кривизны Rзнаком числителя, и могут представиться следующие три случая:1. Если во взятой точке M 2 − LN < 0, то для всех нормальных1имеет один и тот же знак, т.

е. главные нормали ко всемсечений Rнормальным сечениям направлены в одну и ту же сторону. Такаяточка поверхности называется эллиптической.1будет иметь различные знаки, т. е. во2. Если M 2 − LN > 0, то Rвзятой точке поверхности имеются нормальные сечения с противоположным направлением главной нормали. Такая точка поверхности называется гиперболической.3. Если M 2 − LN = 0, то при этом числитель в правой част формулы (56) представляет собой полный квадрат, и здесь R1 не меняетзнака, но при одном положении нормального сечения обращается внуль. Такая точка поверхности называется параболической.Заметим, что в гиперболическом случае трехчлен, стоящий вчислителе правой части формулы (56), меняя знак, обращается внуль, и будут два нормальных сечения с кривизной, равной нулю.В эллиптическом же случае таких сечений не будет.Введем координатные оси, приняв взятую точку поверхности заначало и поместив оси OX и OY в касательной плоскости, как мыэто делали в [142].546Гл.

V. Основы дифференциальной геометрии[144В силу формул (54), равенство (56) примет видr0 dx2 + 2s0 dxdy + t0 dy 21=.Rds2Касательная к нормальному сечению лежит в плоскости XOY ,dyи отношения dxds и ds равны соответственно cos θ и sin θ, где θ — угол,образованный касательной с осью OX. Таким образом предыдущаяформула принимает вид1= r0 cos2 θ + 2s0 cos θ sin θ + t0 sin2 θ.R(57)В этой формуле мы имеем в явном виде зависимость кривизны R1 от направления касательной, характеризуемого углом θ.

Приэтом если s20 − r0 t0 < 0, то точка будет эллиптической, в случаеs2 − r0 t0 > 0 — гиперболической, а в случае s20 − r0 t0 = 0 — параболической.В случае s20 − r0 t0 < 0 функция z = f (x, y) будет иметь в рассматриваемой точке максимум или минимум [I, 163], равный нулю,т. е.

поверхность вблизи этой точки будет расположена по одну сторону от касательной плоскости. При s20 − r0 t0 > 0 не будет ни максимума, ни минимума, т. е. в любом соседстве с рассматриваемойточкой поверхность будет расположена по обе стороны от касательной плоскости. Наконец, в параболической точке, где s20 − r0 t0 = 0,ничего определенного о расположении поверхности относительнокасательной плоскости сказать нельзя.Из формул (53) непосредственно вытекает, что знак (M 2 − LN )при любом выборе осей XY Z совпадает со знаком (s2 − rt) и,следовательно, при s2 − rt < 0 точка будет эллиптической, приs2 − rt > 0 — гиперболической и при s2 − rt = 0 — параболической.На одной и той же поверхности могут быть точки разных родов.Например, на торе, который получается вращением окружности вокруг оси, лежащей в одной плоскости с окружностью и вне ее [I,107], точки, лежащие с внешней стороны, будут эллиптическими,а с внутренней стороны — гиперболическими.

Эти две области отделяются одна от другой крайними параллелями тора, все точкикоторых суть параболические точки.145]§ 13. Элементы теории поверхностей547145. Индикатриса Дюпена и формула Эйлера. Фиксируякоординатные оси так, как это было указано в предыдущем номере,построим в касательной плоскости, т. е. в плоскости XOY , вспомогательную кривую следующим образом:√ на всяком радиусе-вектореиз начала O отложим отрезок ON = ±R, где R — радиус кривизны того нормального сечения, для которого взятый радиус-векторявляется касательной. Знак (±) выбираем так, чтобы под радикалом оказалась положительная величина. Геометрическое местоконцов N построенныхотрезков дает кривую, которая называется индикатрисой Дюпена.

Свойство этой кривой, согласно построению, следующее: квадрат любого ее радиуса-вектора дает абсолютное значениерадиуса кривизны тогонормального сечения, длякоторого взятый радиус-вектор является касательной (рис. 108).Составим уравнениеРис. 108.индикатрисыДюпена.Пусть (ξ, η) — координаты переменной точки N на индикатрисе.

Согласно построению√ξ = ±R cos θ,√η = ±R sin θ,т. е.ξ 2 = ±R cos2 θ,η 2 = ±R sin2 θ,причем при положительном R надо брать верхний знак, а при отрицательном — нижний. Умножая обе части равенства (57) на ±R,548Гл. V. Основы дифференциальной геометрии[145получим, в силу (57):r0 ξ 2 + 2s0 ξη + t0 η 2 = ±1.(58)Это и есть уравнение индикатрисы Дюпена. Кривая эта дает геометрически наглядное представление об изменении величины радиуса кривизны при вращении нормального сечения вокругнормали к поверхности.

В эллиптическом случае кривая (58) естьэллипс, и в правой части надо брать определенный знак. В гиперболическом случае уравнению (58) соответствуют сопряженные гиперболы. В параболическом же случае левая часть уравнения (58)есть полный квадрат, и его можно переписать в видеk(aξ + bη)2 = ±1,т. е.

(aξ + bη)2 = ±1= l2kилиaξ + bη = ±l,и мы имеем совокупность двух параллельных прямых. Во всех трехслучаях точка O является центром кривой, и кривая имеет две осисимметрии. Мы можем выбрать оси OX и OY совпадающими с этими осями симметрии; при этом, как известно, в левой части уравнения (58) пропадает член, содержащий произведение ξη, т. е. приуказанном выборе осей должно быть s0 = 0, и формула (57) дастпри таком выборе осей OX и OY1= r0 cos2 θ + t0 sin2 θ.R(59)Выясним геометрический смысл коэффициентов r0 и t0 . Полагая в формуле (59) θ = 0, мы получим кривизну R11 нормальногосечения, касающегося оси OX, и, следовательно, r0 = R11 . Точно также, полагая θ = π2 , получим, t0 = R12 , где R12 — кривизна нормального сечения, касающегося оси OY . Подставляя найденные значенияr0 и t0 в формулу (59), получим формулу Эйлераcos2 θ sin2 θ1=+.RR1R2(60)145]§ 13.

Элементы теории поверхностей549Заметим, что направления осей OX и OY совпадают с направлениями осей симметрии кривой (58). Положим, что R11 6= R12 ичто, например, R11 > R12 . Из формулы (60) непосредственно следует, что R1 достигает наибольшего значения при θ = 0 и θ = π инаименьшего значения — при θ = π2 и θ = 3π2 .Полученный результат формулируем в виде следующей теоремы:Т е о р е м а 3. В каждой точке поверхности существуют двавзаимно перпендикулярных направления в касательной плоскости,для которых кривизна R1 достигает максимума и минимума, иесли R11 и R12 — соответствующие этим направлениям значениякривизны, то кривизна любого нормального сечения выражается по формуле (60), где θ — угол, образованный касательной к рассматриваемому нормальному сечению с тем направлением, которое дает кривизну R11 .Радиусы кривизны R1 и R2 называются главными радиусамикривизны нормальных сечений в рассматриваемой точке.

Те два направления в касательной плоскости, которые их дают, называютсяглавными направлениями. Кроме того, в гиперболическом случаеполезно отметить еще два направления в касательной плоскости,а именно — направления асимптот индикатрисы Дюпена. Для этихасимптотических направлений радиус-вектор индикатрисы равенбесконечности, и кривизна соответствующего нормального сеченияв рассматриваемой точке равна нулю.В эллиптическом случае R1 и R2 имеют одинаковые знаки. Вгиперболическом случае эти величины будут разных знаков.

В параболическом же случае кривизна одного из главных нормальныхсечений будет равна нулю, и, считая, например, R12 = 0, мы будемиметь в параболическом случае формулуcos2 θ1=.RR1Отметим еще один частный случай точек поверхности эллиптического типа, а именно тот случай, когда величины R1 и R2 одинаковы, т. е. R1 = R2 . Формула (60) даст при этом R1 = R11 , т. е. вданном случае все нормальные сечения имеют в рассматриваемой550Гл. V.

Основы дифференциальной геометрии[146точке одинаковую кривизну. Такая точка поверхности называетсяточкой закругления, или омбилической точкой. Можно доказать,что сфера — единственная поверхность, все точки которой омбилические.146. Определение главных радиусов кривизны и главных направлений. Перепишем основную формулу (56) для кривизны нормального сечения в виде(L − ER−1 )du2 + 2(M − F R−1 )dudv + (N − GR−1 )dv 2 = 0.(61)Деля на dv 2 и вводя вспомогательную величину t = dudv , характеризующую направление касательной к нормальному сечению, получим уравнение:ϕ(R−1 , t) = (L − ER−1 )t2 + 2(M − F R−1 )t + (N − GR−1 ) = 0,из которого кривизна R−1 нормального сечения определяется в зависимости от t.

Характеристики

Список файлов книги