1610915346-ca3c42683bad539de2fd15cb675d150f (824739), страница 84
Текст из файла (страница 84)
Элементы теории поверхностей569двух параметров, определяющих положение точки на поверхности.Пусть уравнение (S) написано в явной форме: z = f (x, y), причем частные производные функции f (x, y) мы будем обозначатьтак же, как в [65]. Первые два направляющих косинуса нормалибудут функциями одного параметра a:pp= W1 (a),1 + p2 + q 2qp= W2 (a).1 + p2 + q 2Исключая из этих уравнений a, получим связь между p и q, которую можем написать в видеq = ϕ(p).Соотношение это должно быть выполнено на всей поверхности (S)и, дифференцируя его по независимым переменным x и y, получимs = ϕ′ (p)r,t = ϕ′ (p)s,откудаrt − s2 = 0,(99)т.
е. у поверхности, которая огибает семейство плоскостей с одним параметром, все точки должны быть параболическими.Поверхность (S) образована семейством прямых (98). Нетрудновидеть, что это семейство прямых имеет огибающую. Действительно, дифференцируя уравнения (98) по a, получим два уравнения)A′ (a)x + B ′ (a)y + C ′ (a)z + D′ (a) = 0,(100)A′′ (a)x + B ′′ (a)y + C ′′ (a)z + D′′ (a) = 0,и четыре уравнения (98) и (100) сводятся к трем.
Таким образоммы можем утверждать, что поверхность (S) образована касательными к некоторой пространственной кривой Γ. Если эта кривая Γвырождается в точку, то (S) есть коническая поверхность, а если570Гл. V. Основы дифференциальной геометрии[153эта точка удаляется на бесконечность, то (S) есть цилиндрическаяповерхность. Покажем, что и наоборот, если дана в пространствекривая Γ,x = ϕ(t),y = ψ(t),(101)z = ω(t),то поверхность (S), образованная касательными к кривой Γ, огибает семейство плоскостей с одним параметром, а именно семейство соприкасающихся для кривой Γ плоскостей.
Действительно,это семейство имеет уравнениеA(X − x) + B(Y − y) + C(Z − z) = 0,(102)где (x, y, z) определяются формулами (101) и A, B, C определяютсяформулами (31) из [138]. Дифференцируя (102) по параметру t ипринимая во внимание, что, в силу (31),Adx + Bdy + Cdz = 0,(103)dA(X − x) + dB(Y − y) + dC(Z − z) = 0,(104)получимгде вместо производных по t мы пишем дифференциалы. Огибающая поверхность семейства (102) состоит из прямых линий, определяемых уравнениями (102) и (104), и нам остается показать, чтоэти два уравнения определяют касательную к Γ в точке (x, y, z).Дифференцируя соотношение (103) и принимая во внимание, что,в силу (31), Ad2 x + Bd2 y + Cd2 z = 0, получимdAdx + dBdy + dCdz = 0.(105)Соотношения (103) и (105) показывают, что нормали к плоскостям (102) и (104), проходящим через точку (x, y, z), перпендикулярны к касательной к кривой Γ, т.
е. плоскости (102) и (104) проходят обе через эту касательную, что нам и надо было доказать.Выше мы видели, что условие (99) является необходимым условием того, что (S) есть огибающая семейства плоскостей с одним параметром. Можно показать, что оно и достаточно. Выше153]§ 13. Элементы теории поверхностей571мы говорили также [150], что условие (99) (или ему равносильноеLN − M 2 = 0) необходимо для того, чтобы (S) можно было отобразить на плоскость без искажения длин. Можно показать, что инаоборот, если это условие выполнено, то достаточно малый кусокповерхности можно отобразить указанным выше образом на плоскость.
Поэтому огибающие семейства плоскостей с одним параметром называют развертывающимися поверхностями.Не всякая линейчатая поверхность будет развертывающейся поверхностью. Например, если мы возьмем гиперболический параболоид или однополый гиперболоид, то для них соотношение (99) невыполнено [149], хотя они и являются линейчатыми поверхностями.Отсюда следует, что если переменная точка такой поверхности движется вдоль прямолинейной образующей, то соответствующая этойточке касательная плоскость вращается вокруг этой образующей.Французский математик Лебег подробно исследовал поверхности, развертывающиеся на плоскость, при весьма малых предположениях о функциях, входящих в уравнения (38) таких поверхностей(мы предполагали наличие непрерывных производных до второгопорядка).
Он дал, между прочим, пример такой поверхности, причем эта поверхность есть нелинейчатая поверхность вращения.Г Л А В А VIРЯДЫ ФУРЬЕ§ 14. ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ154. Ортогональность тригонометрических функций.Гармоническое колебательное движениеy = A sin(ωt + ϕ)представляет простейший пример периодической функции периода T = 2πω . Мы ограничимся пока рассмотрением периодическихфункций периода 2π и обозначим независимую переменную черезx, так что функция y обратится вy = A sin(x + ϕ).Более сложные функции того же периода будут функцииAk sin(kx + ϕk ) (k = 0, 1, 2, 3, . . .),равно как и сумма любого числа их:nXk=0Ak sin(kx + ϕk ),154]§ 14.
Гармонический анализ573которая называется тригонометрическим полиномом n-го порядка; естественно при этом возникает вопрос о приближенном представлении произвольной периодической функции f (x) периода 2πв виде тригонометрического полинома n-го порядка, а затем и вопрос о разложении функции f (x) в тригонометрический рядf (x) =∞XAk sin(kx + ϕk ),k=0подобно аналогичным задачам приближенного выражения функции в виде многочлена n-й степени или разложения ее в степеннойряд.
Общий член этого рядаAk sin(kx + ϕk )называется k-й гармоникой функции f (x). Его можно написать ввидеAk sin(kx + ϕk ) = ak cos kx + bk sin kx,гдеak = Ak sin ϕk ,bk = Ak cos ϕk(k = 0, 1, 2, . . .).Гармоника нулевого порядка A0 sin ϕ0 есть просто постоянная, которую мы для упрощения дальнейших формул обозначим через a20 .Итак, наша задача заключается в том, чтобы подобрать, если возможно, неизвестные постоянныеa0 ,a1 ,b1 ,a2 ,b2 ,...,an ,bn ,...так, чтобы рядa0 X+(ak cos kx + bk sin kx)2∞(1)k=1был сходящимся и чтобы его сумма равнялась заданной периодической функции f (x) периода 2π.Для решения этого вопроса выясним одно простое свойство косинусов и синусов кратных дуг.
Пусть c — любое вещественное число и (c, c + 2π) — любой промежуток длины 2π. Нетрудно доказать,574Гл. VI. Ряды Фурье[154чтоc+2πZc+2πZcos kxdx = 0,sin kxdx = 0c(k = 1, 2, 3, . . .).(2)cРассмотрим, например, первый из написанных интегралов. Первообразная функция для cos kx равна sinkkx и, ввиду ее периодичности, ее значения при x = c и x = c+ 2π будут одинаковы, и разностьэтих значений будет нуль, т. е., действительно,x=c+2πsin kx = 0.k x=cc+2πZcos kxdx =cСовершенно так же, пользуясь известными формулами тригонометрии:sin(k + l)x + sin(k − l)x,2cos(k − l)x − cos(k + l)xsin kx sin lx =2cos(k + l)x + cos(k − l)xcos kx cos lx =,2можно доказать, чтоsin kx cos lx =c+2πZcos kx sin lxdx = 0,(3)cc+2πZcos kx cos lxdx = 0,cc+2πZsin kx sin lxdx = 0c(k 6= l).Рассмотрим семейство функций1, cos x, sin x, cos 2x, sin 2x, .
. . , cos nx, sin nx, . . . ,(4)причем первой из функций семейства является постоянная, равнаяединице. Формулы (2) и (3) выражают следующий факт: интеграл от произведения любых двух различных функций семейства154]§ 14. Гармонический анализ575(4) по любому промежутку длины 2π равен нулю. Такое свойствоназывается обычно свойством ортогональности семейства (4) науказанном промежутке. Вычислим теперь интеграл от квадратафункций семейства (4). Для первой из функций этот интеграл равен очевидно 2π, а для остальных, в силу формулcos2 kx =1 + cos 2kx,2sin2 kx =1 − cos 2kx,2мы будем иметьc+2πZ2cos kxdx = π,cc+2πZsin2 kxdx = π(k = 1, 2, . . .).(5)cВ дальнейшем для определенности мы будем брать c = −π, т.
е.роль промежутка (c, c+2π) будет у нас играть промежуток (−π, π).Вернемся теперь к поставленной выше задаче. Положим, чтонекоторая функция f (x), определенная в промежутке (−π, π), азатем и при остальных значениях x по закону периодичности с периодом 2π, является суммою ряда (1):f (x) =a0 X+(ak cos kx + bk sin kx).2∞(6)k=1Интегрируя обе части этого равенства по промежутку (−π, π) изаменяя интеграл от бесконечной суммы суммою интегралов от отдельных слагаемых, получимZ+πZ+πZ+πZ+π∞ Xa0dx +akcos kxdx + bksin kxdx ,f (x)dx =2−πk=1−π−πи, в силу (2), это приводится к равенствуZ+πa0· 2π = a0 π,f (x)dx =2−π−π576Гл.
VI. Ряды Фурье[154откуда определяется постоянная a0 :1a0 =πZ+πf (x)dx.(7)−πПерейдем к определению остальных постоянных. Пусть n —некоторое целое положительное число. Умножим обе части (6) наcos nx и проинтегрируем, как и вышеZ+πZ+πa0cos nxdx+f (x) cos nxdx =2−π+∞ Xk=1−πZ+πZ+πakcos kx cos nxdx + bksin kx cos nxdx . (8)−π−πВ силу (2) и (3) все интегралы в правой части равенства будутравны нулю, кроме одного, а именно кроме интегралаZ+πcos kx cos nxdxпри k = n,−πа этот последний интеграл, в силу (5), будет равен π.Формула (8), таким образом, приводится к видуZ+πf (x) cos nxdx = an π,−πоткуда1an =πZ+πf (x) cos nxdx(n = 1, 2, . .
.).(71 )−πСовершенно так же можно получить формулы1bn =πZ+πf (x) sin nxdx−π(n = 1, 2, . . .).(72 )154]§ 14. Гармонический анализ577Заметим, что формула (7) совпадает с формулой (71 ) при n = 0.Мы можем, таким образом, написатьZ+π1f (x) cos kxdx (k = 0, 1, 2, . .
.),ak =π−π(9)Z+π1f (x) sin kxdx (k = 1, 2, . . .). bk =π−πВышеприведенные вычисления не являются строгими и имеютзначение лишь как наводящие. Действительно, мы сделали ряднеоправданных предположений: во-первых, мы с самого началапредположили, что заданная функция разлагается в ряд (6), затем мы заменяли интеграл от бесконечной суммы суммой интегралов от отдельных слагаемых, или, как говорят, интегрировали рядпочленно, что не всегда можно делать [ср. I, 146].Строгая постановка задачи состоит в следующем. Пусть в промежутке (−π, π) нам задана функция f (x).
По формулам (9) вычисляем постоянные ak и bk и подставляем значения этих постоянных в ряд (1). Спрашивается: будет ли полученный таким образомряд сходящимся рядом в промежутке (−π, π), и если будет, то будетли его сумма равна f (x)?Коэффициенты ak и bk , вычисляемые по формулам (9), называются коэффициентами Фурье функции f (x), а ряд, который получается из ряда (1) после подстановки вместо ak и bk их значенийиз формул (9), называется рядом Фурье функции f (x).
Операцияразложения данной функции f (x) в ряд Фурье называется гармоническим анализом.В следующем номере мы формулируем решение поставленнойвыше задачи о сходимости ряда Фурье заданной функции.З а м е ч а н и е. Указанные выше формулы (3) и (5) имеют местопри интегрировании по любому промежутку длины 2π. Вообще, если функция f (x), определенная при всех вещественных значенияхx, имеет некоторый период a, т. е. f (x + a) = f (x) при всяком x,то интеграл от f (x) по любому промежутку длины a имеет определенное значение, не зависящее от начала этого промежутка, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
