1610915346-ca3c42683bad539de2fd15cb675d150f (824739), страница 85
Текст из файла (страница 85)
е.578Гл. VI. Ряды Фурье[155величина интегралаc+aZf (x)dxcне зависит от c. Действительно, число c мы можем представить ввиде c = ma+ h, где m — целое и h принадлежит промежутку (0, a):c+aZf (x)dx =c(m+1)a+hZf (x)dx =ma+h(m+1)aZf (x)dx +ma+h(m+1)a+hZf (x)dx.(m+1)aВ первом интеграле введем новую переменную интегрирования t1 =x − ma, а во втором t2 = x − (m + 1)a:c+aZZaZhf (x)dx = f (t1 + ma)dt1 + f [t2 + (m + 1)a]dt2 .c0hПринимая во внимание периодичность f (x) и обозначая переменные интегрирования опять через x, получимc+aZZaZhZaf (x)dx = f (x)dx + f (x)dx = f (x)dx,ch00откуда и следует независимость интеграла от c.
Если f (x) имеетпериод 2π, то мы можем вычислить ее коэффициенты Фурье ak иbk по формулам (9), интегрируя по любому промежутку длины 2π.155. Теорема Дирихле. Ряд Фурье функции f (x) будет сходиться и его сумма равна f (x), если только сделать некоторыеограничительные предположения относительно функции f (x). Мыпредположим, во-первых, что функция f (x), заданная в промежутке (−π, π), или непрерывна, или имеет внутри этого промежуткалишь конечное число точек разрыва непрерывности.
Мы предположим далее, что все эти точки разрыва непрерывности обладаютследующим свойством: если x = c есть точка разрыва непрерывности f (x), то существуют конечные пределы f (x) при стремлении x к155]§ 14. Гармонический анализ579c: как справа (от бо́льших значений), так и слева (от меньших значений). Эти пределы обычно обозначают f (c + 0) и f (c − 0) [I, 32].Такие точки разрыва непрерывности обычно называют точкамиразрыва первого рода.
Предположим, наконец, что весь промежуток (−π, π) можно разбить на конечное число частей таких, что вкаждой части f (x) меняется монотонно. Указанные выше условияназываются обычно условиями Дирихле, т. е. говорят, что функцияудовлетворяет условиям Дирихле в промежутке (−π, π), еслиона или непрерывна в этом промежутке, или имеет конечное число разрывов первого рода, и если, кроме того, промежуток (−π, π)можно разбить на конечное число таких промежутков, в каждом из которых f (x) меняется монотонно. Заметим, далее, что наконце x = −π нам важен лишь тот предел, к которому стремитсяf (x) при стремлении x к (−π) справа, а потому вместо f (−π) мыбудем писать f (−π + 0) и точно также вместо f (π) будем писатьf (π − 0). Отметим, что пределы эти могут быть различными, носумма ряда (1) должна быть, конечно, одинаковой при x = −π иx = π, в силу периодичности функций (4).Одной из основных теорем теории рядов Фурье является следующая:Т е о р е м а Д и р и х л е.
Если f (x), заданная в промежутке (−π, π), удовлетворяет в этом промежутке условиям Дирихле, то ряд Фурье этой функции сходится во всем промежутке(−π, π) и сумма этого ряда:1) равна f (x) во всех точках непрерывности f (x), лежащихвнутри промежутка;2) равнаf (x + 0) + f (x − 0)2во всех точках разрыва непрерывности;3) равнаf (−π + 0) + f (π − 0)2на концах промежутка, т. е. при x = −π и x = +π.Доказательство этой теоремы будет дано в конце настоящей главы.580Гл.
VI. Ряды Фурье[156Сделаем некоторые замечания по поводу формулированной теоремы. Члены ряда (1) суть периодические функции с периодом 2π.Поэтому, если ряд сходится в промежутке (−π, π), то он сходитсяи при всех вещественных значениях x, и сумма ряда периодическиповторяет, с периодом 2π, те значения, которые она давала в промежутке (−π, π). Таким образом, если мы пользуемся рядом Фурьевне промежутка (−π, π), то мы должны считать, что функция f (x)продолжена вовне этого промежутка периодически с периодом 2π.С этой точки зрения концыпромежутка x = ±π явятся для продолженной такимобразом функции точкамиразрыва непрерывности, если f (−π + 0) 6= f (π − 0).На рис.
110 изображеРис. 110.на функция, непрерывная впромежутке (−π, π), которая при периодическом продолжении дает разрывы непрерывности в силу несовпадения значений f (x) наконцах промежутка.При вычислении коэффициентов Фурье часто бывает полезнопользоваться следующей леммой:Л е м м а. Если f (x) есть четная функция в промежутке(−a, a), т. е. f (−x) = f (x), тоZaf (x)dx = 2Zaf (x)dx,0−aи если f (x) — нечетная функция, т.
е. f (−x) = −f (x), тоZaf (x)dx = 0.−aДоказательство этой леммы было дано в [I, 99].156. Примеры. 1. Разложим f (x) = x в ряд Фурье в промежутке(−π, π). Произведения x cos kx суть нечетные функции от x, а потому в156]§ 14. Гармонический анализ581силу формул (9) все коэффициенты ak равны нулю. С другой стороны,произведения x sin kx суть четные функции, и коэффициенты bk можновычислять по формуле2bk =πZπ0x=πZπ1x cos kx 22(−1)k−1+x sin kxdx = {−cos kxdx} =.πkkkx=00На рис. 111 график ряда Фурье изображен жирной линией, и из этогочертежа видно, что в точках x = ±π мы имеем разрыв непрерывности,причем среднее арифметическое пределов слева и справа равно очевиднонулю.
Таким образом теорема Дирихле дает в рассматриваемом случае (x при − π < x < π,(−1)k−1 sin kxsin x sin 2x−+. . .++. . . =(10)212k0 при x = ±π.Рис. 111.2. То же для функции x2 . В данном случае произведения x2 sin kxсуть нечетные функции и все коэффициенты bk равны нулю. Вычисляемak :2a0 =πZπ2ak =πZπ00=4πkx=π2π 22 x3 =x dx =,π 3 x=0322x cos kxdx =π2x=πZπx2 sin kx 2−x sin kxdx =kkx=00x=πZπ1x cos kx 4−cos kxdx = (−1)k 2 .kkkx=00582Гл.
VI. Ряды Фурье[156Из рис. 112 видно, что в данном случае график ряда Фурье не имеетнигде разрывов и сумма ряда равна x2 во всем промежутке (−π, π),Рис. 112.включая концы:x2 =∞Xcos kxπ2+4(−1)k3k2(−π 6 x 6 π).(11)k=1Полагая x = 0, получим1−1111π2+ −+ . . . + (−1)k−1 2 + . . . =.4916k12(12)Если положим111+ ++ .
. . = σ,4916111++ . . . = σ1 ,1+ +925491+(13)то имеем, очевидно,σ = σ1 +1111+++ . . . = σ1 + σ,416364σ1 =3σ,4и равенство (12) дает1−111π211+ −+ . . . = σ1 − σ = σ =,49164212т. е.σ =1+111π2+ + ... + 2 + ... =,49n6(14)157]§ 14. Гармонический анализ583111π2++ ... ++ ... =.2925(2n + 1)83. Разложить в ряд Фурье функцию(c1 при − π < x < 0,f (x) =c2 при0 < x < σ.σ1 = 1 +Мы имеем здесь1a0 =π Z0ZπZ+π1c1 dx + c2 dx = c1 + c2 ,f (x)dx =π0−π−π Z0Z+πZ+π11c1 cos kxdx +f (x) cos kxdx =ak =c2 cos kxdx = 0,ππ−π−π0 Z0Z+πZπ11c1 sin kxdx + c2 sin kxdx =f (x) sin kxdx =bk =ππ−π= (c1 − c2 )k−π0(−1) − 1,πk−c2 )т.
е. bk = 0 при четном k и bk = − 2(c1πkпри нечетном k, а потому потеореме Дирихле (рис. 113):2(c1 − c2 ) sin xsin 3xc1 + c2−++ ... =2π13при − π < x < 0, c1= c2(15)при 0 < x < π, c1 +c2приx=0и±π.2Рис. 113.157. Разложение в промежутке (0, π). В предыдущих примерах мы упрощали вычисления коэффициентов Фурье, пользуясьчетностью или нечетностью разлагаемой функции f (x).584Гл. VI. Ряды Фурье[157Вообще, применяя лемму из [155] к интегралам (9), определяющим коэффициенты Фурье, мы получаемak =2πZπf (x) cos kxdx,bk = 0,(16)f (x) sin kxdx,(17)0если f (x) есть функция четная, иak = 0,2bk =πZπ0если f (x) — функция нечетная. Самое же разложение функции будет вида∞a0 X+ak cos kx,(18)2k=1если f (x) — четная, и∞Xbk sin kx,(19)k=1если f (x) — нечетная функция.Пусть теперь нам дана произвольная функция f (x), определенная в промежутке (0, π).
Эту функцию можно разложить в промежутке (0, π) как в ряд вида (18) содержащий только косинусы, так ив ряд вида (19), содержащий только синусы. При этом в первом случае коэффициенты вычисляются по формулам (16), а во втором —по (17). Оба эти ряда внутри промежутка (0, π) будут иметь суммойфункцию f (x) или среднее арифметическое в точках разрыва. Новне промежутка (0, π) они будут представлять совершенно различные функции: ряд по косинусам даст функцию, получающуюся изf (x) четным продолжением в соседний промежуток (−π, 0), а затем периодическим продолжением с периодом 2π вне промежутка(−π, π).
Ряд по синусам дает функцию, получающуюся нечетнымпродолжением функции f (x) в соседний промежуток (−π, 0) и затем периодическим продолжением с периодом 2π вне промежутка(−π, π).157]§ 14. Гармонический анализ585Таким образом, при разложении по косинусамРис. 114.f (−0) = f (+0),f (−π + 0) = f (π − 0),а при разложении по синусамf (−0) = −f (+0),x0πРяд по cosf (+0)f (π − 0)f (−π + 0) = −f (π − 0).Ряд по sin00Рис. 115.Соответственно этому в концах промежутков мы получим указанные в таблице значения рядов (18) и (19).На рис.
114 и 115 указаны графики функций, выражаемых рядами (18) и (19), составленными для одной и той же функции f (x)в промежутке (0, π).П р и м е р ы. 1. В примерах 1 и 2 [156] мы получили ряды для функции x по синусами и для функции x2 по косинусам в промежутке (0, π).Разлагая функцию x в ряд по косинусам в промежутке (0, π), мы получимZπ∞2a0 X+ak cos kx, a0 =xdx = π,x=2πk=10ak =2πZπx cos kxdx =2[(−1)k − 1] =πk20(0 при четном k,при нечетном k.− πk4 2Отсюдаx=4π−2πcos xcos 3xcos(2k + 1)x++ ...+ . . .)1232(2k + 1)2(0 < x < π).(20)586Гл. VI.
Ряды Фурье[157В промежутке (−π, 0) сумма ряда, стоящего в правой части, будет совпадать с (−x), т. е. во всем промежутке (−π, π) она совпадает с абсолютнымзначением |x|:4 cos xcos 3xcos 5xπ+++... ,|x| = −(21)2π123252а затем вне промежутка (−π, π) сумма ряда дает функцию, кото-Рис. 116.рая получается периодическим повторением |x| из промежутка (−π, π)(рис. 116). Разлагая функцию x2 по синусам в промежутке (0, π), мыполучаем2bk =πZπx2 sin kxdx =4[(−1)k − 1]2(−1)k−1 π+kπk30иx2 = 2πsin xsin 2xsin 3xsin 3xsin 5x8 sin x−+− ...
−+++...123π 133353в промежутке 0 < x < π (рис. 117).Предоставляем читателю доказать, что мы можем переставить членыряда Фурье так, как мы это сделали выше.2. Функция coszx есть четная функция от x, а потому она может бытьразложена в промежутке (−π, π) по косинусам:∞a0 Xak cos kx;+cos zx =2k=1Мы имеемa0 =2ak =πZπcos zx cos kxdx.0x=π2 sin πx22 sin zx =cos zxdx =;ππ z x=0πz157]§ 14. Гармонический анализZπ1[cos(z + k)x + cos(z − k)x]dx =π00x=π1 sin(πz + kπ) sin(πz − kπ)1 sin(z + k)x sin(z − k)x=++==πz+kz−kπz+kz−kx=02z sin πz= (−1)k.π(z 2 − k2 )ak =2πZπ587cos zx cos kxdx =Рис. 117.Стало быть в промежутке −π 6 x 6 πcos xcos 2xcos 3x2z sin πz 1+−+−....cos zx =π2z 212 − z 222 − z 232 − z 2Полагая x = 0 и x = π, приходим к следующим двум формулам:∞X2z 111=+,sin πzπ 2z 2 k=1 k2 − z 2∞1 1 X 2z−.ctgπz =π zk2 − z 2(22)(221 )k=1Формулы эти называются формулами разложения sin1πz и ctgπz на простейшие дроби. Дифференцируя (221 ) по z, разделив на π и изменив588Гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
