1610915346-ca3c42683bad539de2fd15cb675d150f (824739), страница 88
Текст из файла (страница 88)
Гармонический анализ603Из очевидного неравенства|ck dk | 61 2(c + d2k )2 kнепосредственно следует абсолютная сходимость ряда, входящегов формулу (50). Формула (50) называется обобщенным уравнением замкнутости. Если g(x) ≡ f (x), то dk = ck (k = 1, 2, . . .), иформула (50) переходит в формулу (49). Укажем одно интересноеследствие формулы (50).
Положим, что (α, β) есть какая-либо частьпромежутка (a, b) или весь этот промежуток, и определим функциюg(x) следующим образом: g(x) = 1 при α 6 x 6 β и g(x) = 0 во всехдругих точках промежутка (a, b). При этом имеемdk =Zbg(x)ψk (x)dx =aZβψk (x)dx,αи формула (50) даетZβαf (x)dx =∞Xk=1ckZβψk (x)dx.(51)αКак мы уже упоминали, без дополнительных сведений о системефункций (45) и функции f (x) ничего нельзя сказать о сходимости ряда Фурье (461 ) функции f (x) и его сумме, если он сходится.Предыдущие рассуждения приводят нас к следующей теореме:Т е о р е м а 1.
Если ортонормированная система (45) замкнута, то ряд Фурье любой непрерывной функции f (x) или функциис конечным числом разрывов первого рода на (a, b), почленно проинтегрированной по любому промежутку (α, β), содержащемусяв (a, b), сходится и его сумма равна интегралу от f (x) по (α, β).Докажем еще следующую теорему:Т е о р е м а 2. Если ортонормированная система (45) замкнутаи если ряд Фурье функции f (x), непрерывной на промежутке a 6x 6 b, равномерно сходится на этом промежутке, то его суммаравна f (x).604Гл. VI. Ряды Фурье[160Пусть ck — коэффициенты Фурье f (x).
По условию, ряд (461 )равномерно сходится при a 6 x 6 b, и его сумма ω(x) есть темсамым непрерывная функция на этом промежутке:ω(x) =∞Xck ψk (x).k=1Нам надо доказать, что f (x) − ω(x) = 0. Умножим обе части последнего равенства на ψn (x) и проинтегрируем их по промежутку(a, b). В силу равномерной сходимости мы можем интегрироватьряд почленно:Zbω(x)ψn (x)dx =∞Xk=1ackZbψk (x)ψn (x)dx,aи из формул (44) следуетZbω(x)ψn (x)dx = cn ,aт. е. числа cn являются коэффициентами Фурье не только f (x),но и ω(x). Таким образом, все коэффициенты Фурье непрерывнойфункции f (x) − ω(x) равны нулю, и, в силу замкнутости системы,можно утверждать, как мы показали выше, что f (x) − ω(x) ≡ 0.Изложенная теория без изменения переносится на случай системы функций многих переменных, ортонормированных в какой-либоконечной области плоскости, трехмерного или вообще n-мерногопространства.
Сказанное выше обобщается легко и на случай комплексных функций ω1 (x)+iω2 (x), где ω1 (x) и ω2 (x) — вещественныефункции. В дальнейшем через α мы будем обозначать величину,комплексно сопряженную α. Система комплексных функцийψ1 (x), ψ2 (x), ψn (x), . . .называется ортонормированной, если(Zb0 при k =6 l,ψk (x)ψl (x)dx =1 при k = l,a(52)(53)161]§ 14. Гармонический анализ605коэффициенты Фурье функции f (x) определяются формулойck =Zbf (x)ψk (x)dx.(54)aФормула (47), неравенство Бесселя (48), уравнение замкнутости(49) и обобщенное уравнение замкнутости имеют видZba|f (x) −nXZb2ck ψk (x)| dx =k=1a|f (x)|2 dx −∞Xk=1ZbaZb2|ck | 6Zba|ck |2 ,(55)|f (x)|2 dx,(56)|f (x)|2 dx =f (x)g(x)dx =anXk=1∞Xk=1∞X|ck |2 ,(57)ck dk .(58)k=1161. Класс L2 .
Настоящий и следующий номера являются подготовительными для [163], в котором мы излагаем теорию ортонормированных систем измеримых функций, но результаты их имеютбольшой самостоятельный интерес в теории Лебега.Пусть E — какое-либо измеримое множество на прямой иливообще в n-мерном пространстве и L2 (E) — класс вещественныхфункций f (x), измеримых на E и таких, что функция [f (x)]2 суммируема на E, т. е.Z[f (x)]2 dx < +∞.(59)EОтметим, что отсюда следует, что f (x) почти везде на E принимаетконечные значения.
В дальнейшем вместо L2 (E) мы будем писать606Гл. VI. Ряды Фурье[161L2 и не будем записывать аргумента x у функций. Докажем некоторые теоремы о классе L2 .Т е о р е м а 1. Если функции f и g ∈ L2 , то произведение f gсуммируемо на E.Это следует из очевидного неравенства|f g| 61 2(f + g 2 ).2З а м е ч а н и е. Если E — множество конечной меры и f ∈ L2 ,то f суммируемо на E.Это следует из предыдущего неравенства при g ≡ 1.Т е о р е м а 2. Если f и g ∈ L2 , то и функции cf и f + g ∈ L2 ,где c — постоянная.Утверждение относительно cf очевидно, а для f + g следует из(f + g)2 = f 2 + 2f g + g 2 , теоремы 1 и [108, 111].Т е о р е м а 3.
Если f и g ∈ L2 , то имеет место неравенствоZZZ( f gdx)2 6 f 2 dx g 2 dx(Буняковского — Шварца).(60)EEEЕсли функция f или g эквивалентна нулю, то левая и праваячасти (60) равны нулю. Будем считать, что f и g не эквивалентнынулю на E. Заметим прежде всего, что если в квадратном трехчленеat2 + 2bt + c коэффициенты вещественны и a > 0, то из формулыat2 + 2bt + c =1[(at + b)2 + (ac − b2 )]aследует, что если указанный трехчлен при всех вещественных t имеет неотрицательные значения, то b2 6 ac.
Из очевидной формулыZZZZ222(f t + g) dx = tf dx + 2t f gdx + g 2 dxEEEEи того факта, что правая часть последней формулы при всех tнеотрицательна, и следует (60). Отметим, что коэффициент приt2 положителен, так как функция f (x) не эквивалентна нулю на E.Неравенство (60) справедливо, очевидно, и для интегралов Римана.162]§ 14. Гармонический анализ607Т е о р е м а 4. Если f и g ∈ L2 , то имеет место неравенствоvZvZvZuuuuuu22(61)t (f + g) dx 6 t f dx + t g 2 dx.EEEИз (60) следуетZEvZvZuuuuf gdx 6 t f 2 dx · t g 2 dx.EEУмножим обе части на 2 и добавим к обоим частям полученногонеравенства интегралы от f 2 и g 2 . Это приведет нас к неравенствуvZ2vZuuZuu222(f + g) dx 6 t f dx + t g dx ,EEEиз которого непосредственно следует (61).162.
Сходимость в среднем. Введем в классе L2 сходимостьв среднем.О п р е д е л е н и е. Говорят, что последовательность функцийfn (x) (n = 1, 2, . . .) из L2 сходится в среднем к f (x) из L2 илипросто сходится в L2 к функции f (x), еслиZlim(f − fn )2 dx = 0.(62)n→∞EМы будем записывать это кратко так:fn ⇒ f.Если под знаком интеграла мы заменим f (x) эквивалентной функцией, то интеграл не изменится, т. е. если fn (x) сходятся в L2 кf (x), то они сходятся и ко всякой функции, эквивалентной f (x).В дальнейшем мы будем отождествлять эквивалентные функции,т. е. класс эквивалентных функций из L2 будем считать за одну608Гл. VI. Ряды Фурье[162функцию. Докажем единственность предела в L2 при такой точкезрения.Т е о р е м а 5.
Если fn ⇒ f и fn ⇒ g, то f и g эквивалентны.Применим к правой части очевидного равенстваf − g = (f − fn ) + (fn − g)формулу (61):vZvZvZuuuuuu22t (f − g) dx 6 t (f − fn ) dx + t (fn − g)2 dx.EEEПри n → ∞ правая часть стремится к нулю, а левая не зависит отn, и потомуZ(f − g)2 dx = 0,Eоткуда следует, что функция f − g эквивалентна нулю на E, т. е.f и g эквивалентны.
Установим необходимое и достаточное условие того, что последовательность функций из L2 имеет предел вL2 . Это условие аналогично условию Коши существования пределадля числовой последовательности. Предварительно введем определение.О п р е д е л е н и е. Говорят, что последовательность функцийfn из L2 сходится в себе в L2 , если для любого заданного ε > 0существует такое N , чтоZ(fn − fm )2 dx 6 ε2 при n и m > N.(63)EТ е о р е м а 6.
Для того чтобы последовательность fn (x) изL2 сходилась в L2 к некоторой функции f (x) из L2 , необходимо,чтобы последовательность fn (x) сходилась в себе в L2 .Дано, что fn сходится в L2 к некоторой функции f . Применяяк правой части очевидной формулыfn − fm = (fn − f ) + (f − fm )162]§ 14. Гармонический анализ609неравенство (61), получимvZvZvZuuuuuu22t (fn − fm ) dx 6 t (fn − f ) dx + t (f − fm )2dx.EE(64)EПри заданном ε > 0, в силу сходимости последовательности fn , существует такое N , что при n и m > N интегралы, стоящие под2радикалами в правой части неравенства 6 ε4 , и (63) получаетсянепосредственно из (64). Большое принципиальное значение имеетобратная теорема, которую мы докажем в том случае, когда мера E конечна. Она может быть затем распространена и на случаймножества E бесконечной меры.Т е о р е м а 7.
Для того чтобы последовательность fn из L2 намножестве E конечной меры сходилась к некоторой функции изL2 , достаточно, чтобы последовательность fn сходилась в себе вL2 .Дано, что fn сходится в себе, и отсюда следует, что существуетбесконечная возрастающая последовательность целых положительных чисел n1 < n2 < n3 < . . . такая, чтоZ1(65)(fnk+1 − fnk )2 dx 6 2k (k = 1, 2, . .
.).2Применяя неравенство (60) при f = |fnk+1 − fnk | и g ≡ 1, получимvZvZZuuuu2|fnk+1 − fnk |dx 6 t [fnk+1 − fnk ] dxt dxEEEили, в силу (65),Z|fnk+1 − fnk |dx 6E1pm(E),2kоткуда следует сходимость ряда∞ ZX|fnk+1 − fnk |dxk=1 E610Гл. VI. Ряды Фурье[162и, в силу теоремы из [109], ряд∞Xk=1|fnk+1 − fnk |сходится почти везде на E. Тем более почти везде сходится рядfn1 +∞Xk=1(fnk+1 − fnk ),сумма первых p членов которого равна fnp (x), т. е.
почти везде наE последовательность функцийfn1 ,fn2 ,fn3 ,...стремится к некоторой предельной функции f (x), имеющей почтивезде на E конечные значения. Покажем, что f ∈ L2 и что fn ⇒ f .В силу сходимости последовательности fn в себе для любого заданного ε > 0 существует такое N , чтоZ(fnk − fn )2 dx 6 ε2 при nk и n > N.EПри k → ∞, в силу теоремы из [109], получимZ|f − fn |2 dx 6 ε2 при n > N,(66)Eоткуда следует, что f − fn ∈ L2 . Но и fn ∈ L2 , а потому, в силутеоремы из [161], f ∈ L2 . Неравенство (66) показывает, наконец,что fn ⇒ f . Из двух последних теорем следует, что сходимость всебе в L2 является необходимым и достаточным условием того,что последовательность сходится в L2 к некоторой функции.Т е о р е м а 8. Если fn и gn ∈ L2 и fn ⇒ f , gn ⇒ g, тоZZlimfn gn dx = f gdx.(67)n→∞EE163]§ 14.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
