1610915346-ca3c42683bad539de2fd15cb675d150f (824739), страница 92
Текст из файла (страница 92)
Умножая обечасти (28) на f (x) и вычитая из полученного равенства равенство(30), можем написать n XmCnm xm (1 − x)n−m .f (x) − Pn (x) =f (x) − fnm=0168]§ 15. Дополнительные сведения из теории рядов Фурье635Нам надо доказать, что при любом заданном положительном ε существует такое N , не зависящее от x, чтоX nmm mn−m Cx(1f(x)−f−x)n < ε при n > N.nm=0Так как при 0 6 x 6 1 произведение Cnm xm (1 − x)n−m > 0, то n Xmm mn−m Cx(1−x)f(x)−fn6nm=0 n Xm m mn−m,6f (x) − f n Cn x (1 − x)m=0и достаточно доказать неравенство n Xf (x) − f m Cnm xm (1 − x)n−m < εn m=0при n > N.(31)Функция f (x) равномерно непрерывна в промежутке (0, 1) [I,35], т.
е. существует такое δ, что |f (x1 )−f (x2 )| < 2ε при |x1 −x2 | < δ.Пусть x — фиксированное значение из промежутка (0, 1). Разобьемсумму (31) на две части S1 и S2 . К первой суммеотнесемте слагаемые, у которых m удовлетворяют условию x − mn < δ. В силувыбора δ, имеем для первой суммы, состоящей из положительныхслагаемых, оценкуXεC m xm (1 − x)n−m ,S1 <2 n(I)где (I) указывает, что суммирование ведется по значениям m, удовлетворяющим неравенству x − mn < δ. Если мы просуммируем повсем значениям m от 0 до n, то сумма может только увеличиться,т.
е.S1 <nnXε X m mε m mCn x (1 − x)n−m =Cn x (1 − x)n−m ,22m=0m=0636Гл. VI. Ряды Фурье[168т. е. в силу (28), S1 < 2ε при любом n. Переходим ко второй сумме X m M mn−m,S2 =f (x) − f n Cn x (1 − x)(II)где суммирование распространяетсяна те значения m, которые удовлетворяют неравенству x − mn > δ или |nx − m| > nδ, и оценимэту сумму.
Функция f (x) непрерывная в замкнутом промежутке(0, 1), должна удовлетворять в этом промежутке неравенству вида:|f (x)| 6 M , где M — определенноеположительноечисло [I, 35], и, m 6 2M . Кроме того,следовательно, f (x)−f mn 6 |f (x)|+ fn 2умножим слагаемые суммы S2 на множители (nx−m)n2 δ 2 , которые неменьше единицы. Вынося 2M и n21δ2 , не зависящие от переменнойсуммирования m, за знак суммы, получим2M X(m − nx)2 Cnm xm (1 − x)n−m .S2 6 2 2n δ(II)Все слагаемые положительны, и если мы просуммируем по всемзначениям m от m = 0 до m = n, то значение суммы может толькоувеличиться. Принимая во внимание (29), получимS2 6n2M XM(m − nx)2 Cnm xm (1 − x)n−m 6.n2 δ 2 m=02nδ 2Числа M и δ — определенные положительные числа, и чтобы S2εMудовлетворяло неравенству S2 < 2ε , достаточно взять 2nδ2 < 2,MMт.
е. n > εδ2 . Мы получили то число N = εδ 2 , которое нам надобыло найти. Действительно, при n > N обе суммы S1 и S2 < 2ε , инеравенство (31) удовлетворено; теорема Вейерштрасса доказана.Нетрудно видеть, что доказанную теорему можно формулировать следующим образом: если f (x) — непрерывная функция в замкнутом промежутке (a, b) и ε — любое заданное положительноечисло, то существует такой многочлен P (x) от x, что во всемпромежутке (a, b) выполняется неравенство|f (x) − P (x)| < ε.(32)168]§ 15.
Дополнительные сведения из теории рядов Фурье637Основываясь на теореме Вейерштрасса, докажем аналогичнуютеорему для периодических функций.Т е о р е м а II. Если f (x) — непрерывная периодическая функция периода 2π и ε — любое заданное положительное число, тосуществует такой тригонометрический полиномT (x) = c0 +mX(ck cos kx + dk sin kx),(33)k=1что при всяком x:|f (x) − T (x)| < ε.(34)Заметим прежде всего, что, в силу периодичности, достаточноудовлетворить неравенству (34) в основном промежутке (−π, π).Положим сначала, что f (x) — четная функция, и введем вместо xновую переменную t = cos x, т. е.
x = arccos t, причем мы беремглавное значение этой функции, т. е. при изменении t до 1 до (−1)функция x = arccos t будет непрерывно меняться от 0 до π. Функция f (x) = f (arccos t) будет непрерывной функцией t в промежутке(−1, 1) и, по теореме Вейерштрасса, существует такой многочленP (t), что|f (arccos t) − P (t)| < ε (−1 6 t 6 1),и, возвращаясь к прежней переменной, получим:|f (x) − P (cos x)| < ε(0 6 x 6 π).При замене x на (−x) значения f (x) не изменяются ввиду четности f (x) и значения P (cos x) также не изменятся ввиду четностиcos x, т. е.
написанное равенство справедливо и при −π 6 x 6 0, т. е.во всем основном промежутке. Но, как известно [I, 176], целые положительные степени sin x и cos x выражаются линейно через синусыи косинусы кратных дуг, так что многочлен от cos x, т. е. P (cos x),можно представить в виде (33), и теорема доказана.Рассмотрим теперь любую непрерывную периодическую функцию f (x).
Если мы положим1[f (x) + f (−x)],21ψ(x) = [f (x) − f (−x)],2ϕ(x) =(35)638Гл. VI. Ряды Фурье[168то f (x) будет равно сумме ϕ(x) и ψ(x), причем ϕ(x) — функциячетная и ψ(x) — нечетная, и обе — периодические. При заданномε существует, по доказанному, такой многочлен P (t), что |ϕ(x) −P (cos x)| < ε2 . Если мы докажем, что существует такой многочленQ(t), что|ψ(x) − sin xQ(cos x)| <ε2(−π 6 x 6 π),(36)то тригонометрический полиномT (x) = P (cos x) + sin xQ(cos x)будет удовлетворять условию (34). Введем по-прежнему новую переменную t = cos x и рассмотрим функцию ψ(x) = ψ(arccos t) впромежутке −1 6 t 6 1.
Функция ψ(x), как всякая непрерывная, нечетная и периодическая функция, обращается в нуль приx = 0 и x = π, и, следовательно, ψ(arccos t) обращается в нуль наконцах промежутка, т. е. при t = ±1. Из формулы (30) вытекает,что если f (x) обращается в нуль на концах промежутка (0, 1), т. е.f (0) = f (1) = 0, то и многочлен Pn (x) обладает тем же свойством.Пользуясь преобразованием y = 2x − 1, можем свести промежуток(0, 1) к промежутку (−1, 1) и утверждать, что существует такоймногочлен R(t), равный нулю при t = ±1, что|ψ(arccos t) − R(t)| <ε4при− 1 6 t 6 1.Мы можем при этом написать R(t) = (1 − t2 )R1 (t), где R1 (t) — тожемногочлен, и предыдущее равенство переписывается в видеεпри 0 6 x 6 π.(37)|ψ(x) − sin2 xR1 (cos x)| <4√Для функции sin xR1 (cos x) = 1 − t2 R1 (t), непрерывной в промежутке −1 6 t 6 1, существует такой многочлен Q(t), чтоpεпри − 1 6 t 6 1,| 1 − t2 R1 (t) − Q(t)| <4то естьεпри 0 6 x 6 π,| sin xR1 (cos x) − Q(cos x)| <4169]§ 15.
Дополнительные сведения из теории рядов Фурьеи тем более| sin2 xR1 (x) − sin xQ(x)| <ε,4639(371 )ибо | sin x| 6 1. Из (37) и (371 ) следует:|ψ(x) − sin xQ(cos x)| 6 |ψ(x) − sin2 xR1 (cos x)|++ | sin2 xR1 (cos x) − sin xQ(cos x)| 66εε ε+ = ,4 42т. е. неравенство (36) доказано в промежутке (0, π).
Но так какфункции ψ(x) и sin xQ(cos x) — нечетны, то неравенство тем самымсправедливо и во всем промежутке (−π, π).Приведенные выше доказательства теорем I и II принадлежатС. Н. Бернштейну.169. Формула замкнутости. Из доказанной только что теоремы довольно просто вытекает справедливость формулы замкнутости из [159] для системы тригонометрических функций. Положимсначала, что заданная в промежутке (−π, π) функция f (x) непрерывна и f (−π) = f (π).Продолжая f (x) вовне этого промежутка по периодичности, получим непрерывную периодическую функцию, и при заданном εбудет существовать тригонометрический полином T (x), удовлетворяющий неравенству (34).Из этого неравенства вытекает12πZ+π[f (x) − T (x)]2 dx < ε2 .(38)−πПусть n — порядок тригонометрического полинома, т. е.
значениечисла m в формуле (33). Но при любом выборе тригонометрического полинома порядка не выше n величина интеграла (38) имеетнаименьшее значение ε2n , когда за тригонометрический полином мывыбираем сумму первых (2n + 1) членов ряда Фурье функции f (x).Отсюда вытекает, что εn 6 ε, и ввиду того, что положительное εможно выбирать сколь угодно малым, отсюда следует, что εn , которое не увеличивается при возрастании n, должно стремиться к640Гл. VI.
Ряды Фурье[169нулю при n → ∞, а это, как известно [159], и равносильно формулезамкнутости для f (x).Рассмотрим теперь более общий случай, когда f (x) непрерывна в промежутке (−π, π), но ее значения f (−π) и f (π) неодинаковы. Как всегда, существует такое положительное число M , что|f (x)| 6 M при −π 6 x 6 π. Пусть η — произвольное заданноеположительное число и пусть δ — положительное число, удовлетворяющее неравенствамπη, δ < π.(39)δ<8M 2Построим новую функцию f1 (x) по следующему правилу. В промежутке (−π, π − δ) функция f1 (x) совпадает с f (x), в промежутке(π − δ, π) график f1 (x) есть отрезок прямой, соединяющий точкуx = π − δ, y = f (π − δ) с точкой x = π, y = f (−π), (рис. 119).Функция f1 (x) есть непрерывная функция в промежутке (−π, π),имеющая одинаковые значенияf (−π) при x = ±π, и мы имеем, очевидно, как и для f (x),|f1 (x)| 6 M .В силу доказанного выше,при любом заданном положительном η можно найти такой тригонометрический полином, чтоРис.
119.12πZ+πη[f1 (x) − T (x)]2 dx < .4−π(40)Принимая во внимание, что f (x) = f1 (x) в промежутке (−π, π − δ),имеемZ+πZπ112[f (x) − f1 (x)] dx =[f (x) − f1 (x)]2 dx.2π2ππ−δ−πОткуда, принимая во внимание, что|f (x) − f1 (x)| 6 |f (x)| + |f1 (x)| 6 2M,169]§ 15. Дополнительные сведения из теории рядов Фурье641можем написать12πZ+πZπ2M 2 δ2M 22dx =,[f (x) − f1 (x)] dx 6πππ−δ−πили, в силу (39),Z+πη[f (x) − f1 (x)]2 dx < .412π(41)−πСоставим интеграл12πZ+πZ+π12[f (x) − T (x)] dx ={[f (x) − f1 (x)] + [f1 (x) − T (x)]}2 dx.2π−π−πПринимая во внимание очевидное неравенство (a + b)2 6 2(a2 +b ), можем написать212πZ+π[f (x) − T (x)]2 dx 6−π16πZ+πZ+π12[f (x) − f1 (x)] dx +[f1 (x) − T (x)]2 dx,π−π−πа отсюда, в силу (40) и (41), следует12πZ+π[f (x) − T (x)]2 dx < η.−πОбозначая через n порядок тригонометрического полинома T (x) ирассуждая, как и выше, получим отсюда ε2n 6 η, и ввиду произвольной малости η имеем εn → 0 при n → ∞, т. е.
формула замкнутостиимеет место и для f (x) с указанными выше свойствами. Совершенно так же можно доказать, что формула замкнутости имеет место642Гл. VI. Ряды Фурье[170в том случае, когда f (x) ограничена в промежутке (−π, π) и имеетконечное число точек разрыва. Если все точки разрыва суть точки разрыва первого рода, то не надо оговаривать ограниченностифункции. Чтобы провести доказательство, можно выделить точкиразрыва достаточно узенькими промежутками и построить новуюфункцию f1 (x), непрерывную в промежутке (−π, π), совпадающуюс f (x) вне упомянутых промежутков и имеющую прямолинейныеграфики внутри этих промежутков. Для f1 (x) можно по предыдущему построить тригонометрический полином T (x), удовлетворяющий неравенству (40), а упомянутые промежутки можно выбрать настолько узенькими, чтобы выполнялось неравенство (41).В остальном доказательство проводится, как и выше.
Итак, формула замкнутости доказана нами для всех функций, имеющих конечное число разрывов первого рода (или непрерывных). Заметим,что она имеет место и для гораздо более широкого класса функций.170. Характер сходимости рядов Фурье. Ряды, которые мы получили в [156], обладают тем недостатком, что они плохо сходятся. Некоторые из них не будут абсолютно и равномерно сходящимися, например,ряд (10) [156] при x = π2 обращается в ряд111− + − ... ,2135не абсолютно сходящийся; ряд (10), кроме того, не может быть и равномерно сходящимся, так как представляет прерывную функцию.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
