1610915346-ca3c42683bad539de2fd15cb675d150f (824739), страница 94

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 94)

е.преобразование его к такому ряду, коэффициенты которого настольковысокого порядка малости, что ухудшение сходимости при дифференцировании не мешает вычислять производные; например, если мы желаем беспрепятственно вычислять почленным дифференцированием производные до третьего порядка включительно, то желательно, чтобы коэффициенты ряда были порядка не ниже n15 , ибо тогда для третьей производной получим ряд, коэффициенты которого будут иметь порядок n12 ,и вычисление с этим равномерно сходящимся рядом будет практическиудобно.Улучшить сходимость ряда Фурье функции f (x) можно следующимобразом. Пусть в формулах (44) имеются члены порядка n1 , т.

е. функция(0)f (x) имеет скачки δi .Всегда можно построить простую вспомогательную функцию ϕ0 (x),которая имеет те же скачки, что и f (x). Тогда разностьf1 (x) = f (x) − ϕ0 (x)не будет уже иметь скачков, и ряд Фурье S(f1 ) для функции f1 (x) будетиметь коэффициенты порядка, по крайней мере n12 . За ϕ0 (x) проще всегобрать функцию, график которой есть «ступенчатая линия», т. е. состоитиз отрезков, параллельных оси OX, или вообще из отрезков прямых,причем в первом случаеϕ′0 (x) = 0,то естьf1′ (x) = f ′ (x),а во втором, если мы будем считать угловые коэффициенты всех отрезков одинаковыми и равными m0 , тоf1′ (x) − f ′ (x) = −m0 ,и таким образом функция f1′ (x) имеет те же самые скачки, что и f ′ (x).Определив так или иначе функцию ϕ0 (x), мы получимf (x) = ϕ0 (x) + f1 (x),где ϕ0 (x) — известная и весьма простая функция, состоящая из отрезковпараллельных прямых, а f1 (x) имеет ряд Фурье, коэффициенты которого имеют порядок не ниже n12 .

Исправляем теперь функцию f1 (x). Мыимеемf ′ (x) = f1′ (x) + m0 .650Гл. VI. Ряды Фурье[171Поступая с f1′ (x) так же, как мы выше поступали с f (x), мы можемнаписатьf1′ (x) = f2 (x) + ϕ1 (x),где ϕ1 (x) — функция, состоящая из отрезков параллельных прямых, иf2 (x) разлагается в ряд Фурье, коэффициенты которого порядка не ниже1. Интегрируя последнее неравенство, получим для f1 (x) и тем самымn2для f (x) выражение в виде суммы ряда Фурье с коэффициентами порядка не ниже n13 и кусков парабол второй степени.

Если бы мы занялисьдальше исправлением f ′′ (x), то получили бы для f (x) выражение в виде суммы ряда Фурье с коэффициентами порядка не ниже n14 и кусковпарабол третьей степени и т. д.Изложенный способ применяется главным образом тогда, когдафункция неизвестна, а дан только ее ряд Фурье, причем его коэффициенты имеют вид (44). При этом надо по виду коэффициентов определить точки разрывов и скачки функции f (x) и ее производных, а затемприменить указанный выше прием улучшения сходимости.Можно поступить и иначе, а именно: если возможно просуммироватьте части ряда Фурье, которые происходят от первых слагаемых выражений (44) для коэффициентов an и bn .

Именно эти слагаемые и создаютплохую сходимость ряда Фурье. Оставшийся после суммирования рядФурье будет уже сходится лучше, чем раньше.При упомянутом выше суммировании надо пользоваться следующими формулами: −π − x(−2π < x < 0),2∞Xsin nxπ−x=(45)(0<x<2π),nn=1 20(x = 0 и x = ±2π); 22π + 6πx + 3x2∞(−2π6x60),X cos nx12=(46)22n2n=1 2π − 6πx + 3x(0 6 x 6 2π); 12 222πx+3πx+ x3∞(−2π6x60),X sin nx12=(47)223n3n=1 2π x − 3πx + x(0 6 x 6 2π). 12Первая из написанных формул получается, если разложить функциюπ−xв промежутке (0, π) по синусам.

Вторая получается из первой путем2172]§ 15. Дополнительные сведения из теории рядов Фурье651интегрирования по x от 0 до x, причем надо пользоваться равенством[156]∞Xπ21=.n26n=1Точно так же и третья формула получается из второй путем интегрирования. Дальнейшее интегрирование могло бы нам дать и дальнейшиеформулы указанного выше типа.

При этом мы считаем длину промежутка равной π. Этого всегда можно достигнуть простым преобразованиемнезависимого переменного.Указанная выше идея улучшения сходимости ряда Фурье путем постепенного исправления функции f (x) и ее производных так же, как иприведенный ниже пример, принадлежат А. Н. Крылову.172. Пример. Рассмотрим ряд Фурьеf (x) = −∞2 X n cos nπ2sin nxπ n=1 n2 − 1Мы имеем здесьbn = −(0 6 x 6 π).2n cos nπ2.π(n2 − 1)Для того чтобы представить bn в виде (43), разложим дробьстепеням n1 , доведя разложение до членов порядка n14 .(48)nn2 −1поn1111= + 3 + 5n2 − 1nnn 1 − n12иbn = −2 cos nπ2 cos nπ2 cos nπ222−−.πnπn3πn3 (n2 − 1)(49)Нам надо таким образом просуммировать два ряда:−∞2 X cosπ n=1nπ2sin nxnи−∞nπ2 X cos 2 sin nx.π n=1n3(50)Обозначая первую из сумм через S1 (x), можем переписать ее в видеππsinsinnx+nx−∞∞221X1X−.S1 (x) = −π n=1nπ n=1n652Гл. VI. Ряды Фурье[172К каждой из этих сумм можно применить формулу (45).

Рассмотримπсначала первую сумму. При изменении x от 0 до π аргумент x + 2изменяется отπ2до3π,2∞ sin n x +1X−π n=1nπ2и формула (45) дает=−1ππ− x+2π2=2x − π4π(0 6 x 6 π).Обращаясьсумме, замечаем , что при изменении x от 0 до ко второйπаргумент x − 2 меняется от − π2 до 0, при изменении x от π2 до ππаргумент x − 2 меняется от 0 до π2 . Формула (45) дает в этом случаеπ22x + ππ06x<,4π2πsinnx−∞22x − 3π π1X=<x6π ,−π n=1n4π2π.0x=2Складывая, получим для S1 (x) следующее конечное выражение:xπ∞sin nxx−π2 X cos nπ2=S1 (x) = − ππ n=1n 0π),2π<x6π ,2πx=.206x<(51)Вторую из сумм (50) мы могли бы вычислить, пользуясь формулой(47), но можно поступать и иначе.

Обозначим эту сумму через S2 (x).Нетрудно видеть, что, интегрируя S1 (x) дважды по x, мы получим−S2 (x) с точностью до полинома первой степени. Интегрируя выражения (51) два раза, получимx36π06x<π,2(x − π)36ππ<x6π2172]§ 16. Интеграл Фурье и кратные ряды Фурье653и, следовательно,x3π′′06x< − 6π + C1 x + C22S2 (x) =3(x − π)π+ C1′′ x + C2′′<x6π . −6π2(52)Для определения постоянных заметим, что ряд Фурье для S2 (x) имеет коэффициенты порядка n13 , а ряд для S2′ (x) имеет коэффициенты порядка n12 , и, следовательно, оба ряда сходятся равномерно и дают функцию, непрерывную при x = π2 . Отсюда следует, что оба выражения (52)и их производные должны совпадать при x = π2 :πππ3π3+ C1′ + C2′ =+ C1′′ + C2′′ ,48π248π2π2π2′′′−+ C1 = −+ C1 .(53)8π8πКроме того, из вида второй из сумм (50) следует S2 (0) = S2 (π) = 0,что, в силу (52), дает−C2′ = 0;C1′′ π + C2′′ = 0.(54)Из этих уравнений можем определить все четыре постоянныеππ2, C2′ = 0, C2′′ = − ;2424подставляя в (52), получим выражение S2 (x):ππx3+x06x6,−6π242S2 (x) =(x − π)3ππ+(x − π)6x6π . −6π242C1′ = C1′′ =Окончательно для ряда (48) получим выражениеf (x) = S1 (x) + S2 (x) −∞2 X cos nπ2sin nx,π n=1 n3 (n2 − 1)что и решает нашу задачу.

Функция f (x) выражается через известныефункции S1 (x) и S2 (x), состоящие из кусков прямых и парабол, и рядаФурье, коэффициенты которого порядка11, т. е..n3 (n2 − 1)n5654Гл. VI. Ряды Фурье[173§ 16. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ И КРАТНЫЕ РЯДЫ ФУРЬЕ173. Формула Фурье. Изложение теории рядов Фурье мызакончим исследованием предельного случая, когда промежуток(−l, l), в котором изучается ряд Фурье, стремится к (−∞, +∞),т. е. l → +∞.Пусть функция f (x) удовлетворяет условиям Дирихле и непрерывна во всяком конечном промежутке и сверх того абсолютно интегрируема в промежутке (−∞, +∞), т. е.

существует интеграл+∞Z|f (x)|dx = Q.−∞По теореме Дирихле внутри (−l, l) мы имеемf (x) =∞ nπxnπxa0 X.++ bn sinan cos2lln=1Помня, что1an =lZ+lnπtf (t) cosdt,l1bn =l−lZ+lf (t) sinnπtdt,l−lмы получим отсюда1f (x) =2lZ+l−l+l∞ Z1Xnπ(t − x)f (t)dt +f (t) cosdt.l n=1l−lЧто произойдет с этой формулой, когда l → +∞? Первое слагаемое очевидно стремится к нулю, ибо+∞ Z+lZ+lZ111Q|f (t)|dt =→ 0. 2l f (t)dt 6 2l |f (t)|dt 6 2l2l−l−l−∞173]§ 16. Интеграл Фурье и кратные ряды Фурье655Вводя новую переменную α, которая принимает равноотстоящие значения в промежутке (0, ∞):α1 =π,lα2 =2π,l...,αn =получая каждый раз приращения ∆α =можем написать в видеπl,nπ, ...,lмы оставшуюся сумму+lZ1X∆α f (t) cos α(t − x)dt.π(α)−lПри больших l интеграл, стоящий под знаком суммы, мало отличается от+∞Zf (t) cos α(t − x)dt,−∞и можно думать, что вся сумма при l → +∞ будет стремиться кпределу+∞Z∞Z1dαf (t) cos α(t − x)dt,π0−∞и таким образом мы имеемf (x) =1π+∞+∞ZZdαf (t) cos α(t − x)dt.0(1)−∞В точках разрыва непрерывности, если таковые имеются, надотолько заменить f (x) наf (x + 0) + f (x − 0).2Формула эта, которая получается из ряда Фурье при l → +∞,называется формулой Фурье.

Характеристики

Список файлов книги