1610915346-ca3c42683bad539de2fd15cb675d150f (824739), страница 95
Текст из файла (страница 95)
Мы приходим таким образом к предложению: если функция f (x) удовлетворяет условиям Дирихле во656Гл. VI. Ряды Фурье[173всяком конечном промежутке и абсолютно интегрируема в промежутке (−∞, +∞), то при всех x имеет место равенство1πZ∞0+∞Zf (x + 0) + f (x − 0)dα.f (t) cos α(t − x)dt =2(2)−∞Теорема эта называется обычно теоремой Фурье, а интеграл,стоящий в левой части этой формулы, интегралом Фурье функцииf (x). Предыдущее рассуждение не является строгим, его можносделать таковым при помощи некоторых дополнительных рассуждений. Мы не будем этого делать, а приведем другое, строгое доказательство формулы Фурье, основанное на результатах из [166].Формула (2) будет доказана, если мы покажем, что1limλ→∞ πZλ0+∞Zf (x + 0) + f (x − 0)dα.f (t) cos α(t − x)dt =2−∞Обозначая интеграл, стоящий в левой части, через J(λ, x), мы можемнаписать:+∞ZZλ1f (t)dt cos α(t − x)dα,J(λ, x) =(3)π−∞0т.
е. можем переставить порядок интегрирования по t и по λ.Это вытекает из того, что в силу абсолютной интегрируемости функции f (x) интеграл:+∞Zf (t) cos α(t − x)dt(4)−∞сходится равномерно при всех значениях α. Действительно, интегралыZN ′Nf (t) cos α(t − x)dt,−NZ−N ′f (t) cos α(t − x)dt(N < N ′ ) .
. .(5)по абсолютному значению не превосходятZN ′N|f (t)|dt,(6)173]§ 16. Интеграл Фурье и кратные ряды Фурье657и, стало быть, при данном ε существует такое N0 , не зависящее от α,что при всех N и N ′ > N0 интегралы (5) будут меньше ε по абсолютнойвеличине, ибо этим свойством, в силу абсолютной интегрируемости f (t),обладает интеграл (6).Но тогда интеграл (4) можно интегрировать по параметру α под знаком интеграла, что и дает намJ(λ, x) =1πZλ0dα+∞Zf (t) cos α(t − x)dt =−∞1π+∞ZZλf (t)dt cos α(t − x)dα.0−∞Внутренний интеграл по α правой части формулы (3) можем вычислитьнепосредственно и получим1J(λ, x) =π+∞Zsin λ(t − x)f (t)dt,t−x(7)−∞и нам остается найти1limλ→∞ π+∞Zsin λ(t − x)f (t)dt.t−x−∞Разбив промежуток интегрирования (−∞, +∞) на два промежутка(−∞, x), (x, +∞) и введя вместо (t − x) переменную (−z) в первоми z во втором промежутке, мы перепишем в виде1J(λ, x) =πZ∞0sin λz1f (x − z)dz +zπZ∞f (x + z)sin λzdz.z0Оба эти интеграла имеют вид интегралов Дирихле, но только с бесконечными пределами.
Тем не менее нетрудно показать, что они обладаютсвойствами обычных интегралов Дирихле, т. е. при λ → ∞ должно по-658Гл. VI. Ряды Фурьелучиться1πZ∞1πZ∞00sin λz1f (x − z)dz → f (x − 0),z2sin λz1f (x + z)dz → f (x + 0),z2[173(8)после чего окажется действительноJ(λ, x) →f (x + 0) + f (x − 0),2что и докажет теорему Фурье.Остается доказать формулы (8). Ограничимся доказательством первой из этих формул. Пусть ε — любое заданное малое положительное число. При z > 1 множитель sinzλz по абсолютной величине меньше единицыпри любом вещественном λ, а функция f (x − z) по условию абсолютноинтегрируема в промежутке (0, ∞) и, следовательно, существует такоечисло N > 1, что при всяком λ Z∞Z∞11sin λz ε6f(x−z)dz|f (x − z)|dz < .πzπ2NNРассматривая интеграл Дирихле в конечном промежутке1πZNf (x − z)sin λzdz,z0можем утверждать, что он стремится квсех достаточно больших λ1f (x2− 0) при λ → ∞, т.
е. при ZN1sin λz1 < ε.f(x−z)dz−f(x−0)πz220Имеем очевидно1πZ∞0f (x − z)sin λz1dz − f (x − 0) =z2173]§ 16. Интеграл Фурье и кратные ряды Фурье1=πZN0659Z∞sin λz11sin λzf (x − z)dz − f (x − 0) +f (x − z)dz,z2πzNоткуда, в силу последних неравенств, при всех достаточно больших λбудем иметь Z∞1sin λzε1εf (x − z)dz − f (x − 0) < + = ε.πz2220Ввиду произвольной малости ε это и дает первую из формул (8).Вторая доказывается буквально так же.Формула (2) может быть преобразована, если функция f (x) четная или нечетная.
В самом деле, раскрывая cos α(t − x), имеем1f (x + 0) + f (x − 0)=2πZ∞0+∞Zdαf (t) cos αt cos αxdt+−∞+∞Z+f (t) sin αt sin αxdt , (9)−∞причем оба интеграла по t имеют, очевидно, смысл ввиду абсолютной интегрируемости f (t) в промежутке (−∞, +∞).Если функция f (t) — четная, то функция f (t) cos αt — четная, афункция f (t) sin αt — нечетная, и, следовательно,+∞ZZ∞f (t) cos αtdt = 2 f (t) cos αtdt,0−∞+∞Zf (t) sin αtdt = 0,−∞так что2f (x + 0) + f (x − 0)=2πZ∞0cos αxdαZ∞0f (t) cos αtdt.660Гл. VI. Ряды Фурье[173Если же функция f (x) — нечетная, то таким же образом получимZ∞Z∞2f (x + 0) + f (x − 0)=sin αxdα f (t) sin αtdt.2π00Если функция f (x) определена только в промежутке (0, ∞), ееможно продолжить в соседний промежуток (−∞, 0) четным илинечетным образом и тогда мы для одной и той же функции f (x),считая ее для простоты непрерывной, получим две формулы2f (x) =π2f (x) =πZ∞f (t) cos αtdt(x > 0),(10)0Z∞Z∞Z∞f (t) sin αtdt(x > 0).(11)0cos αxdα0sin αxdα0Нужно только помнить, что для первой из них функция f (x),продолжаясь четно, дает непрерывную функцию от x, так что первая формула верна и при x = 0; во второй же формуле, еслиf (0) 6= 0, мы получим разрыв, и правая часть при x = 0 равняется не f (0), а нулю.В формуле (9) первое интегрирование совершается по t, и, введядве функцииA(α) =1π+∞Zf (t) cos αtdt,B(α) =−∞1π+∞Zf (t) sin αtdt,−∞мы можем переписать формулу (9) в видеZ∞f (x) = [A(α) cos αx + B(α) sin αx]dα,0считая для простоты f (x) непрерывной.
В этой формуле мы имеемразложение f (x) в бесконечном промежутке (−∞, +∞) на гармонические колебания, причем частоты α этих колебаний непрерывно173]§ 16. Интеграл Фурье и кратные ряды Фурье661меняются от 0 до +∞, а функции A(α) и B(α) дают закон распределения амплитуд и начальных фаз в зависимости от частоты α.Для конечного промежутка (−l, l) мы имели частоты αn = nπl(n = 0, 1, . . .), образующие арифметическую прогрессию.Если в формуле (10) положитьf1 (α) =r2πZ∞f (t) cos αtdt,(121 )f1 (α) cos αxdα.(122 )0то ее можно переписать в видеf (x) =r2πZ∞0В этих двух формулах f (x) и f1 (α) совершенно одинаково выражаются одна через другую.Если считать в формуле (122 ) f (x) заданной и f1 (α) — искомой,то формула (122 ) представляет собою так называемое интегральноеуравнение для f1 (α), поскольку эта функция входит под знак интеграла (интегральное уравнение Фурье). Формула (121 ) дает решение этого интегрального уравнения.
Совершенно так же формулу(11) мы можем представить в виде следующих формул:f1 (α) =f (x) =rr2π2πZ∞f (t) sin αtdt,(131 )f1 (α) sin αxdα.(132 )0Z∞0П р и м е р ы. 1. В формуле (10) положимf (x) =(1при0 6 x < 1,0приx > 1.662Гл. VI. Ряды Фурье[173Мы получим тогда для интеграла, стоящего в правой части равенства(10):Z∞cos αxdα0Z∞f (t) cos αtdt =0Z∞cos αxdα0Z1cos αtdt =0Z∞cos αx sin αdα,α0и, следовательно,2πZ∞01 при 0 6 x < 1,cos αx sin α1dα =при x = 1,2α0 при x > 1.2. Полагая в формуле (11)f (x) = e−βx(β > 0),мы в правой части имеем интеграл2πZ∞sin αxdα0Z∞e−βt2sin αtdt =πZ∞α sin αxdαα2 + β 200и получаем таким образомZ∞0 π e−βxα sin αx2dα= 0α2 + β 2приx > 0,приx = 0.3. Точно так же, полагая в формуле (10)f (x) = e−βxнайдемZ∞(β > 0),π −βxcos αxdα =e.α2 + β 22β0Часто формулу Фурье пишут в комплексной формеf (x + 0) + f (x − 0)1=22π+∞+∞ZZdαf (t)eα(t−x)i dt.−∞−∞(14)173]§ 16.
Интеграл Фурье и кратные ряды Фурье663Нетрудно получить эту формулу из формулы (2). Заменяя под интеграломeα(t−x)i = cos α(t − x) + i sin α(t − x),получим два интеграла12π+∞+∞ZZdαf (t) cos α(t − x)dt−∞и12π+∞+∞ZZdαf (t) sin α(t − x)dt.−∞−∞−∞Во втором из них переменная α входит под знак синуса, так чтоподынтегральная функция есть нечетная функция от α и, следовательно, интегрируя по α в промежутке (−∞, +∞), мы получим 0.
Наоборот,в первом интеграле стоит четная функция от α, и интегрирование по α впромежутке (−∞, +∞) можно заменить интегрированием в промежутке(0, ∞), приписав к интегралу множитель 2. Отсюда видно, что формула(14) равносильна формуле (2).Считая f (x) непрерывной, перепишем (14) в виде1f (x) =2π+∞+∞ZZ−αxiedαf (t)eαti dt,−∞−∞откуда видно, что, как и для формул (10) и (11), мы можем переписатьее в виде двух формул1f1 (α) = √2π1f (x) = √2π+∞Zf (t)eαti dt,(151 )−∞+∞Zf1 (α)e−αxi dα.(152 )−∞Сделаем одно замечание по поводу интеграла Фурье в комплексной форме. Мы не можем утверждать, что интеграл12π+∞+∞ZZdαf (t) sin α(t − x)dt−∞−∞с бесконечными пределами по отношению к переменной α имеет обычный смысл [85].
Мы можем лишь утверждать, что при любом конечном664Гл. VI. Ряды Фурье[174положительном значении M12π+MZ−M+∞Zdαf (t) sin α(t − x)dt = 0,−∞и, следовательно, строго говоря, формулу Фурье в комплексной формемы должны записывать в виде1f (x) =2πlim+MZM →+∞−Me−αxi+∞Zdαf (t)eαti dt.−∞В данном случае нижний предел стремится к (−∞), а верхний —к (+∞), имея одинаковые абсолютные значения. Для существованиянесобственного интеграла в обычном смысле необходимо, чтобы пределсуществовал при любом законе стремления нижнего предела к (−∞) иверхнего к (+∞).174. Ряды Фурье в комплексной форме.
Ряд Фурье можнопредставить в комплексной форме так же, как это мы только чтосделали с интегралом Фурье.Напомним формулы из [158]:∞ a0 Xkπxkπx+ak cos+ bk sin,f (x) =2llk=11ak =lZ+lkπξf (ξ) cosdξ,l1bk =l−lZ+lkπξf (ξ) sindξ.l(16)−lПокажем, что формулы эти равносильны следующим:f (x) =+∞Xn=−∞cn ei nπxl,1cn =2lZ+lf (ξ)e−inπξldξ.(17)−lЗдесь значок n принимает не только целые положительные, нои отрицательные значения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
