1610915346-ca3c42683bad539de2fd15cb675d150f (824739), страница 93

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 93)

Такимже недостатком обладает и ряд, представляющий прерывную функцию,имеющую значения c1 и c2 . Существует зависимость между характеромгладкости разлагаемой функции и ее рядом Фурье. Эту зависимость мыисследуем здесь более подробно. Относительно функции f (x) мы предположим раз навсегда, что она сама и ее последовательные производные,о которых будет говориться, суть функции, удовлетворяющие условиям Дирихле, и периодически продолжаются вовне промежутка (−π, π).Обозначим через(0)(0)(0)x1 , x2 , .

. . , xτ0 −1точки разрыва функции f (x) внутри (−π, π), черезx′1 , x′2 , . . . , x′τ1 −1170]§ 15. Дополнительные сведения из теории рядов Фурье643точки разрыва ее производной f ′ (x) внутри (−π, π) и вообще через(k)(k)(k)x1 , x2 , . . . , xτk −1точки разрыва производной f (k) (x). К точкам же разрыва нужно будетприсоединить и концы промежутка (−π, π), если предельные значенияf ′ (∓π ± 0),f (∓π ± 0),...,f (k) (∓π ± 0)между собой не совпадают.(0)(0)Обозначим для симметрии x0 = −π и xτ0 = π и аналогично дляпроизводных. Наше предыдущее условие для производных сводится к(k)(k)тому, что внутри всякого промежутка (xs , xs+1 ) (s = 0, 1, .

. . , τk − 1)(k)существует непрерывная производная f (x). В силу условий Дирихле,эта производная будет иметь определенные предельные значения и наконцах промежутка.Преобразуем теперь выражения для коэффициентов Фурье функцииf (x). Начнем с коэффициентаan =1πZ+πf (x) cos nxdx.−πРазобьем промежуток интегрирования (−π, π) на отдельные части(0)(0)(0)(0)(−π, x1 ), (x1 , x2 ), . .

. , (xτ0 −1 , π),в каждой из которых функция f (x) непрерывна. Интегрируя по частям,мы имеемZZ1sin nxf (x) −f ′ (x) sin nxdx.f (x) cos nxdx =nnТак как, с другой стороны,(0)(0)xiZxif (x) cos nxdx =(0)xi−1limε′ , ε′′ →+0′′Z −εf (x) cos nxdx =(0)xi−1 +ε′(0)=limε′ , ε′′ →+0xix=x(0) −ε′′Zi1sin nxf (x)−f ′ (x) sin nxdx,(0)nnx=x+ε′i−1(0)xi−1644Гл. VI. Ряды Фурье[170то, принимая во внимание непрерывность функции sin nx, мы получим(0)xiZ(0)f (x) cos nxdx =(0)sin nxi−1sin nxi(0)(0)f (xi − 0) −f (xi−1 + 0)−nn(0)xi−1(0)1−nxiZf ′ (x) sin nxdx.(0)xi−1Суммируя по i от 1 до τ0 , окончательно будем иметьan = −1(0)(0)(0){sin nx1 [f (x1 + 0) − f (x1 − 0)] + . .

. +πn+(0)sin nx(0)τ0 [f (xτ0+ 0) −f (x(0)τ01− 0)]} −nπZ+πf ′ (x) sin nxdx,−π(0)(0)(0)причем x0 = −π, xτ0 = +π, и, в силу периодичности f (x), f (xτ0 + 0) =(0)(0)f (x0 + 0). В данном случае sin nxτ0 = 0, но мы сохраняем соответствующее слагаемое для симметрии с дальнейшими формулами.Обозначим для краткости скачки функции f (x) в точках разрыва(0)(0)(0)x1 , x2 , .

. ., xτ0 соответственно через(0)δ1(0)(0)(0)= f (x1 + 0) − f (x1 − 0), . . . , δτ(0)= f (x(0)τ0 + 0) − f (xτ0 − 0).0Предыдущая формула перепишется тогда в видеτ0an = −1 X (0)b′(0)δi sin nxi − n ,πn i=1n(42)где a′n и b′n обозначают коэффициенты Фурье производной f ′ (x). Точнотак же, исходя из формулыZZcosnxf (x) + f ′ (x) cos nxdx,f (x) sin nxdx = −nполучимbn =τ01 X (0)a′(0)δi cos nxi + n .πn i=1n(43)170]§ 15. Дополнительные сведения из теории рядов Фурье645Формулы (42) и (43) важны сами по себе, так как они показывают,что если периодическая функция f (x) имеет скачки, то ее коэффициенты Фурье при n → ∞ будут порядка n1 и притом главные частикоэффициентов an и bn будут соответственно равны−τ01 X (0)(0)δ sin nxi ,πn i=1 iτ01 X (0)(0)δ cos nxi ,πn i=1 iостаток же будет порядка выше, чем n1 .В самом деле, остаток этот будет вида−b′n,na′n;nвеличины же a′n и b′n , как коэффициенты Фурье функции f ′ (x), стремятся к 0 при n → ∞, т.

е. будут величинами бесконечно малыми приn → ∞. Но формулы (42) и (43) важны еще и потому, что, пользуясь ими,мы сможем выделить из коэффициентов Фурье an и bn , которые стремятся к нулю при n → ∞, составляющие различных порядков малостипо сравнению с n1 .(k)(k)Для этой цели обозначим вообще через an , bn коэффициенты Фу(k)(k)рье производной k-го порядка f (k) (x), а через δ1 , . . ., δτk — ее скачки в(k)(k)(k)точках x1 , x2 , . . ., xτk = π:(k)δ1(k)(k)= f (k) (x1 + 0) − f (k) (x1 − 0); . . . ; δτ(k)= f (k) (π + 0) − f (k) (π − 0).kПрименим формулы (42) и (43) к коэффициентам a′n , b′n , для чего(0)(0)(1)(1)нужно только заменить f (x) на f ′ (x), δi на δi , xi на xi , τ0 на τ1 ,мы получимτ1b′′ 1 X (1)(1)δi sin nxi − n ,a′n = −πnn i=1τ11 X (1)a′′ (1)b′n =δi cos nxi + n , πn i=1n где a′′n и b′′n — коэффициенты Фурье f ′′ (x).646Гл.

VI. Ряды Фурье[170Точно так же, продолжая эти рассуждения,τ21 X (2)b′′′ (2)δi sin nxi − n , πn i=1n τ2′′′X1an (2)(2)′′bn = −δ cos nxi −,πn i=1 in .................................a′′n = −Положив для краткостиAk =τkτk1 X (k)1 X (k)(k)(k)δi sin nxi , Bk =δ cos nx1π i=1π i=1 i(k = 0, 1, 2 . . .),мы из предыдущих формул будем иметь:B1A2B3ρ′k A0− 2 + 3 + 4 − . . . + k ,an = −nnnnn′′B0A1B2A3ρbn =− 2 − 3 + 4 + .

. . + kk , nnnnn(44)где ρ′k , ρ′′k имеют различные выражения в зависимости от вида числа k;выражения эти приведены в следующей табличке:kρ′kρk′′(k)(k)4m(k)an(k)bn4m + 1(k)−bn(k)an4m + 2(k)−an(k)−bn4m + 3(k)bn(k)−anЗдесь an и bn — коэффициенты Фурье функции f (k) (x).Из выражений Ak и Bk видно, что эти величины зависят от n, но величина n входит лишь под знак тригонометрической функции, а потомупри беспредельном возрастании n величины As и Bs при фиксированномs остаются ограниченными. Коэффициентами при тригонометрическихфункциях в выражениях As и Bs стоят скачки производной f (s) (x). Еслиэтих скачков нет, то As = Bs = 0. С другой стороны, если производнаяf (k) (x) есть функция, удовлетворяющая условиям Дирихле, то множители ρ′k и ρ′′k , которые с точностью до знака совпадают с одним из коэффициентов Фурье функции f (k) (x), будут порядка не ниже n1 при большом170]§ 15.

Дополнительные сведения из теории рядов Фурье647n, так как в [165] мы видели, что коэффициенты Фурье функции, удовлетворяющей условиям Дирихле, порядка не ниже n1 . Мы получаем такимобразом следующую теорему:Если периодическая непрерывная функция f (x) имеет непрерывныепроизводные до (k − 1)-го порядка включительно, а производная k-го порядка есть функция, удовлетворяющая условиям Дирихле, то коэффи1, т. е.циенты Фурье an , bn функции f (x) будут порядка не ниже nk+1будут иметь оценку|an | 6M,nk+1|bn | 6M,nk+1где M — некоторое положительное число.Заметим, что при k > 1 ряд Фурье функции f (x) будет равномерносходящимся.

Действительно, из доказанной теоремы следует, что в этомслучае коэффициенты an и bn будут удовлетворять неравенству|an | <M,n2|bn | <M,n2а общий член ряда будет иметь оценку|an cos nx + bn sin nx| <2M,n2откуда и следует абсолютная и равномерная сходимость ряда, так как∞P1есть сходящийся [I, 122].рядn2n=1Формулы (57) остаются в силе и для рядов Фурье в случае промежутка (−l, l). Нужно только положить k Xτk(k)nπxi1l(k)δ sin,Ak =ππ i=1 il(k = 0, 1, 2, . . .) k Xτk(k)nπxi1l(k)δi cos,Bk =ππli=1ρ′k ,а выражения для kl, причем здесьπρ′′k ,которые выписаны в табличке, умножить наδτ(k)= f (k) (l + 0) − f (k) (l − 0) = f (k) (−l + 0) − f (k) (−l − 0) . .

.k648Гл. VI. Ряды Фурье[171171. Улучшение сходимости рядов Фурье. Как мы видели впредыдущем, присутствие в выражении для коэффициентов Фурье an иbn функции f (x) членов порядка n1 , которые делают ряд Фурье плохо сходящимся, обусловливается наличием скачков у функции f (x). Функцияможет иметь сколько угодно производных внутри промежутка (−π, π),но достаточно одного скачка в конце промежутка, т. е. собственно говоря, несовпадения предельных значений f (∓π ± 0), чтобы ряд Фурье этойфункции стал практически негодным для вычисления. Далее, в приложениях очень часто важно исследовать не функцию f (x), разложеннуюв ряд Фурье, а ее производные первого, второго и даже третьего порядка.

Между тем если коэффициенты Фурье самой функции f (x) порядка1, то при дифференцировании ряда коэффициенты будут уже порядnk+1ка n1k , что ясно из равенствf (x) =f ′ (x) =f ′′ (x) =∞a0 X+(an cos nx + bn sin nx),2n=1∞Xn=1∞Xn=1n(b)n cos nx − an sin nx),n2 (−an cos nx − bn sin nx).Обратно, при каждом интегрировании порядок коэффициентов будетповышаться на единицу, ибоZ X∞∞X−bn cos nx + an sin nx,(an cos nx + bn sin nx)dx = C +nn=1n=1где C — произвольная постоянная.Таким образом, при дифференцировании сходимость ряда Фурьеухудшается; так, например, если коэффициенты Фурье функции f (x)были порядка n12 , что будет в том случае, если эта функция непрерывна и периодична, а f ′ (x) может иметь точки разрыва, то ряд, которыйполучится почленным дифференцированием для вычисления f ′ (x), будет иметь коэффициенты порядка n1 , а ряд для f ′′ (x) совсем потеряетсмысл, так как его коэффициенты не будут даже стремиться к нулю.

Таким образом может оказаться, что ряд Фурье функции f (x) совершенноне годится для вычисления производных от функции f (x) ни при какихзначениях x, и это произойдет для такой функции, которая лишь в одной точке промежутка не имеет производной, а во всех остальных имееттаковые и любого порядка.171]§ 15. Дополнительные сведения из теории рядов Фурье649Поэтому возникает задача улучшения сходимости ряда Фурье, т.

Характеристики

Список файлов книги