1610915346-ca3c42683bad539de2fd15cb675d150f (824739), страница 98
Текст из файла (страница 98)
121.На рис. 122 изображены графики u(x, t) в моментыt=α,4a2α,4a3α,4aα,a5α,4a2α.a680Гл. VII. Уравнения математической физики[178Рис. 122.Проведем на плоскости две взаимно перпендикулярные оси: одну для переменной x и другую для t. На рис. 123 нами отмеченаодна ось X. Всякая точка нашей плоскости определяется двумякоординатами (x, t), т. е.
такая точка характеризует определеннуюточку струны x в определенный момент времени t. Нетрудно приэтом определить графически те точки струны, начальные возмуще-178]§ 17. Волновое уравнение681Рис. 123.ния которых дошли в момент t0 до точки x0 . Это будут, согласнопредыдущему, точки с абсциссами x0 ± at0 , так как a есть скоростьраспространения колебаний. Для нахождения их на оси X достаточно провести через точку (x0 , t0 ) две прямые)x − at = x0 − at0 ,(20)x + at = x0 + at0 ,и в пересечении их с осью OX и получатся искомые точки. Прямые(20) называются характеристиками в точке (x0 , t0 ).
Вдоль первойиз этих прямых ϕ(x − at) сохраняет постоянное значение, т. е. этапрямая дает те значения (x, t), при которых прямая волна дает тоже отклонение, что и при значениях (x0 , t0 ). Вторая из прямых (20)играет ту же роль для обратной волны. Можно сказать коротко, чтовозмущения распространяются по характеристикам.Применяя указанное построение, можем обнаружить следующие факты.Пусть начальное возмущение имелось лишь в некотором промежутке (α1 , α2 ) струны (рис. 123), т.
е. ϕ(x) = 0 вне этого промежутка. Ограничиваясь лишь верхней полуплоскостью (x, t), т. е.t > 0, которая одна имеет физический смысл, проведем характеристики из точек α1 и α2 оси OX, начерченные сплошными линиями. Эти характеристики разобьют всю полуплоскость на шестьобластей. Область (I) соответствует таким точкам, до которых вданный момент доходит как прямая, так и обратные волны.
Область (II) соответствует тем точкам, до которых в данный моментдоходит только обратная волна; в область же (III), наоборот, доходит только прямая волна. Точки областей (IV) и (V) таковы, что682Гл. VII. Уравнения математической физики[178к данному моменту до них возмущение еще не дошло.
Наконец, доточек области (VI) возмущение успело дойти и пройти через них,и в данный момент они находятся в состоянии покоя. Это ясно изтого, что если через какую-нибудь из точек M этой области провести характеристики, то они пересекут ось OX в некоторой точкеx = c вне отрезка начального возмущения, и, следовательно, значения ϕ(x ± at) = ϕ(c) будут равны нулю. Кроме того, если провести через M прямую, перпендикулярную оси OX, то нижняя частьэтой прямой, которой соответствуют при неизменном x более ранние моменты времени, пересечет по крайней мере одну из областей(I), (II), (III), а верхняя часть этой прямой, которой соответствуетболее поздние моменты времени, будет вся находиться в области(VI). Этим замечательным свойством — приходить к первоначальному состоянию после прохождения волн — струна обладает не привсяком начальном возмущении, как будет видно ниже.2.
Начальное смещение равно нулю и имеется только начальныйимпульс. Мы получим тогда решение1u(x, t) =2ax+atZϕ1 (z)dz.(21)x−atЕсли обозначим какой-нибудь неопределенный интеграл функ1ϕ1 (x) через Φ1 (x), то получимции 2au(x, t) = Φ1 (x + at) − Φ1 (x − at),(22)т. е. также будем иметь дело с распространением прямой и обратной волны.
Если начальное возмущение ограничивалось лишь промежутком (α1 , α2 ), мы получаем то же построение, что и в случае1, с тем, однако, важным различием, что в области (VI) смещениебудет уже отлично от нуля и будет выражаться интегралом12aZα2ϕ1 (z)dz.(23)α1Действительно, для точек области (VI), по самому построениюэтой области, мы имеем x + at > α2 и x − at < α1 , т. е. в формуле178]§ 17. Волновое уравнение683(21) интегрирование надо производить по промежутку, заключающему (α1 , α2 ) внутри себя. Но по условию вне (α1 , α2 ) функцияϕ1 (z) равна нулю, так что остается интеграл лишь по (α1 , α2 ), и мыполучаем для u(x, t) выражение (23), которое представляет собойнекоторую постоянную.Таким образом действие начального импульса приводится к тому, что с течением времени точки струны будут сдвигаться на отрезок, длина которого выражается интегралом (23), и оставатьсябез движения в этом новом положении.Можно истолковать еще формулу (21) следующим образом.Пусть точка x лежит правее промежутка (α1 , α2 ), т.
е. x > α2 .При t = 0 промежуток интегрирования (x − at, x + at) вырождается в точку x, а затем, при увеличении t, он расширяется в обе2он не будет иметь общихстороны со скоростью a. При t < x−αaточек с (α1 , α2 ), функция ϕ1 (z) будет в нем равна нулю, и формула (21) даст u(x, t) = 0, т. е. покой в точке x. Начиная с момента2t = x−αa , промежуток (x − at, x + at) будет налегать на промежуток(α1 , α2 ), в котором ϕ1 (z) отлично от нуля, и точка x начнет колебаться (момент прохождения переднего фронта волны через точку1промежуток (x − at, x + at) будет содерx).
Наконец, при t > x−αaжать целиком промежуток (α1 , α2 ), интегрирование по промежутку(x − at, x + at) будет сводиться к интегрированию по (α1 , α2 ), таккак вне этого последнего промежутка ϕ1 (z) по условию обращает1мы имеем постоянное значение u(x, t),ся в нуль, т. е. при t > x−αa1есть момент проопределяемое выражением (23).
Момент t = x−αaхождения заднего фронта волны через точку x.Сделаем некоторые замечания по поводу общего случая. Отметим, что в общем случае может оказаться, что прямая или обратнаяволна вовсе отсутствует. Действительно, положим, например, чтофункции ϕ(x) и ϕ1 (x), входящие в начальные условия, удовлетворяют соотношению11ϕ(x) +22aZxϕ1 (z)dz = 0.(24)0При этом, в силу второй из формул (16), функция θ2 (x) будет тождественно равна нулю, и в общем решении (12) обратная684Гл. VII.
Уравнения математической физики[179волна будет отсутствовать. Если в правой части (24) мы вместонуля поставим постоянную, то θ2 (x) обратиться в постоянную, а вформуле (12) это постоянное слагаемое можно отнести к θ1 (x − at),т. е. обратная волна тоже будет отсутствовать. Вернемся к примеру,рассмотренному нами в случае 1.
Рис. 121 дает график начальногоотклонения (начальная скорость равна повсюду нулю). Последнийиз рис. 122 дает график струны в некоторый момент t = t0 , состоящий из двух отдельных кусков. Правый кусок, соответствующийпромежутку (c, 3c) будет передвигаться направо, а левый кусок —налево со скоростью a. Но мы можем описывать дальнейшие явления при t > t0 , приняв момент t = t0 за начальный момент,подсчитав для этого момента отклонения u и скорости ∂u∂t и применяя общую формулу (17), в которой надо только в правой частизаменить t на (t − t0 ), так как t0 принято за начальный моментвремени. В данном случае начальные условия будут отличны отнуля только на промежутках (−3c, −c) и (c, 3c). В общем случаевозмущения на каждом из этих промежутков дали бы и прямую иобратную волны.
Но в данном случае, как мы видели выше, возмущения, например на промежутке (c, 3c), дают только прямую волну.Это происходит потому, что на этом промежутке, кроме начальныхотклонений, изображенных на последнем из рис. 122, возникнут врезультате колебаний такие скорости при t = t0 , что обратная волна будет отсутствовать.
Совершенно так же возмущение на участке(−3c, −c) не даст прямой волны. Это явление соответствует однойиз формулировок принципа Гюйгенса.179. Ограниченная струна. Пусть имеется конечная струна,закрепленная на концах, и пусть абсциссы концов струны будутx = 0 и x = l.Кроме начальных условий (8)∂u = ϕ1 (x),u|t=0 = ϕ(x),∂t t=0где ϕ(x) и ϕ1 (x) заданы при 0 6 x 6 l (ϕ(0) = ϕ1 (0) = ϕ(l) =ϕ1 (l) = 0), нужно удовлетворить еще предельным условиямu|x=0 = 0,u|x=l = 0.(25)179]§ 17. Волновое уравнение685Решение Даламбера (12)u(x, t) = θ1 (x − at) + θ2 (x + at),(12)конечно, годится в этом случае, но определение функций θ1 и θ2 поформулам (16)Zx11ϕ1 (z)dz,θ1 (x) = ϕ(x) −22a0(26)xZ11ϕ1 (z)dz θ2 (x) = ϕ(x) +22a0встречает здесь то затруднение, что функции ϕ(x) и ϕ1 (x), а следовательно, и θ1 (x) и θ2 (x), определены лишь в промежутке (0, l)согласно физическому смыслу задачи, а аргументы (x ± at) в формуле (12) могут лежать и вне этого промежутка.Стало быть, для возможности применения способа характеристик нужно продолжить функции θ1 (x), θ2 (x) или, что вполне эквивалентно, функции ϕ(x), ϕ1 (x) вне промежутка (0, l).
С точкизрения физической это продолжение сводится к определению такого начального возмущения бесконечной струны, чтобы движение ееучастка (0, l) было то же, как если бы он был закреплен в концах,а оставшаяся часть струны была бы отброшена.Подставляя в правую часть (12) x = 0 и x = l и приравниваярезультат нулю, выразим предельные условия в виде)θ1 (−at) + θ2 (at) = 0,(27)θ1 (l − at) + θ2 (l + at) = 0,или, обозначив переменный аргумент at просто через x,)θ1 (−x) = −θ2 (x),θ1 (l + x) = −θ1 (l − x).(28)Когда x изменяется в промежутке (0, l), аргумент (l − x) изменяется в этом же промежутке, и правые части равенств (28) нам известны. Но при этом аргументы (−x) и (l + x) изменяются соответственно в промежутках (−l, 0) и (l, 2l), и второе из уравнений686Гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
