1610915346-ca3c42683bad539de2fd15cb675d150f (824739), страница 87
Текст из файла (страница 87)
Из полученногорезультата следует, что значения αk и βk , которые обращают в минимум δn2 , не зависят от значка n. Если мы увеличим n, то нам надобудет добавить новые коэффициенты αk и βk , но уже вычисленныекоэффициенты останутся прежними.Величину εn наименьшей погрешности мы получим по формуле(35), заменив там αk и βk соответственно на ak и bk , что даетε2n1=2πZ+πn1X 2a2[f (x)]2 dx − 0 −(ak + b2k ),42(36)Z+πna2 X 2[f (x)]2 dx − 0 −(ak + b2k ).2(37)k=1−πили2ε2n1=πk=1−πПри возрастании n, т. е.
порядка тригонометрического полинома, вправой части (37) будут добавляться новые отрицательные (или, вовсяком случае, не положительные) слагаемые: −a2n+1 , −b2n+1 , . . .,и таким образом погрешность εn может только уменьшатьсяпри увеличении n, т. е. точность приближения увеличивается (неуменьшается) при возрастании n.Величина ε2n выражается формулой (33), если в ней заменить αk ,βk на ak , bk , т. е. выражается интегралом от квадрата некоторойфункции, а потому ε2n наверно положительна или, точнее говоря,не отрицательна.
Принимая это во внимание, получим, в силу (37),n1a20 X 2+(ak + b2k ) 62πk=1Z+π[f (x)]2 dx.(38)−πПока мы явно не высказывали никаких предположений относительно свойств f (x). Для предыдущих рассуждений необходимо, чтобысуществовали все те интегралы, которыми мы пользовались, т. е.чтобы можно было вычислять коэффициенты Фурье по формулам159]§ 14. Гармонический анализ597(9) и чтобы существовал интеграл от квадрата функции. Для определенности будем считать, что f (x) непрерывна или имеет конечноечисло разрывов первого рода. При этом все упомянутые интегралынаверно имеют смысл [I, 116].
Можно сделать относительно f (x) игораздо более общие предположения, и во всяком случае во всехпредыдущих и дальнейших рассуждениях не играют роли предположения, которые фигурировали в условиях Дирихле. Вернемся к неравенству (38). При увеличении n сумма положительныхслагаемых, стоящая в левой части, будет увеличиваться (не уменьшаться), но при это будет оставаться меньше определенного положительного числа, стоящего в правой части неравенства. Отсюданепосредственно вытекает, что бесконечный ряд∞X(a2k + b2k )k=1будет рядом сходящимся [I, 120]. Устремляя n к бесконечности ипереходя в неравенстве (38) к пределу, получим:1a20 X 2+(ak + b2k ) 62π∞k=1Z+π[f (x)]2 dx.(39)−πПринимая во внимание, что общий член сходящегося ряда долженстремиться к нулю при беспредельном удалении от начала, мы можем высказать следующую теорему:Т е о р е м а.
При сделанных предположениях относительно f (x)ее коэффициенты Фурье ak и bk стремятся к нулю при k → +∞.При нашей новой точке зрения основным является следующийвопрос: будет ли погрешность εn стремиться к нулю при беспредельном возрастании n. Если в правой части формулы (37) мыперейдем к пределу при беспредельном увеличении n, то вместоn∞PPконечной суммыполучим бесконечный ряд, т. е.k=1lim 2ε2n =n→∞k=11πZπ−π[f (x)]2 dx −a20 X 2−(ak + b2k ),2∞k=1598Гл. VI. Ряды Фурье[160откуда вытекает, что стремление к нулю εn равносильно тому, чтов формуле (39) мы имеем знак равенства, т. е.1πZ+π∞a2 X 2[f (x)]2 dx = 0 +(ak + b2k ).2(40)k=1−πУравнение это обычно называется уравнением замкнутости. Вследующем параграфе настоящей главы мы докажем, что εn → 0,т. е.
что уравнение (40) действительно имеет место для всех функций f (x) с указанными выше свойствами.160. Общие ортогональные системы функций. Большинство проведенных рассуждений настоящей главы основывалось нена конкретных свойствах тригонометрических функций, но лишьна свойстве ортогональности функций семейства (4). Поэтому этирассуждения применимы для любого семейства ортогональныхфункций. Такие семейства, как мы увидим, часто встречаются взадачах математической физики.
Пусть у нас имеется семействовещественных функций в промежутке a 6 x 6 b, для определенности будем считать эти функции непрерывными:ϕ1 (x), ϕ2 (x), . . . , ϕn (x), . . .(41)Мы предполагаем, что ни одна из этих функций не равна тождественно нулю.Говорят, что функции семейства (41) ортогональны, еслиZbϕm (x)ϕn (x)dx = 0aпри m 6= n.(42)Интеграл от квадрата каждой функции семейства (41) будет равняться некоторой положительной постоянной. Введем следующиеобозначения для этих постоянных:kn =Zba[ϕn (x)]2 dx.(43)160]§ 14.
Гармонический анализ599Если к каждой функции ϕn (x) семейства (41) добавим численныймножитель √1k , то новые функцииn111ψ1 (x) = √ ϕ1 (x), ψ2 (x) = √ ϕ2 (x), . . . , ψn (x) = √ ϕn (x), . . . ,k1k2knв силу (42) и (43), будут удовлетворять не только условиям ортогональности, но и интеграл от квадрата каждой функции будет равенединице, т.
е.Zbψm (x)ψn (x)dx =a(0 при m 6= n,1 при m = n.(44). . . , ψn (x), . . .(45)При этом системуψ1 (x),ψ2 (x),называют обычно ортонормированной.Пусть f (x) — функция непрерывная или с конечным числом разрывов первого рода на промежутке a 6 x 6 b. Числаck =Zbf (x)ψk (x)dx(46)aназываются обобщенными коэффициентами Фурье или просто коэффициентами Фурье функции f (x) относительно ортонормированной системы (45), а ряд∞Xck ψk (x)(461 )k=1рядом Фурье функции f (x).Без дополнительных предположений относительно f (x) и функций системы (45) ничего нельзя утверждать о сходимости этого ряда или о его сумме, если он сходится.600Гл. VI.
Ряды Фурье[160Напишем выражение для средней квадратичной погрешностипри представлении заданной функции f (x) конечной суммой видаnXγk ψk (x).k=1Квадрат ее выражается в видеδn2=Zba[f (x) −nXγk ψk (x)]2 dx.k=1Мы не пишем множителя (b − a)−1 перед знаком интеграла. Принимая во внимание (44) и (45), получим, как и в [159]:δn2=Zba[f (x)]2 dx −nXc2k +nX(γk − ck )2 ,k=1k=1откуда непосредственно следует, что δn2 имеет наименьшее значение, которое мы обозначим ε2n , при γk = ck :ε2n=Zba[f (x) −nX2ck ψk (x)] dx =k=1Zba[f (x)]2 dx −nXc2k .(47)k=1Отсюда, как и выше, следует неравенство∞Xk=1c2k6Zb[f (x)]2 dx,(48)aкоторое называется обычно неравенством Бесселя. Основным является вопрос, будет ли εn стремиться к нулю при n → ∞, причемстремление εn к нулю равносильно тому, что в (48) мы имеем знакравенства, т.
е.Zb∞X[f (x)]2 dx =c2k .(49)ak=1160]§ 14. Гармонический анализ601Уравнение это называется уравнением замкнутости для f (x) поотношению к системе функций (45). Эта система называется замкнутой, если уравнение (49) справедливо для любой непрерывнойфункции f (x) и для любой функции с конечным числом разрывовпервого рода. Заметим, что если это так, то можно доказать, чтоуравнение (49) справедливо и для гораздо более широкого классафункций.Доказательство уравнения замкнутости для разнообразных систем ортогональных функций было дано в работах В. А. Стеклова.В этих же работах было выяснено важное значение уравнения замкнутости в теории ортогональных систем. Доказательство уравнения замкнутости для тригонометрических рядов впервые былодано А. М.
Ляпуновым.Вернемся к семейству функций1, cos x, sin x, cos 2x, sin 2x, . . . , cos nx, sin nx, . . .Эти функции обладают свойством ортогональности на промежутке (−π, π), но они не нормированы, т. е. интегралы от квадратов их не равны единице. Из вышеизложенных вычислений [154]следует, что в данном случае ортонормированным будет семействофункций11111√ , √ cos x, √ sin x, .
. . , √ cos nx, √ sin nx, . . .ππππ2πПоложим, что ортонормированная система (45) замкнута, и покажем, что при этом не существует непрерывной функции (кроме равной тождественно нулю), которая была бы ортогональна повсем функциям семейства (45). Действительно, пусть f (x) — такаяфункция:Zbf (x)ψk (x)dx = 0 (k = 1, 2, . . .),aт. е. все коэффициенты Фурье ck функции f (x) равны нулю. При602Гл. VI. Ряды Фурье[160этом из уравнения замкнутости (49) следует, чтоZb[f (x)]2 dx = 0,aи из этого равенства, поскольку f (x) предположена непрерывной,следует, что f (x) ≡ 0. Обратное утверждение не имеет места, т. е. изтого факта, что нет непрерывной функции (кроме тождественногонуля), ортогональной ко всем функциям системы (45), не следует,что эта система замкнута. Мы рассмотрим еще этот вопрос в следующем параграфе, когда будем излагать теорию ортонормированных систем для измеримых функций с использованием интегралаЛебега.Вернемся к замкнутой ортонормированной системе (45), и пустьf (x) и g(x) — функции непрерывные или с конечным числом разрывов первого рода на (a, b).
Через ck и dk обозначим коэффициентыФурье этих функций. Для их суммы f (x) + g(x) коэффициентыФурье равны ck + dk :Zb[f (x) + g(x)]ψk (x)dx =aZbf (x)ψk (x)dx +aZbg(x)ψk (x)dx = ck + dk .aМы можем написать три уравнения замкнутостиZb2[f (x)] dx =∞Xc2k ,k=1aZbZb[g(x)]2 dx =[f (x) + g(x)] dx =d2k ,k=1a2∞X∞X(ck + dk )2 .k=1aРаскрывая в последней формуле скобки и принимая во вниманиедве первые формулы, получимZbaf (x)g(x)dx =∞Xk=1ck dk .(50)160]§ 14.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
