1610915346-ca3c42683bad539de2fd15cb675d150f (824739), страница 82
Текст из файла (страница 82)
Остальные коэффициенты зависят только от параметра v, характеризующегоположение точки на меридиане. Главные направления совпадают, очевидно, с касательными к меридиану и параллели. Выражение (LN −M 2 )в данном случае положительно на всей поверхности, т. е. все точки поверхности — эллиптические. Не вычисляя в отдельности главные радиусы кривизны, приведем лишь выражение гауссовой кривизны:a2,G = a2 cos2 v + c2 sin2 v,a2cos2LN − M 2c21== 2.22R1 R2EG − F(a cos v + c2 sin2 v)2149]§ 13.
Элементы теории поверхностей5572. Уравнение косинуса второго порядкаx2y2z2+ 2 − 2 =02abcперепишем в явной формеrz=cy2x2+ 2.a2bНепосредственно дифференцируя, нетрудно получитьp=c2 x,a2 zq=c2 y,b2 zr=c4 y 2,a 2 b2 z 3s=−c4 xy,a 2 b2 z 3t=c4 x2.a 2 b2 z 3Пользуясь формулами (53), можно определить все коэффициенты формГаусса. Отметим лишь, что в данном случае rt − s2 = 0, т. е. все точкиповерхности суть параболические точки, и один из главных радиусовкривизны равен бесконечности.
Соответствующее главное направлениесовпадает, очевидно, с прямолинейной образующей конуса.3. Рассмотрим гиперболический параболоидz=y2x2− 2.22a2bВ данном случае r = a12 , s = 0 и t = − b12 , так что rt − s2 < 0, и, следовательно, всякая точка поверхности является гиперболической точкой. Двепрямолинейные образующие поверхности дают в данном случае направление асимптот индикатрисы Дюпена, которая состоит из двух сопряженных гипербол. Аналогичное обстоятельство мы будем иметь и дляоднополого гиперболоида.4. Обычные прямолинейные координаты, а также сферические и цилиндрические координаты дают простейшие примеры ортогональных координат в пространстве.
Укажем еще один пример таких координат.Рассмотрим уравнение поверхности второго порядка, содержащее параметр ρ:y2z2x2+ 2+ 2− 1 = 0,(75)2a +ρb +ρc +ρгде a2 > b2 > c2 . Фиксируя точку M (x, y, z) и освобождаясь от знаменателей, мы будем иметь уравнение третьей степени относительной ρ.Нетрудно показать, что это уравнение имеет три вещественных корня u,v и w, которые заключаются соответственно в границах+∞ > u > −c2 ,−c2 > v > −b2 ,−b2 > w > −a2 .(76)558Гл.
V. Основы дифференциальной геометрии[149Действительно, при больших положительных значениях ρ леваячасть уравнения (75) близка к (−1) и имеет знак (−), а при значениях2ρ, немного больших (−c2 ), слагаемое c2z+ρ2 есть большая положительнаявеличина, и левая часть уравнения (75) имеет знак (+). Таким образомвнутри промежутка (−c2 , ∞) должно существовать такое значение ρ, прикотором левая часть уравнения (75) обращается в нуль. Аналогичнымобразом можно убедиться в существовании корней внутри промежутков(−b2 , −c2 ) и (−a2 , −b2 ). Три числа (u, v, w) называются эллиптическимикоординатами взятой точки M (x, y, z).
В нашем рассуждении предполагается, что все три координаты точки (x, y, z) отличны от нуля. В противном случае для ρ получится уравнение ниже третьей степени. Если,например z = 0, а x и y отличны от нуля, то уравнение (75) даст u и v,а w надо считать равным (−c2 ).Исследуем теперь координатные поверхности в эллиптической системе координат. Подставляя в уравнение (75) ρ = u, где u — некотороечисло из промежутка (−c2 , ∞), получим поверхностьy2z2x2+ 2+ 2= 1,(77)+ub +uc +uкоторая, очевидно является эллипсоидом, так как, в силу первого изнеравенство (76), все три знаменателя в уравнении (77) положительны.Полагая ρ = v, где v — из промежутка (−b2 , −c2 ), получим однополыйгиперболоидy2z2x2+ 2+ 2= 1,(78)2a +vb +vc +vтак как в данном случае a2 + v > b2 + v > 0 и c2 + v < 0.
Наконец, при ρ =w, где w — из промежутка (−a2 , −b2 ), получим двуполый гиперболоидa2a2y2z2x2+ 2+ 2= 1.+wb +wc +w(79)Покажем, что полученные три координатные оси поверхности взаимно ортогональны. Вычитая почленно уравнения (77) и (78), получим(a2y2z2x2+ 2+ 2= 0.22+ u)(a + v)(b + u)(b + v)(c + u)(c2 + v)(80)Направляющие косинусы нормалей к поверхностям (77) и (78) соответственно пропорциональны [I, 160]:x,a2 + uy,b2 + uzc2 + uиx,a2 + vy,b2 + vz,c2 + v150]§ 13.
Элементы теории поверхностей559и равенство (80) выражает условие перпендикулярности этих нормалей,т. е. дает доказательство ортогональности поверхностей (77) и (78). Точнотак же можно доказать взаимную ортогональность и других координатных поверхностей. Пользуясь теоремой Дюпена, мы можем утверждать,что два семейства линий кривизны на эллипсоиде (77) (при фиксированном u) получатся в результате пересечения этого эллипсоида совсевозможными гиперболоидами из семейств (78) и (79).150. Гауссова кривизна. Выясним геометрический смысл понятия о гауссовой кривизне. Примем за координатные линии наповерхности — линии кривизны этой поверхности.
Вдоль каждой изэтих линий будет выполнено соотношение (72), причем коэффициент a есть, как мы видели, один из главных радиусов кривизны.Это дает нам следующие соотношения:r′u + R1 m′u = 0,r′v + R2 m′v = 0.(81)Сопоставим всякой точке M поверхности — точку M0 сферыединичного радиуса, которая получается в пересечении этой сферы с вектором m, отложенным из центра сферы, причем m естьединичный вектор нормали к поверхности в точке M . Такое точечное соответствие между точками поверхности и точками сферыназывается обычно сферическим отображением поверхности. Положение точки M0 будем характеризовать теми же параметрами uи v, что и положение M .
Ввиду того, что координатные линии сутьлинии кривизны, будем иметьE = r′2u,F = 0,G = r′2v .(82)Радиус-вектор сферического изображения M0 есть по определению m, и, в силу формул (81) и (82), коэффициенты первой формыГаусса для сферического изображения будут:E0 = m′2u =1E,R12F0 = m′u · m′v = 0,G0 = m′2v =1G.R22(83)Остановимся лишь на доказательстве среднего из равенств, ибоостальные два непосредственно вытекают из (81) и (82). Формулы(49) дают M = −r′u · m′v = −r′v · m′u . Раз мы приняли за координатные линии линии кривизны, то M = 0, т. е.
r′u · m′v = r′v · m′u = 0.560Гл. V. Основы дифференциальной геометрии[151Умножая первое из равенств (81) на m′v или второе на m′u , получимm′u · m′v = 0.Элемент площади самой поверхности и соответствующий элемент сферического изображения будутp√dS = EGdudv, dS0 = E0 G0 dudv,или, в силу (83),dS0 =1dS,|R1 R2 |откуда видно, что гауссова кривизна в точке M по абсолютной величине есть предел отношения площади сферического отображения к соответствующей площади самой поверхности, когда этапоследняя беспредельно сжимается к точке M . Упомянутое отношение характеризует, очевидно, степень разбросанности пучканормалей к поверхности в точках элемента dS.В [146] мы вывели выражение гауссовой кривизны K через коэффициенты двух форм Гаусса.
Самим Гауссом было дано выражение K только через коэффициенты E, F и G и их производные поu и v. Из этого обстоятельства вытекает одно важное следствие, накотором мы остановимся. Пусть между двумя поверхностями (S)и (S1 ) установлено точечное соответствие, причем соответствующие точки характеризуются одинаковыми значениями параметровu и v. Каждая из поверхностей будет иметь свою первую формуГаусса, выражающую квадрат элемента длины. Тождественностьэтих двух форм равносильна тому, что при упомянутом точечномсоответствии длины сохраняются, или, иначе говоря, поверхностиналожимы друг на друга.
При этом коэффициенты E, F и G и ихпроизводные по u и v будут для обоих поверхностей одни и те же,а потому и кривизна K в соответствующих точках обеих поверхностей будет иметь одно и то же значение, т. е. при отображении другна друга двух поверхностей, сохраняющем длину, гауссова кривизна в соответствующих точках обеих поверхностей имеет одно ито же значение.В частности, на плоскости гауссова кривизна равна нулю, и уповерхностей, которые могут быть наложены на плоскость без искажения длин, должно быть LN − M 2 = 0, т. е.
все точки — пара-151]§ 13. Элементы теории поверхностей561болические. В предыдущем мы имели пример таких поверхностей,а именно — конус и цилиндр.151. Вариация элемента площади и средняя кривизна.Пусть (S) — некоторая поверхность, (u, v) — ее координатные параметры и r(u, v) — ее радиус-вектор. Откладывая в каждой точкеM (u, v) поверхности по нормали m отрезок M M 1 алгебраическойвеличины n(u, v), где n(u, v) — некоторая функция u и v, получимновую поверхность (S1 ), образованную точками M1 . Точки M1 мыбудем характеризовать теми же параметрами (u, v), что и точки M ,и будем говорить, что между точками (S) и (S1 ) установлено соответствие по нормалям к (S).
Радиус вектор r(1) поверхности (S1 )по определению будет r(1) (u, v) = r(u, v) + n(u, v)m(u, v). Дифференцируя по u и v, получим:′r(1)= r′u + n′u m + nm′u ,u′′′r(1)v = rv + nv m + nmv .Вычислим коэффициенты E1 , F1 , G1 первой формы Гаусса дляповерхности (S1 ), причем будем считать длину n и ее производныепо u и v — малыми и будем пренебрегать членами второго измерения относительно этих величин′′′′ 2′′′E1 = (r(1)u ) = (ru + nu m + nmu ) · (ru + nu m + nmu ) =′′′′= r′2u + 2nu (ru · m) + 2n(ru · mu ).Векторы r′u и m взаимно перпендикулярны и r′u · m = 0, и формула (47) дает E1 = E − 2nL. Точно так же нетрудно получитьF1 = F − 2nM и G1 = G − 2nN . ОтсюдаE1 G1 − F12 = EG − F 2 − 2n(EN − 2F M + GL),или, в силу (67),E1 G1 − F12 = (EG − F 2 )(1 − 4nH).Извлекая корень, разлагая (1 − 4nH)1/2 по биному Ньютона∗ и откидывая члены со степенями n выше первой, будем иметь:qpE1 G1 − F12 = EG − F 2 (1 − 2nH).(84)∗По-видимому, имеется ввиду разложение в формулу Тейлора.562Гл.
V. Основы дифференциальной геометрии[151Умножая dudv и интегрируя, получим с точностью до малых величин второго порядка выражение разности δS площадей близкихповерхностей (S) и (S1 ):ZZ qZZ p2E1 G1 − F1 dudv −EG − F 2 dudv =(S1 )(S)=−ZZ2nH(S)илиδS = −ZZpEG − F 2 dudv(85)2nHdS.(S)В непосредственной связи с этой формулой находится известнаязадача Плато об определении поверхности с наименьшей площадью, натянутой на заданный контур (L).
Нетрудно видеть, что натакой поверхности средняя кривизна H должна быть равна нулю.Действительно, если бы на некотором участке (σ) такой поверхности величина H оказалась, например, положительно, то, выбираямалую величину n также положительной на σ и равной нулю наостальной части поверхности и, в частности, на (L), мы получилибы, в силу (85), для δS отрицательное значениеZZδS = −2nHdS,(σ)и поверхность (S1 ), проходя через (L), имела бы площадь, меньшую, чем (S), что противоречит предположению.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
