1610915346-ca3c42683bad539de2fd15cb675d150f (824739), страница 81
Текст из файла (страница 81)
Для главных направлений величина R−1 должнадостигать максимума или минимума, а потому производная от R−1по t должна обращаться в нуль. Но эта производная выражается,очевидно, формулой [I, 69]∂ϕdR−1∂t,= − ∂ϕdt∂R−1и, следовательно, для главных направлений производнаяна обращаться в нуль, т. е.dϕdtдолж-1 ∂ϕ= (L − ER−1 )t + (M − F R−1 ) = 0.2 ∂tЗаменяя t =dudvи умножая на dv, получим(L − ER−1 )du + (M − F R−1 )dv = 0.(62)Если бы мы разделили уравнение (61) на du2 и за переменную,dv, тохарактеризующую направление касательной, взяли бы t1 = du146]§ 13.
Элементы теории поверхностей551совершенно так же получили бы для главных направлений равенство(M − F R−1 )du + (N − GR−1 )dv = 0.(63)Перенося в равенствах (62) и (63) члены с dv направо и почленноделя одно равенство на другое, мы получим квадратное уравнениедля определения кривизны главных нормальных сечений, т.
е. R11 и1R2 :(EG − F 2 )11+ (2F M − EN − GL) + (LN − M 2 ) = 0.R2R(64)Выражение1(65)R1 R2называется гауссовой кривизной поверхности в заданной точке, авыражение11 1(66)+H=2 R1R2K=называется средней кривизной. Из квадратного уравнения (64) получаем непосредственно выражение гауссовой и средней кривизнычерез коэффициенты первой и второй формы Гаусса:K=LN − M 2,EG − F 2H=EN − 2F M + GL.2(EG − F 2 )(67)Перепишем уравнения (62) и (63) в виде(Ldu + M dv)R = Edu + F dv,(M du + N dv)R = F du + Gdv.Разделив почленно одно на другое, мы исключим букву R и послеэлементарных преобразований получим уравнение(EM − F L)du2 + (EN − GL)dudv + (F N − GM )dv 2 = 0.(68)Деля его на du2 , будем иметь квадратное уравнение относительdv.
Его два корня дадут нам величины, характеризующие главно duные направления в каждой точке поверхности:dv= ϕ1 (u, v),dudv= ϕ2 (u, v).du(69)552Гл. V. Основы дифференциальной геометрии[147147. Линии кривизны. Линией кривизны на поверхности называется такая линия на поверхности, у которой в каждой ее точкекасательная направлена по главному направлению. Так как в каждой точке поверхности имеются два главных направления, то мыбудем иметь два семейства линий кривизны на поверхности, и этисемейства будут взаимно ортогональны.
Таким образом совокупность всех линий кривизны даст некоторую ортогональную сеткуна поверхности. Уравнение (68) или эквивалентные ему уравнения(69) суть дифференциальные уравнения линий кривизны. Интегрируя их, мы выразим v через u и, подставляя это выражение в уравнения поверхности, получим уравнения линий кривизны.Пусть нам дана некоторая координатная сетка на поверхности.Выясним условия, при которых эта сетка есть сетка линий кривизны. Прежде всего, раз эта сетка должна быть сеткой линий кривизны, то она должна быть ортогональной сеткой, т. е.
мы должныиметь F = 0. Кроме того, раз координатные линии u = C1 и v = C2суть линии кривизны, то уравнение (68) должно удовлетворятьсяпри подстановке вместо u или v постоянной. Принимая во вниманиеуже полученный результат F = 0, будем иметь GM = 0 и EM = 0.Но мы видели, что разность EG − F 2 положительна и, следовательно, величины E и G не могут быть равны нулю, и из двухпредыдущих формул вытекает M = 0. Итак, необходимым условием того, что координатная сетка была сеткой линий кривизны,является условие F = M = 0. Наоборот, если это условие выполнено, то дифференциальное уравнение линий кривизны (68) имеетрешение u = C1 и v = C2 , т. е. координатные линии суть линиикривизны, и мы получаем следующую теорему: необходимое и достаточное условие того, чтобы координатная сетка была сеткойлиний кривизны, заключается в том, что в двух дифференциальных формах Гаусса средние коэффициенты на всей поверхностиравны нулю, т.
е. F = M = 0.Можно определить линии кривизны и иначе, чем это сделаливыше. Рассмотрим на поверхности некоторую линию (L). Нормалик поверхности вдоль этой линии образуют семейство прямых с одним параметром, определяющим положение точки на (L), и это семейство не будет иметь огибающей, ибо вообще семейство прямых впространстве, зависящее от одного параметра, не имеет огибающей147]§ 13. Элементы теории поверхностей553[152], т.
е. не является семейством касательных к некоторой линиив пространстве. Но если выбрать (L) определенным образом, тоогибающая нормалей будет существовать. Выясним условия, прикоторых это имеет место.Положим, что линия (L) наповерхности выбрана так, чтоогибающая (L1 ) нормалей к поверхности вдоль линии (L) существует (рис. 109). Обозначаяr — радиус вектор точек кривой (L), через r1 — соответствующий радиус-вектор (L1 ) и через a — алгебраическую величину отрезка нормали к поверхности между (L) и (L1 ), мы можем, очевидно, написатьr1 = r + am,(70)Рис. 109.где, как всегда, m — единичныйвектор нормали поверхности.
Раз кривая (L1 ) есть огибающая нормалей, то вектор dr1 , направленный по касательной к ней, долженбыть параллелен вектору m, и мы можем написать dr1 = bm, где bесть некоторый скаляр. Дифференцируя формулу (70), получимbm = dr + adm + dam,то есть dr + adm = cm,(71)где c — некоторый скаляр.
Покажем, что c = 0. Для этого умножимобе части (71) скалярно на m:dr · m + adm · m = c.Вектор dr направлен по касательной к (L), т. е. перпендикулярно к m, и, следовательно, dr · m = 0. Кроме того, из равенстваm · m = 1, как всегда, вытекает dm · m = 0 и, следовательно,предыдущее равенство действительно дает c = 0, и (71) может бытьпереписано в видеdr + adm = 0.(72)554Гл. V. Основы дифференциальной геометрии[147Это формула обычно называется формулой Родрига. Мы вывели эту формулу из предположения, что нормали поверхностивдоль (L) имеют огибающую. Положим теперь, наоборот, что вдольнекоторой линии (L) на поверхности имеет место формула (72).При этом формула (70) определит некоторую кривую (L1 ). Дифференцируя эту формулу и принимая во внимание (72), получимdr1 = dam, т. е.
направления вектора m и касательной к (L1 ) параллельны. Иными словами, нормаль к поверхности вдоль (L) касается(L1 ). Итак, формула (72) дает необходимое и достаточное условиесуществования огибающей у нормалей к поверхности вдоль (L). Заметим, что огибающая может выродиться в точку, и тогда нормалиобразуют коническую (или цилиндрическую) поверхность, причемусловие (72), как можно показать, также должно быть выполнено.Напишем (72) в раскрытом видеr′u du + r′v dv + a(m′u du + m′v dv) = 0и умножим скалярно на r′u . В силу формул (421 ), (47) и (49), получимEdu + F dv + a(−Ldu − M dv) = 0,а это есть как раз равенство (62) при a = R. Совершенно так жеумножая скалярно на r′v , получим равенство (63). Нетрудно показать и наоборот, что из равенств (62) и (63), которые определяют главные радиусы кривизны и главные направления, получаетсяформула (72) при a = R.
На этом мы не останавливаемся. Таким образом условие существования огибающей нормалей (72) равносильно (62) и (63), причем a есть величина одного из главных радиусовкривизны. Предыдущие рассуждения приводят нас к следующимрезультатам: линии кривизны поверхности характеризуются темсвойством, что вдоль них нормали к поверхности имеют огибающую (или дают конус или цилиндр), причем величина отрезканормали между поверхностью и огибающей равна одному из главных радиусов кривизны.Если некоторая плоская кривая вращается вокруг оси, лежащей в ее плоскости, то линиями кривизны полученной поверхностивращения будут ее меридианы и параллели.
Действительно, вдоль148]§ 13. Элементы теории поверхностей555меридианов нормали к поверхности образуют плоскость, а вдольпараллелей — конус.148. Теорема Дюпена. Пусть в пространстве имеются три семейства взаимно перпендикулярных поверхностейϕ(x, y, z) = q1 ,ψ(x, y, z) = q2 ,ω(x, y, z) = q3 .Они образуют сетку ортогональных криволинейных координат впространстве [131]. Радиус-вектор r из начала в переменную точкупространства M характеризуется криволинейными координатамиq1 , q2 , q3 этой точки. Частные производные r′q1 , r′q2 и r′q3 дают векторы, направленные по касательным к координатным линиям, иусловия ортогональности координат можно написать в векторнойформеr′q2 · r′q3 = 0, r′q3 · r′q1 = 0, r′q1 · r′q2 = 0.(73)Дифференцируем первое из этих равенств по q1 , второе по q2 итретье по q3 :r′′q1 q2 · r′q3 + r′q2 · r′′q1 q3 = 0,r′′q2 q3 · r′q1 + r′q3 · r′′q1 q2 = 0,r′′q1 q3 · r′q2 + r′q1 · r′′q2 q3 = 0.Отсюда непосредственно получаемr′′q1 q2 · r′q3 = r′′q2 q3 · r′′q1 = r′′q3 q1 · r′q2 = 0.Сопоставим три равенстваr′q1 · r′q3 = r′q2 · r′q3 = r′′q1 q2 · r′q3 = 0.Из них следует, что векторы r′q1 , r′q2 и r′′q1 q2 перпендикулярны к одному и тому же вектору r′q3 и, следовательно, компланарны, откудаследует, что [117]r′′q1 q2 · (r′q1 × r′q2 ) = 0.(74)Рассмотрим теперь координатную поверхность q3 = C.
На нейпараметры q1 и q2 являются координатными параметрами, и координатные линии q1 = C и q2 = C суть линии пересечения взятой поверхности с двумя другими координатными поверхностями наших556Гл. V. Основы дифференциальной геометрии[149ортогональных координат в пространстве. Мы имели следующиеформулы:r′′q q · (r′q1 × r′q2 ),F = r′q1 · r′q2 , M = 1 √2EG − F 2и равенства (73) и (74) показывают, что в данном случае F = M = 0,т. е.
координатные линии q1 и q2 суть линии кривизны на поверхности q3 = const. Это приводит нас к следующей теореме Дюпена: если в пространстве имеются три семейства взаимно ортогональных поверхностей, то любые две поверхности из разных семействпересекаются по линии, которая является линией кривизны дляобеих этих поверхностей.149. Примеры. 1.
Уравнение сжатого эллипсоида вращенияy2z2x2+ 2 + 2 = 1 (a2 > c2 )2aacможет быть написано в параметрической форме в следующем виде:x = a cos u sin v,y = a sin u sin v,z = c cos v.Координатные линии u = c1 суть, очевидно, линии пересечения эллипсоида с плоскостями y = xtgc1 , проходящими через ось вращения, т. е. сутьмеридианы, а координатные линии v = c2 — параллели, получаемые отпересечения эллипсоида плоскостями z = c cos c2 , перпендикулярнымиоси вращения. Применяя формулы (42) и (50) и принимая во внимание,что x, y и z суть составляющие вектора r, получимE = a2 sin2 v,L= pF = 0,ac sin2 vcos2K=c22M = 0,N= pac.v + sin vv + c2 sin2 vРавенства F = M = 0 можно было предвидеть в силу того, что меридианы и параллели суть линии кривизны эллипсоида вращения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
