1610915346-ca3c42683bad539de2fd15cb675d150f (824739), страница 79
Текст из файла (страница 79)
е. будем определенным образом фиксировать направление нормали к поверхности.Возьмем на поверхности некоторую точку M и проведем черезэту точку какую-либо кривую (L), лежащую на поверхности. Этакривая, вообще говоря, не координатная линия, и вдоль нее будут4 Вообще, если A есть некоторый вектор, то мы будем обозначать через A2квадрат длины этого вектора, т.
е. скалярное произведение A · A.538Гл. V. Основы дифференциальной геометрии[142меняться как u, так и v. Направление касательной к этой кривойdvесли считать, что вдольбудет определяться вектором r′u + r′v du(L) в окрестности точки M параметр v есть функция от u, имеющая производную. Отсюда видно, что направление касательной ккривой, проведенной на поверхности, в какой-либо точке M этойdvв этой точке. Прикривой, вполне характеризуется величиной duопределении касательной плоскости и выводе ее уравнения (39) мысчитали, что функции (38) в рассматриваемой точке и ее окрестности имеют непрерывные частные производные и что по крайнеймере один из коэффициентов уравнения (39) отличен от нуля в рассматриваемой точке.Если d(x,y)d(u,v) 6= 0 при u = u0 , v = v0 , то то же будет иметь место и внекоторой окрестности указанных значений.
Согласно первым двумиз формул (38), эта окрестность перейдет в окрестность значенийx0 = ϕ(u0 , v0 ), y0 = ψ(u0 , v0 ) и для значений (x, y), достаточноблизких к (x0 , y0 ), первые два из уравнений (38) могут быть решеныотносительно u и v [I, 157], т. е. (u, v) могут быть выражены черезx и y. Подстановка этих выражений в третье из уравнений (38)дает в окрестности рассматриваемой точки уравнение поверхностив явной форме z = f (x, y).142. Первая дифференциальная форма Гаусса.
Рассмотрим теперь квадрат дифференциала дуги какой-нибудь кривой нанашей поверхностиds2 = dx2 + dy 2 + dz 2 =2 2 2∂x∂y∂y∂z∂z∂xdu +dv +du +dv +du +dv .=∂u∂v∂u∂v∂u∂vОткрывая скобки, будем иметь так называемую первую дифференциальную форму Гаусса:ds2 = E(u, v)du2 + 2F (u, v)dudv + G(u, v)dv 2 ,(41)142]где§ 13. Элементы теории поверхностей2 2 2 ∂y∂z∂x++,E(u, v) =∂u∂u∂u∂z ∂z∂x ∂x ∂y ∂yE(u, v) =·+·+·,∂u ∂v∂u ∂v ∂u ∂v 2 2 2 ∂y∂z∂xG(u, v) =++, ∂v∂v∂v539илиE = r′2u,F = r′u · rv ,G = r′2v .(42)(421 )Совершенно так же, как и в [131], можно показать, что равенство нулю коэффициента F является необходимым и достаточнымусловием того, чтобы координатные линии u = C1 и v = C2 быливзаимно перпендикулярны. В этом частном случае криволинейныекоординаты u, v на поверхности называются ортогональными координатами.Выведем теперь выражение для элемента площади поверхности через коэффициенты выражения (41).Рассмотрим на поверхностималую площадку, ограниРис.
106.ченную двумя парами близких координатных линий (рис. 106).Пусть (u, v) — координаты основной вершины A. Стороны AD иAB будут соответственно r′u du и r′v dv Принимая рассматриваемуюмалую площадку за параллелограмм [ср. 60], мы можем написатьвыражение площади этого параллелограмма как длины вектора,получаемого при векторном перемножении упомянутых векторов,т. е.dS = |r′u du × r′v dv| = |r′u × r′v |dudv.Имеем для квадрата длины вектора(r′u × r′v )2 =∂z ∂y∂y ∂z·−·∂u ∂v ∂u ∂v2+2∂z ∂x ∂x ∂z·−·+∂u ∂v∂u ∂v2∂x ∂y∂y ∂x+·−·,∂u ∂v∂u ∂v540Гл.
V. Основы дифференциальной геометрии[143откуда, в силу тождества (26) из [136],(r′u × r′v )2 = EG − F 2 ,(43)и для элемента площади поверхности будем окончательно иметьdS =pEG − F 2 dudv.(44)Точно так же, подставляя (43) в формулу (40), можем написатьвыражение единичного вектора нормали к поверхности в видеr′ × r′v.m= √ uEG − F 2(45)Заметим, что, в силу (43), разность EG − F 2 положительна.143. Вторая дифференциальная форма Гаусса. Рассмотрим какую-нибудь линию (L) на поверхности и пусть t — ее единичный вектор касательной.
Он, очевидно, перпендикулярен к единичному вектору нормали к поверхности, т. е. t·m = 0 Дифференцируяэто соотношение по длине дуги s кривой (L), будем иметьdmdt·m+t·=0dsdsилиdm1(n · m) + t ·= 0,ρdsгде ρ — радиус кривизны и n — единичный вектор главной нормаликривой (L). Предыдущее равенство можно переписать в видеdr dmn·m=− ·ρds dsилиdr · dmcos ϕ=−,ρds2где ϕ — угол между нормалью к поверхности и главной нормалью ккривой (L).
Выражая дифференциалы dr и dm через координатныепараметры u и v, можно написать−(r′u du + r′v dv) · (m′u du + m′v dv)cos ϕ=.ρds2(46)143]§ 13. Элементы теории поверхностей541Раскрывая в числителе скобки, получим вторую дифференциальную форму Гаусса:− (r′u du + r′v dv) · (m′u du + m′v dv) == L(u, v)du2 + 2M (u, v)dudv + N (u, v)dv 2 ,гдеL = −r′u · m′u ,11M = − (r′u · m′v ) − (r′v · m′u ),22N = −r′v · m′v , (47)и формула (46) окончательно примет видLdu2 + 2M dudv + N dv 2cos ϕ=.ρEdu2 + 2F dudv + Gdv 2(48)Укажем теперь другие выражения для коэффициентов L, M иN .
Дифференцируя очевидные соотношенияr′u · m = 0,r′v · m = 0по независимым переменным u и v, получим четыре соотношенияr′′u2 · m + r′u · m′u = 0,r′′vu · m + r′v · m′u = 0,r′′uv · m + r′u · m′v = 0,r′′v2 · m + r′v · m′v = 0,и отсюда можем, вместо формул (47), написать следующие выражения для коэффициентов второй дифференциальной формы Гаусса:L = r′′u2 · m, N = r′′v2 · m,M = r′′uv · m = −ru′ · m′v = −r′v · m′u .(49)Вспоминая выражение (45) для вектора m, можем переписатьравенства (49) в видеr′′2 · (r′u × r′v )r′′ · (r′u × r′v )√, M = uv,L = u√EG − F 2EG − F 2r′′2 · (r′u × r′v )N = v√.EG − F 2(50)542Гл. V.
Основы дифференциальной геометрии[144Рассмотрим теперь тот случай, когда уравнение поверхности дано в явном видеz = f (x, y).(51)В данном случае роль параметров играют x и y, и мы будемиметь следующие выражения для составляющих радиуса-вектораи его производных по параметрам:r(x, y, z),r′′x2 (0, 0, r),r′x (1, 0, p),r′′xy (0, 0, s),r′y (0, 1, q),r′′y2 (0, 0, t),гдеp=∂f,∂xq=∂f,∂yr=∂2f,∂x2s=∂2f,∂x∂yt=∂2f.∂y 2(52)Применяя формулы (421 ) и (50), получим выражения коэффициентов в обеих формах Гаусса:F = 1 + p2 ,F = pq, G = 1 + q 2 ,str, M= p, N= p.L= p1 + p2 + q 21 + p2 + q 21 + p2 + q 2(53)Выберем теперь координатные оси определенным образом, аименно поместим начало координат в некоторую точку A0 на поверхности, оси OX и OY возьмем в касательной плоскости к поверхности в точке A0 и ось OZ направим по нормали поверхности.
Значком нуль будем обозначать тот факт, что соответствующая величина взята в точке A0 . При сделанном выборе координатных осей косинусы углов, образованных нормалью к поверхностис осями OX и OY , будут в точке A0 равны нулю, мы получим [65]p0 = q0 = 0, и формулы (53) дадут в точке A0 :L0 = r0 ,M 0 = s0 ,N 0 = t0 .(54)144.
О кривизне линий, начерченных на поверхности.Вернемся к рассмотрению формулы (48). Ее правая часть зависит144]§ 13. Элементы теории поверхностей543dvот значений коэффициентов двух форм Гаусса и от отношения du.Последнее обстоятельство станет непосредственно ясным, если разделить числитель и знаменатель на du2 . Упомянутые коэффициенты суть функция параметров (u, v) и в заданной точке поверхностиимеют определенное численное значение. Что же касается отношеdv, то оно, как мы видели [141], характеризует направлениения duкасательной к кривой.
Мы можем поэтому утверждать, что обе части формулы (48) имеют определенное значение, если фиксироватьточку на поверхности и направление касательной к той кривой наповерхности, которую мы рассматриваем. Если же взять на поверхности в фиксированной точке две кривые, имеющие не только одинаковое направление касательных, но и одинаковое направлениеглавной нормали, то у таких кривых и угол ϕ будет одинаковым, апотому, в силу упомянутой формулы, и величина ρ окажется однойи той же, т.
е. мы имеем следующую теорему:Т е о р е м а 1. Две кривые на поверхности с одинаковой касательной и главной нормалью в некоторой точке имеют в этойточке и одинаковый радиус кривизны.Если на поверхности имеется какая угодно кривая (L) и на нейнекоторая точка M , то, проводя плоскость через касательную иглавную нормаль к этой кривой в точке M , мы получим в сеченииэтой плоскости с поверхностью плоскую кривую (L0 ), имеющую туже касательную и главную нормаль, что и заданная кривая, а потому и тот же радиус кривизны. Таким образом доказанная теоремадает возможность сводить изучение кривизны любой кривой на поверхности к изучению кривизны плоских сечений поверхности.Назовем нормальным сечением поверхности в заданной точкеM сечение поверхности какой-нибудь плоскостью, проходящей через нормаль поверхности в точке M . Мы имеем, очевидно, бесчисленное множество нормальных сечений, причем мы можем фиксировать определенное нормальное сечение, задавая определенное направление касательной в касательной плоскости к поверхности, т.
е.dv. Заметим, что главная нормаль уфиксируя величину отношения duнормального сечения или совпадает, или противоположна векторуm, так что угол ϕ равен 0 или π, и, следовательно, cos ϕ = ±1.Рассмотрим какую-нибудь кривую (L) на поверхности и на нейопределенную точку M . Назовем нормальным сечением, соответ-544Гл. V. Основы дифференциальной геометрии[144ствующим кривой (L) в точке M , то нормальное сечение в точкеM , которое имеет в этой точке общую касательную с кривой (L).Пусть ρ — радиус кривизны кривой (L) и R — радиус кривизны соответствующего нормального сечения. Так как обе кривые имеютодну и ту же касательную, то правые части в формуле (48) для ниходинаковы, и мы можем написать±1cos ϕ=,ρRт. е.
ρ = R · | cos ϕ|,(55)где ϕ — угол между главной нормалью кривой и нормалью к поверхности. Поскольку R и ρ положительны, знак в правой частинадо брать совпадающим со знаком cos ϕ. Последняя формула приводит к следующей теореме:Т е о р е м а 2 (т е о р е м а М е н ь е). Радиус кривизны любой кривой на поверхности в заданной точке равен произведению радиусакривизны соответствующего нормального сечения на абсолютноезначение косинуса угла между нормалью к поверхности в этойточке и главной нормалью к кривой.Иначе говоря, радиус кривизны любой кривой на поверхностиравен величине проекции радиуса кривизны соответствующего нормального сечения, отложенного на нормали к поверхности, на главную нормаль к этой кривой.В случае сферы нормальное сечение есть окружность большого круга, и если мы за кривую (L) возьмемкакую-либо окружность, начерченнуюна сфере, то формула (55) приводит кочевидному соотношению между радиусами двух упомянутых окружностей(рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
