1610915346-ca3c42683bad539de2fd15cb675d150f (824739), страница 75
Текст из файла (страница 75)
е. мы должныдифференцировать величину U не только непосредственно по t, но также и через посредство координат (x, y, z) точки M . Мы приходим в этомслучае к полной производной или, как иначе говорят, к субстанциональной производной:∂U∂U dx∂U dy∂U dz∂U∂U∂U∂UdU=+++=+vx +vy +vz ,dt∂t∂x dt∂y dt∂z dt∂t∂x∂y∂zчто можно переписать в следующей сжатой форме:∂UdU=+ v · gradU.dt∂t(114)Мы уже имели пример субстанциональной производной в [126], где мырассматривали полную производную по времени от плотности частицыдвижущейся неподвижной среды.Точно так же для переменного вектора A(t, M ) в движущейся средебудет иметь место формула∂A∂A∂A∂AdA=+vx +vy +vz ,dt∂t∂x∂y∂zили∂AdA=+ (vgrad)A,dt∂tгде символ (vgrad) имеет следующее значение:(vgrad) = vx(115)∂∂∂+ vy+ vz .∂x∂y∂zВ формулах (114) и (115) первое слагаемое, т.
е. частная производнаяпо времени, характеризует изменение величины в данном месте, а второеслагаемое является результатом движения самой среды.Мы установим теперь некоторые формулы для дифференцированияинтегралов по областям, связанным с движущейся средой. В данном случае зависимость величины интеграла от времени будет иметь место как132]§ 11. Теория поля507вследствие того, что подынтегральная функция зависит от t, так и потому, что область интегрирования меняется с течением времени. Мы можем здесь при вычислении производной по t считать эту двоякую зависимость от t за зависимость от двух переменных и применить правилодифференцирования сложных функций [I, 69]. Дело по существу приведется к принципу наложения бесконечно малых действий.
Производнаяот интеграла по t будет состоять из двух слагаемых: первое слагаемое,вычисленное в предположении неизменности области интегрирования,определяется простым дифференцированием по t под знаком интеграла[83], а второе слагаемое учитывает лишь эффект от изменения самой области интегрирования, и при его вычислении подынтегральная функциясчитается неизменной с течением времени.Переходим к рассмотрению ряда случаев.1. Пусть (v) — некоторый переменный объем и U (t, M ) — скалярнаяфункция.
Установим формулу для производнойZZZdU dv.dt(v)Каждый элемент dS поверхности (S), ограничивающей область (v),за промежуток времени dt опишет объем dtvn dS, где (n) — направлениевнешней нормали к поверхности (S) [126].Деля на dt и добавляя слагаемое, происшедшее от изменения подынтегральной функции, получим выражение производной интеграла в видеZZZZZZZZd∂Udv +U dv =U vn dS,dt∂t(v)(v)(S)откуда, применяя формулу Остроградского, будем иметьZZZZZZ ∂Ud+ div(U v) dv.U dv =dt∂t(v)(116)(v)его выражением черезЗаменяя ∂U∂tясь формулой (571 ) [124]dUdtсогласно формуле (114) и пользу-div(U v) = U divv + v · gradU,можем переписать формулу (116) в видеZZZZZZ ddU+ U divv dv.U dv =dtdt(v)(v)(117)508Гл.
IV. Векторный анализ и теория поля[1322. Рассмотрим теперь производную от потока переменного вектораполя A(t, M ) через движущуюся поверхность (S):ZZdAn dS.dt(S)Здесь (S) — некоторая поверхность, связанная с движущейся средой,и (n) — определенное направление нормали к (S). Одним из слагаемых вискомом выражении производной будетZZ∂AndS.(118)∂t(S)Определим теперь второе слагаемое, происходящее от движения самойповерхности (S). Пусть (l) — контур этой поверхности и ds — направленный элемент этого контура, причем в дальнейшем мы определим направление контура (l) (рис. 94). За промежуток времени dt поверхность (S)опишет объем (δV ), ограниченный тремя поверхностями: положением (St ) поверхности(S) в момент t, положением (St+dt ) поверхности (S) в момент t + dt и поверхностью (S ′ ),описанной контуром (l) за промежуток времени dt. Элемент площади поверхности (S ′ )будетdS ′ = |ds × v|dt.Пусть (n) — направление нормали на (St )и (St+dt ), взятое в одну и ту же сторону, аименно положим, что на (St+dt ) оно направРис.
94.лено вовне объема (δV ). Обозначим такжечерез (n) направление нормали к (S ′ ), внешней для (δV ), и придадим(l) такое направление, чтобы ds, v и (n) на (S ′ ) имели ту же ориентировку, что и координатные оси. При этом очевидноAn dS ′ = A · (ds × v)dt,так что формула Остроградского дает намZZZZZZZZAn dS −An dS + dt A · (ds × v) =divAdv.(St+dt )(St )(l)(δV )(119)132]§ 11. Теория поля509Знак (—) перед интегралом по (St ) поставлен в силу того, что на (St )нормаль (n) направлена внутрь (δV ). Но, как известно [117],A · (ds × v) = ds · (v × A) = (v × A)s ds,где (v × A)s — проекции v × A на направление ds, и, следовательно, поформуле СтоксаZZZZA × (ds × v) = (v × A)s ds =rotn (v × A)dS.(l)(l)(St )Разбивая объем (δV ) на элементарные объемы dv = vn dSdt, где dS —элемент площади поверхности (St ), мы получим из формулы (119):ZZZZZZAn dS −An dS = dt[vn divA − rotn (v × A)]dS.(St+dt )(St )(St )Деля обе части на dt и переходя к пределу, мы будем иметь то слагаемое в выражении производной, которое происходит от движения поверхности (S).
Прибавляя еще слагаемое (118), получим окончательноZZZZ ∂AndAn dS =+ vn divA + rotn (A × v) dS.(120)dt∂t(S)(S)Если (S) есть замкнутая поверхность, то в выражении производнойбудет отсутствовать член, содержащий rotn (A × v), и соответствующаяэтому случаю формула непосредственно вытекает из (116). Действительно, пусть (v) — переменный объем, ограниченный замкнутой поверхностью (S).
Пользуясь формулой Остроградского и (116), получимddtZZAn dS =(S)=ddiZZZZZZ(v)(v)divAdv =ZZZ (v)∂divA + div(vdivA) dv =∂tZZ ∂An∂A+ vdivA dv =+ vn divA dS.div∂t∂t(S)3. Рассмотрим теперь производную от циркуляции переменного вектора по движущейся кривойZdAs ds.dt(l)510Гл. IV. Векторный анализ и теория поляОдним из слагаемых в искомом выражении, как всегда, будетZ∂Asds.∂t[132(121)(l)Определим теперь добавочное слагаемое, происходящее от движения самой кривой.
За промежуток времени dt кривая (l) опишет поверхность(δS), ограниченную четырьмя линиями (рис. 95): кривой A1 A2 , котораяявляется положением (lt ) линии (l) в момент времени t; кривой B1 B2которая дает положение (lt+dt ) линии в момент t + dt; наконец, кривымиA1 B1 и A2 B2 , которые опишут концы A1 и A2 кривой (l) за промежутоквремени dt. Формула Стокса даетZZZZZZAs ds +As ds −As ds +As ds =rotn AdS, (122)(lt )(A2 B2 )(lt+dt )(B1 A1 )(δS)причем интегрирование по (lt ) и (lt+dt ) производится в направлении отA1 и B1 к A2 и B2 , и (n) — направление нормали к (δS) такое, что на (lt )векторы ds, v и (n) имеют ту же ориентировку, что и оси.
Интегралыпо малым кривым (A2 B2 ) и (B1 A1 ) можно заменить одним элементом,т. е. произведением величины подынтегральной функции на длину путиинтегрирования. Мы получим для них скалярные произведения вектораA на малое перемещение vdt:A(2) · v(2) dtи− A(1) · v(1) dt,где знак (—) поставлен ввиду того, что по кривой B1 A1 интегрированиепроизводится от B1 к A1 , т.
е. противоположно v, и значки наверху показывают, что значение соответствующих величин надо брать в точкахA1 и A2 .Элемент площади поверхности dS будетdS = |ds × v|dt,и нормаль (n) к поверхности будет иметь направление вектора ds × v,так что, очевидноrotn Ads = (ds × v) · rotAdt = (v × rotA) · dsdt,и формула (122) даетZZZAs ds − As ds = A(2) · v(2) dt − A(1) · v(1) dt + dt (rotA × v)s ds.lt+dtlt(lt )132]§ 11. Теория поля511Деля обе части на dt, переходя к пределу и добавляя слагаемое (121),получим искомое выражение для производной, причем вместо (lt ) мыпишем просто (l):ZZ d∂AsAs ds = A(2) ×v(2) −A(1) ·A(1) ·v(1) ++(rotA×v)s ds. (123)dt∂t(l)(l)Если кривая (l) замкнутая, то внеинтегральные слагаемые пропадут,и мы получимZZ ∂AsdAs ds =+ (rotA × v)s ds.(124)dt∂t(l)(l)Эту формулу можно просто вывести, преобразуя криволинейный интеграл по формуле Стокса и применяя затем формулу (120).Рассмотрим еще циркуляцию скорости вдоль некоторого движущегося контура (l). Согласно формуле (123),ddtZvs ds = v(2) · v(2) − v(1) · v(1) +(l)Z (l)= |v(2) 2| − |v(1) 2| +∂vs+ (rotv × v)s ds =∂tZ (l)∂vs+ (rotv × v)s ds.∂t(125)Составляющая вектора rotv × v по оси OX будет∂vy∂vz∂vx∂vx−vz −−vy .(rotv × v)x =∂z∂x∂x∂yРаскрывая скобки и прибавляя и вычитая∂vx∂vx∂vxvx +vy +vz −(rotv × v)x =∂x∂y∂z∂vxv ,∂x xможем написать:∂vx∂vy∂vzvx +vy +vz ,∂x∂x∂xи, пользуясь (115), нетрудно получить отсюдаrotv × v =∂v11dv∂v−− grad|v|2 = w −− grad|v|2 ,dt∂t2∂t2где w — вектор ускорения.
Подставляя в (125), будем иметь512ddtГл. IV. Векторный анализ и теория поляZvs ds = |v(2) |2 − |v(1) |2 +(l)Z ws −(l)=1grads |v|2 ds =21 (2) 2[|v | − |v(1) |2 ] +2Z(l)ибо, очевидно,Z(l)[132grads |v|2 ds = |v(2) |2 − |v(1) |2 .ws ds,(126)ГЛАВА VОСНОВЫДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ§ 12. КРИВЫЕ НА ПЛОСКОСТИИ В ПРОСТРАНСТВЕ133. Плоская кривая, ее кривизна и эволюта. В настоящей главе мы дадим основы теории кривых и поверхностей, причемначнем с исследования плоских кривых, затем перейдем к кривымв пространстве и к поверхностям.
При изложении мы будем пользоваться векторами, так что читателю необходимо твердо помнитьсодержание первых номеров предыдущей главы включительно до[119], содержащего вопрос о дифференцировании вектора. Начнемс доказательства леммы:Л е м м а. Если A есть вектор длины единицы (единичный вектор), зависящий от скалярного параметра t, то dAdt · A = 0 то естьdA⊥A.dtДействительно, по условию леммы A · A = 1, и, дифференцируяэто равенство по t, получимdAdA·A+A·= 0,dtdtили, в силу независимости скалярного произведения от порядкамножителейdAdA· A = 0, т. е.⊥ A,dtdt514Гл. V. Основы дифференциальной геометрии[133причем условие dAdt ⊥ A имеет очевидно смысл лишь в том случае,dAесли вектор dt отличен от нуля.Здесь и в дальнейшем мы всегда предполагаем существованиеи непрерывность тех производных, о которых говорится в тексте.Пусть на плоскости имеется некоторая кривая (L) и скалярныйпараметр t определяет положение переменной точки M на этой кривой.
Мы можем охарактеризовать нашу кривую радиусом-векторомr(t) из некоторой постоянной точки O в переменную точку кривой (рис. 96). Как мы видели [119], производная drdt дает вектор,направленный по касательной к кривой, а если за параметр принять длину дуги s кривой, отсчитываемую от определенной точкиdrдаст едикривой в определенном направлении, то производная dsничный вектор касательной t, направление которого совпадает снаправлением увеличения параметра s вдоль кривой:dr= t.(1)dsПроизводная от единичного вектора-касательной по s называется вектором кривизны:N=Рис.
96.dt.ds(2)Рис. 97.Длина этого вектора характеризует быстроту изменения направления вектора t и называется кривизной кривой.133]§ 12. Кривые на плоскости и в пространстве515В силу доказанной леммы вектор кривизны перпендикуляренкасательной, т. е. направлен по нормали.Кроме того из его определения непосредственно следует, чтоон направлен в сторону вогнутости кривой, так как в эту сторонунаправлена разность t(s + ∆s) − t(s) при ∆s > 0 (рис.
97).Длина вектора N, как мы уже указали, называется кривизнойкривой, и если ввести обозначение|N| =1ρ(3)то величина ρ, обратная кривизне, называется радиусом кривизны.Введем в рассмотрение единичный вектор кривизны n, то есть вектор длины единица, по направлению совпадающий с N.Если длина |N| = 0, то надо считать ρ = ∞, и вектор n не определен.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
