1610915346-ca3c42683bad539de2fd15cb675d150f (824739), страница 73
Текст из файла (страница 73)
IV. Векторный анализ и теория поля[129Если внешние силы отсутствуют, то уравнение (79) будет∂2s= a2 ∆s∂t2a=re.ρ0(80)Последнее уравнение называется обычно волновым уравнением. Вспоминая, что величина s характеризует величину сгущения или разрежения,мы можем сказать, что в нашем случае это уравнение дает закон распространения звука. Те части пространства, где divF отлична от нуля,будут источниками звука.129. Уравнение теплопроводности. В [120] мы видели, что количество тепла, проходящее за время dt через элемент поверхности dS,принимается равным ∂U = kdtdS gradn U (M ),dQ = kdtdS ∂nгде k — коэффициент внутренней теплопроводности, U — температура и(n) — направление, нормальное к dS.
Рассмотрим замкнутую поверхность (S), ограничивающую объем (v), и подсчитаем полное количествотепла, проходящее через (S). Нетрудно видеть, что мы получимZZdQ = −dtkgradn U dS.(81)(S)При этом, если в направлении внешней нормали (n) температура убыва< 0, и соответствующий элемент интеграла будет отрицательет, то ∂U∂nным, а при возрастании температуры картина будет обратная. Принимаяво внимание, что тепло течет в направлении убывания температуры изнак (—) в правой части (81), может утверждать, что Q есть количествотепла, отдаваемого объемом (v) за промежуток времени dt.
Втекающеев (v) тепло будет подсчитываться формулой (81) со знаком (—).То же количество отдаваемого тепла можно подсчитать иначе, следяза изменением температуры внутри объема. Рассмотрим элемент объемаdv. На увеличение температуры этого элемента на dU за промежутоквремени dt нужно затратить количество тепла, пропорциональное повышению температуры и массе элемента, т.
е. количество тепла:γdU · ρdv = γρ∂Udtdv,∂t129]§ 11. Теория поля493где ρ — плотность вещества, γ — коэффициент пропорциональности, который называется теплоемкостью вещества. Таким образом отдаваемоевсем объемом тепло выразится по формулеZZZ∂Udv,dQ = −dtγρ∂t(v)причем знак (—) мы ставили потому, что подсчитывается отдаваемое, ане получаемое тепло.Приравнивая полученные два выражения для dQ и применяя формулу (37) из [121], будем иметьZZZZZZ∂Udv =div(kgradU )dv,(82)γρ∂t(v)(v)т. е. при произвольном объеме должно иметь место соотношениеZZZ ∂U− div(kgradU ) dv = 0,γρ∂t(v)откуда мы получим дифференциальное уравнение теплопроводности∂U= div(kgradU )(83)∂tили∂∂U∂∂U∂∂U∂U=k+k+k.(831 )γρ∂t∂x∂x∂y∂y∂z∂zЭто уравнение должно выполняться во всех точках внутри рассматриваемого тела.
Температура U зависит от координат точки и времени.Если тело не только изотропно [120], но и однородно, то γ, ρ и k —постоянные, и уравнение (83) можно переписать в видеs k∂U2= a ∆Ua=(84)∂tγργρили 2∂ U∂2U∂2U∂U= a2++.(841 )∂t∂x2∂y 2∂z 2Если тепловое явление стационарно, т. е. температура не зависит отвремени t, а только от координат (x, y, z), то уравнение (84) перепишетсяв виде∂U∂2U∂2U++= 0.(85)∆U = 0, т. е.22∂x∂y∂z 2494Гл. IV. Векторный анализ и теория поля[130Мы получили таким образом для температуры в стационарном тепловомпроцессе уравнение Лапласа, которое мы уже встречали выше.При выводе уравнения теплопроводности (83) мы предполагали, чтов рассматриваемом теле отсутствуют источники тепла.
В противном случае мы должны были бы вместо равенства (82) написать другое равенство, а именноZZZZZZZZZ∂Udv =div(kgradU )dv +edv,γρ∂t(v)(v)(v)где последнее слагаемое в правой части представляет количество тепла,выделяемого в объеме (v), причем это количество тепла рассчитано наединицу времени.Подынтегральная функция e(t, M ) дает напряженность источниковтепла, непрерывно распределенных в объеме (v), и эта функция можетзависеть как от времени, так и от положения точки M . Вместо дифференциального уравнения теплопроводности (83) мы получили бы уравнение вида∂U= div(kgradU ) + eγρ(86)∂tили, в случае однородного тела, вместо уравнения (84) мы имели бы1∂U= a2 ∆U +e.∂tγρ(87)Уравнения (87) и (84) аналогичны уравнениям (79) и (80) из [128].
Наличие источников тепла в уравнениях теплопроводности аналогично наличию внешних сил или, точнее говоря, источников звука — divF в уравнениях распространения звука. Как то, так и другое обстоятельства делают дифференциальное уравнение неоднородным, т. е. уравнения (79)и (87), кроме членов, содержащих искомую функцию s или U , содержатеще и свободные члены — divF или e, которые надо считать заданными функциями. Обратим внимание и на существенную разницу междууравнениями (80) и (84).
Первое из них содержит вторую производную отискомой функции по времени, тогда как второе содержит первую производную по времени. Это обстоятельство существенным образом скажетсяпри интегрировании этих уравнений.130. Уравнение Максвелла. При рассмотрении электромагнитного поля вводятся следующие векторы: E и H — векторы электрическойи магнитной сил; r — вектор полного тока; D — вектор электрического130]§ 11. Теория поля495смещения; B — вектор магнитной индукции.
Два основных закона электродинамики, являющихся обобщением законов Био-Савара и Фарадея,могут быть написаны в видеZZZ1rn dS,Hs ds =(88)c(S)(l)ZZZ1 dEs ds = −c dtBn dS,(89)(S)(l)где c — скорость света в пустоте.Первое из уравнений связывает циркуляцию вектора магнитной силывдоль контура некоторой поверхности с потоком вектора полного токачерез самую поверхность. Второе уравнение связывает циркуляцию вектора электрической силы с производной по времени от потока магнитнойиндукции через поверхность.
В написанных уравнениях (l) — произвольный замкнутый контур и (S) — поверхность, им ограниченная. Кроме того, в покоящейся однородной среде векторы D и B связаны с векторамиE и H:D = εE, B = µH,где ε и µ — постоянные, называемые диэлектрической постоянной и магнитной проницаемостью среды. Вектор полного тока состоит из двухслагаемых — тока проводимости и тока смещения:r = λE + ε∂E,∂tгде λ — коэффициент проводимости среды.
Таким образом окончательноуравнения (88), (89) принимают видZZ Z1∂EndS,λEn + εHs ds =(901 )c∂t(S)(l)Z1 dEs ds = −c dtZZµHn dS.(902 )(S)(l)Интегралы, стоящие в левых частях этих равенств, могут быть поформуле Стокса преобразованы в интегралы по поверхности:ZZZZrotn HdS иrotn EdS,(S)(S)496Гл. IV. Векторный анализ и теория поля[130так что из уравнения переписываются в видеZZ ∂Encrotn H − λEn + εdS = 0.∂t(S)ZZ (S)∂HndS = 0.crotn E + µ∂tВвиду произвольности поверхности (S), а следовательно, и направлениянормали (n), из последних уравнений вытекает∂E,∂t∂H.crotE = −µ∂tcrotH = λE + ε(911 )(912 )Эти уравнения и представляют собой уравнения Максвелла в дифференциальной форме.
Мы имеем здесь шесть дифференциальных уравнений,содержащих шесть составляющихEx , Ey , Ez , Hx , Hy , Hz .Непосредственным следствием уравнений (911 ) и (912 ) в рассматриваемом случае является соленоидальность векторовλE + ε∂E∂tи∂H,∂tибо их расходимость равна, в силу (911 ) и (912 ),cdiv rotHиcdiv rotEи, следовательно, обращается в нуль [124].Но можно доказать еще и то, что сами векторы E и H соленоидальныв некоторой части пространства, если они были там таковыми в начальный момент времени.Прежде чем переходить к доказательству этого утверждения, введемдве величиныdivεE = ρe = ρ, divµH = ρm ,(92)которые называются плотностями электрического и магнитного заряда.Из уравненияλ∂∂E= divεE + div(εE) = 0div λE + ε∂tε∂t130]§ 11. Теория поля497следуетλ∂ρρ+= 0,ε∂tи, интегрируя это линейное уравнение первого порядка, получим [6]λρ = ρ0 e− ε t,где ρ0 есть значение ρ при t = 0.
Стало быть, если в начальный моментвремени мы имели ρ0 = 0, т. е.divE0 = 0,то и при всяком t будет ρ = 0, т. е.divE = 0.Точно так же из уравнения (912 ) следуетdiv∂∂H=divH = 0,∂t∂tи если divH0 = 0, то divH = 0 при всяком t.Последнее уравнение равносильно условию равенства нулю магнитного заряда, что обычно и допускается.Из уравнений Максвелла можно вывести другие уравнения, в которые каждый из векторов E и H входит отдельно.
Производя операциюrot над обеими частями уравнения (912 ), мы имеем−crot rotE = µ∂rotH∂tили, в силу формулы (571 ) и уравнения (911 ),∂Eµ ∂+ λE ,εc(∆E − grad divE) =c ∂t∂tоткуда окончательноλ ∂Ec2∂2E+=(∆E − grad divE).2∂tε ∂tεµ(93)Совершенно такое же уравнение получается и для вектора H.При отсутствии электрических зарядов, т. е. в случае divE = 0, уравнение (93) перепишется в видеλ ∂Ec2∂2E+=∆E.2∂tε ∂tεµ(94)498Гл. IV. Векторный анализ и теория поля[131Это уравнение называется обычно телеграфным уравнением, так как онобыло получено впервые при изучении распространения тока по кабелюНаконец, если мы имеем дело с совершенным диэлектриком, т. е.
непроводящей средой, то λ = 0, и уравнение (94) будет:c∂2E2=a∆Ea=.(95)√∂t2εµС уравнением такого вида мы уже встречались в [128].Если процесс стационарен, т. е. векторы E и H не зависят от t, тоуравнение (912 ) дает rotE = 0, т. е. E есть потенциальный вектор: E =gradϕ, и первое из уравнений (92) даетdiv gradϕ =ρεили∆ϕ =ρ.ε(96)В тех местах, где ρ = 0, т.
е. где электрические заряды отсутствуют,получим для потенциала ϕ уравнение Лапласа ∆ϕ = 0.131. Выражение оператора Лапласа в ортогональныхкоординатах. В [63] мы вводили в рассмотрение любые криволинейные координаты в пространстве. Теперь мы рассмотрим одинчастный случай таких координат, а именно тот, когда элементарныйобъем, который, как мы упоминали в [63], представляется в видепараллелепипеда, будет прямоугольным параллелепипедом. Этотслучай ортогональных криволинейных координат представляетсянаиболее важным и чаще всего встречается в приложении.Пусть вместо декартовых координат x, y, z вводятся три новыепеременныеq1 = ϕ(x, y, z),q2 = ψ(x, y, z),q3 = ω(x, y, z),(97)или в форме, решенной относительно x, y, z,x = ϕ1 (q1 , q2 , q3 ),y = ϕ2 (q1 , q2 , q3 ),z = ϕ3 (q1 , q2 , q3 ).(98)Мы считаем, что все указанные функции непрерывны и имеютнепрерывные частные производные первого порядка.Придавая новым переменным q1 , q2 и q3 постоянные значения A,B, C, получим три семейства координатных поверхностей.
Уравнения этих новых координатных поверхностей в координатах x, y, z131]§ 11. Теория поля499будут:ϕ(x, y, z) = A(I),ψ(x, y, z) = B(II),ω(x, y, z) = C(III).(99)Возьмем две какие-либо координатные поверхности из разных семейств, например, из семейств (II) и (III). Они пересекаются вдольнекоторой линии, уравнение которой будетψ(x, y, z) = B,ω(x, y, z) = C,где B и C — определенные постоянные. Вдоль этой линии меняетсятолько переменная q1 , и эту линию можно назвать координатнойлинией q1 . Аналогичным образом получаются координатные линииq2 и q3 .Вычислим квадрат элемента длины в новых координатах:2∂ϕ1∂ϕ1∂ϕ1dq1 +dq2 +dq3 +ds = dx + dy + dz =∂q1∂q2∂q32 2∂ψ1∂ψ1∂ω1∂ω1∂ω1∂ψ1dq1 +dq2 +dq3 +dq1 +dq2 +dq3 .+∂q1∂q2∂q3∂q1∂q2∂q3(100)2222Раскрывая скобки, получим однородный полином второй степени относительно dq1 , dq2 , dq3 . Выясним условия, при которых этот полином не будет содержать членов с произведениями различных дифференциалов dq.Рассмотрим, например, в выражении (100) слагаемое, содержащеепроизведение dq1 dq2 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
