1610915346-ca3c42683bad539de2fd15cb675d150f (824739), страница 69
Текст из файла (страница 69)
IV. Векторный анализ и теория поля[119Разложим вектор A(τ ) по трем основным векторам i, j, k:A(τ ) = Ax (τ )i + Ay (τ )j + Az (τ )k.Определение (22) даст тогдаdAx (τ )dAy (τ )dAz (τ )dA(τ )=i+j+kdτdτdτdτ(23)dm Ax (τ )dm Ay (τ )dm Az (τ )dm A(τ )=i+j+k,dτ mdτ mdτ mdτ m(231 )и вообщет.
е. дифференцирование вектора сводится к дифференцированиюслагающих этого вектора.Известное правило дифференцирования произведения обобщается на случай произведения скаляра на вектор, а также и на случай скалярного и векторного произведений, так что имеют местоформулы:df (τ )dA(τ )d{f (τ )A(τ )} =A(τ ) + f (τ ),dτdτdτ(24)dA(τ )dB(τ )dA(τ ) · B(τ ) =· B(τ ) + A(τ ) ·,dτdτdτ(241 )dA(τ )dB(τ )dA(τ ) =× B(τ ) + A(τ ) ×,(242 )dτdτdτгде f (τ ) — скаляр, A(τ ) и B(τ ) — векторы, зависящие от τ .
Проверим, например, формулу (241 ). Левая ее часть представляется ввидеd{Ax (τ )Bx (τ ) + Ay (τ )By (τ ) + Az (τ )Bz (τ )} =dτdAy (τ )dAx (τ )dBx (τ )dAx (τ )Bx (τ ) +By (τ ) +Bz (τ ) + Ax (τ )+=dτdτdτdτdBy (τ )dBz (τ )+ Ay (τ )+ Az (τ ).dτdτ120]§ 11. Теория поля465Тот же результат получим, как нетрудно видеть, и для правойчасти.
Считается, конечно, что производные, о которых идет речь,существуют. В формулах (24), (241 ), (242 ) из существования производных от сомножителей вытекает существование производных иу произведения [ср. I, 47]. Совершенно элементарно доказываетсяобычное правило дифференцирования суммы векторов. Если точка M движется по некоторой кривой (L), то радиус-вектор r этойточки есть функция времени t. Дифференцируя радиус-вектор поt, получим вектор скорости движущейся точки:v=ds drdr=· .dtdt ds(25)Длина этого вектора будет равна производной от пути s по времениt, а направление будет касательно кривой (L). Полученный векторскорости также зависит от времени и, дифференцируя его, получимвектор ускорения w = dvdt .Если мы примем за независимую переменную длину кривойs, то производная от r по s будет представляться единичнымdrт.
е. вектором длины единица, навектором касательной t = dsправленнымпокасательной.Действительно,в [I, 70] мы имели√∆x2 +∆y 2∆s→ 1, т. е. отношение длины хорды к длине соответствующей дуги и стремится к единице. То же справедливо, очевидно, идля кривых в пространстве [I, 160]. Из этого факта и определения(22) при τ = s непосредственно вытекает, что длина упомянутоговыше вектора касательной действительно равна единице.120.
Скалярное поле и его градиент. Если некоторая физическая величина имеет определенное значение в каждой точке пространства или части пространства, то таким путем определяетсяполе этой величины. Если данная величина есть скаляр (температура, давление, электростатический потенциал), то и поле ее называется скалярным. Если же данная величина есть вектор (скорость,сила), то поле, ею определяемое, называется векторным [112].Начнем с исследования скалярного поля. Для задания такогополя достаточно определить функцию точки U (M ) = U (x, y, z).Так, например, нагретое тело дает скалярное поле температуры.466Гл.
IV. Векторный анализ и теория поля[120В каждой точке M тела температура U (M ) имеет определенноезначение, которое может меняться от точки к точке.Возьмем определенную точку и проведем через нее прямую,причем придадим этой прямой определенное направление (l)(рис. 88). Рассмотрим значение функции U (M ) в самой точке Mи близкой к ней точке M1 на взятой прямой (l).
Предел отношенияU (M1 ) − U (M ),MM1если он существует, называется производной от функции U (M ) понаправлению (l) и обозначается так:∂U (M )U (M1 ) − U (M )= lim.M1 →M∂lMM1(26)Эта производная характеризует быстроту изменения функцииU (M ) в точке M в направлении (l). Отметим, что число M M 1может быть как положительным, таки отрицательным. Если направление отM и M1 совпадает с направлением (l),то это число положительно. При замененаправления (l) противоположным (l′ )число M M 1 меняет знак, и производнаяпо направлению (l′ ) лишь знаком отличается от производной по направлениюРис.
88.(l). Будем считать, что в каждой точкеM некоторой области ω функция f (M ) имеет производную по любому направлению и что производная по любому фиксированномунаправлению (l) есть непрерывная функция точки M в ω. Дальнейшие рассуждения будут относиться к упомянутой области.Как мы видим, функция U (M ) имеет в каждой точке бесчисленное множество производных, но нетрудно показать, что производная по любому направлению выражается через производные потрем взаимно перпендикулярным направлениям X, Y , Z по формуле∂U (M )∂U (M )∂U (M )∂U (M )=cos(l, X) +cos(l, Y ) +cos(l, Z).∂l∂x∂y∂z(27)120]§ 11.
Теория поля467Заметим прежде всего, что при составлении производной (26) мымогли бы проводить через точку M не прямую, а какую-нибудьнаправленную кривую (L) (рис. 88). Вместо формулы (26) нам надобыло бы рассматривать пределlimM1 →MU (M1 ) − U (M ).` M M1Этот предел есть очевидно не что иное, как производная отфункции U (M ) по длине дуги s взятой кривой (L), и, пользуясьправилом дифференцирования сложных функций, мы можем написать∂U (M ) dx ∂U (M ) dy ∂U (M ) dzU (M1 ) − U (M )·+·+· .=M1 →M` M M1∂xds∂yds∂zds(28)dy dzНо, как известно [I, 160], dxds , ds , ds суть направляющие косинусыкасательной к линии (L) в точке M , и в случае, когда (L) есть прямая, мы и получаем как раз формулу (27).
Кроме того, формула(28) показывает, что производная по кривой совпадает с производной по направлению (m), касательному к кривой в точке M .Введем теперь в рассмотрение поверхности уровня нашего скалярного поля. Эти поверхности характеризуются тем условием, чтово всех точках такой поверхности функция U (M ) сохраняет однои то же постоянное значение C. Придавая этой постоянной различные численные значения, получим семействоповерхностей уровня U (M ) = C. Будем считать, что через каждую точку M некоторой области ω проходитгладкая поверхность уровня.
Для случая нагретого тела поверхности уровня суть поверхности равной темпеРис. 89.ратуры. Пусть (S) есть поверхностьуровня, проходящая через точку M (рис. 89). Введем в этой точке три взаимно перпендикулярных направления: направление (n),нормальное к поверхности S, и два направления (t1 ) и (t2 ), лежащих в касательной плоскости. Направления (t1 ) и (t2 ) являютсяlim468Гл.
IV. Векторный анализ и теория поля[120касательными к некоторым кривым (L1 ) и (L2 ), лежащим на поверхности уровня. Вдоль этих кривых функция U (M ) сохраняетпостоянное значение, а потому∂U (M )∂U (M )== 0.∂t1∂t2(29)Возьмем теперь любое направление (l). Применяя формулу (27) ктрем взаимно перпендикулярным направлениям (n), (t1 ) и (t2 ) ипринимая во внимание (29), будем иметь∂U (M )∂U (M )=cos(l, n).dl∂n(30)с учеЕсли мы отложим на направлении (n) вектор, равный ∂U(M)∂n∂U(M)том знака ∂n , то, согласно (30), проекция этого вектора на любое направление (l) дает производную ∂U(M)∂l .Построенный по вышеуказанному правилу вектор называетсяградиентом функции U (M ), т. е. градиентом скалярного поля называется векторное поле, построенное по следующему правилу: вкаждой точке вектор направлен по нормали к соответствующей поверхности уровня, а по алгебраической величине равен производнойот функции U (M ) по направлению упомянутой нормали.
Градиентскалярного поля U (M ) обозначается символом grad U (M ), и формула (30) может быть записана в виде∂U (M )= gradl U (M ),(31)∂lгде gradl U (M ) есть проекция вектора gradU (M ) на направление (l).Нетрудно видеть, что выбор направления нормали (n) к поверхности уровня (S) не влияет на направление gradU (M ).
Этот векторвсегда направлен в ту сторону нормали к (S), куда функция U (M )возрастает∗ .Отнесем пространство к декартовой системе координат XY Z.Вместо U (M ) можем писать U (x, y, z), и величины проекций вектора gradU (x, y, z) на указанные оси равны частным производнымфункции U (x, y, z) по x, y, z.∗ Из определения градиента следует, что он поправлен в сторону наибыстрейшего возрастания функции.120]§ 11. Теория поля469Упомянутое выше определение градиента с помощью поверхностей уровня может оказаться неприменимым, например, в такихточках, где поверхность уровня вырождается в точку или линию,а также если эта поверхность не имеет определенной касательнойплоскости.
Рассмотрим три функции: U1 = x2 +y 2 +z 2 , U2 = x2 +y 2 ,U3 = x2 + y 2 − 4xy. В точке (0, 0, 0) поверхность уровня U1 вырождается в точку, U2 — в линию (ось OZ), а уравнение x2 +y 2 −4xy = 0есть совокупность двух плоскостей, проходящих через ось OZ, и вточках этой оси указанная поверхность уровня не имеет определенной касательной плоскости. Для всех трех функций частные производные первого порядка равны нулю в точке (0, 0, 0), и в этихточках градиент указанных функций надо считать равным нулю(нулевой вектор).Примеры. 1.
Поле тяготения, которые мы рассматривали в [90], приводит к скалярному полю потенциала тяготенияZZZµ(M1 )dv,U (M ) =r(v)где µ(M1 ) есть плотность материи, занимающей объем (v), и r — расстояние точки M до переменной точки M1 интегрирования. Мы имелиследующие выражения для слагающих силы тяготения:Fx =∂U (M ),∂xFy =∂U (M ),∂yFz =∂U (M ),∂zгде Fx , Fy , Fz — составляющие вектора силы F. Отсюда непосредственно(M )т. е. векторное поле силы тяготенияследует, что вообще Fl = ∂U∂lесть градиент потенциала U (M ).
Работа силы тяготения выражаетсяформулойZ (B)Z (B)Fx dx + Fy dy + Fz dz =dU (M ) = U (B) − U (A),(A)(A)т. е. работа эта выражается разностью потенциала в точках A и B.Последним свойством обладает, очевидно, всякое консервативное силовое поле, т. е. такое поле, для которого F = grad U(M). Часто потенциалом называют не самую функцию U (M ), а −U (M ).2. Если различные точки тела имеют различную температуру U (M ),то в поле будет происходить движение тепла от более нагретых частей470Гл. IV. Векторный анализ и теория поля[121к менее нагретым.
Возьмем какую-нибудь поверхность и на ней малыйэлемент ds около точки M . В теории теплопроводности принимается,что количество тепла ∆Q, проходящего через элемент ds за время dt,(M ),пропорционально dt dS и нормальной производной температуры ∂U∂nт. е. ∂U (M ) ,(32)∆Q = kdtdS ∂n где k — коэффициент пропорциональности, который называется коэффициентом внутренней теплопроводности, а (n) — направление нормали кdS.Построим вектор — k gradU (M ), который называется вектором потока тепла; знак (—) мы ставим в силу того, что тепло течет от болеевысоких температур к более низким, а вектор gradU(M ) направлен понормали к поверхности уровня в сторону возрастания функции U (M ).
Всилу формулы (32) можно сказать, что количество тепла ∆Q, проходящее за время dt через элемент dS, будет∆Q = kdtdS|gradn U (M )|.(33)Отметим, что мы рассматриваем изотропное тело. Если оно однородно,то k — постоянная. При неоднородности тела k — функция точки.121. Векторное поле; расходимость и вихрь. Обратимсятеперь к рассмотрению векторного поля A(M ). В каждой точкеM той части пространства, где поле задано, A(M ) есть определенный вектор. Например, при течении жидкости в каждый заданный момент времени мы имеемвекторное поле скоростей v(M ).Векторной линией поля называется такая кривая (L), в каждой точке которой касательнаяимеет направление вектора A(M )(рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
