1610915346-ca3c42683bad539de2fd15cb675d150f (824739), страница 65
Текст из файла (страница 65)
Этонепосредственно следует из неравенствqqqf12 + f22 6 |f1 | + |f2 |.|f1 | 6 f12 + f22 , |f2 | 6 f12 + f22 ,109]§ 9. Мера и теория интегрирования437109. Предельный переход под знаком интеграла. Приведем простые по форме и важные для приложений теоремы о предельном переходе под знаком интеграла.Т е о р е м а∗ 1. Пусть fn (x) (n = 1, 2, . . .) — бесконечная последовательность функций, суммируемых на E, причем для всякогоn имеется почти везде на E оценка|fn (x)| 6 F (x)наE,(80)где F (x) суммируема на E, и fn (x) → f (x) почти везде на E. Приэтом f (x) суммируема на E иZZlimfn (x)dx = f (x)dx.(81)n→∞EEДоказательство этой теоремы аналогично доказательству свойства 15 из [107]. Суммируемость f (x) следует из того, что |f (x)| 6f (x) почти везде на E. Как и в [107], вводятся множества En , причем m(En ) → 0 при n → ∞.
Вместо (65) имеем|f (x) − fn (x)| 6 2F (x)иZ|f (x) − fn (x)|dx 6 2EZF (x)dx +EnZ|f (x) − fn (x)|dx.E−EnВ силу абсолютной непрерывности интеграла от F (x) существуеттакое N , чтоZF (x)dx 6 ε приn>NEnиZ|f (x) − fn (x)|dx 6 [2 + m(E)]εприEоткуда, ввиду произвольности ε, и следует (81).∗Эта теорема также известна как теорема Лебега.n > N,438Гл. III. Кратные и криволинейные интегралы.
. .[109Т е о р е м а 2. Пусть fn (x) (n = 1, 2, . . .) неотрицательны исуммируемы на E, fn (x) → f (x) почти везде на E иZfn (x)dx 6 A,(82)Eгде A — некоторое число (не зависит от n). При этом (x) суммируема на E иZf (x)dx 6 A.(83)EОтметим сначала, что если в некоторой точке fn (x0 ) → f (x0 ), то[fn (x0 )]m → [f (x0 )]m . В этом легко убедиться, разбирая отдельнослучаи f (x0 ) 6 m и f (x0 ) > m.
Таким образом, [fn (x)]m → [f (x)]mпочти везде на E при любом m. Очевидное неравенство [fn (x)]m 6fn (x) и (82) даетZ[fn (x)]m dx 6 A(84)Eи, в силу свойства 15 из [107], причем роль L играет m, имеемZZlim[fn (x)]m dx = [f (x)]m dx.n→∞EEПереходя в (84) к пределу при n → ∞, получаемZ[f (x)]m dx 6 A,Eоткуда следует суммируемость f (x) на E, и при m → ∞ неравенство(83).Т е о р е м а 3. Пусть fn (x) (n = 1, 2, . .
.) — неубывающая последовательность суммируемых на E функций. При этом у предельной функции f (x) интеграл по E равен конечной величине или(+∞) и имеет место формула (81).Суммируемые функции fn (x) почти везде на E конечны, инеубывающая последовательность в каждой точке имеет предел,109]§ 9. Мера и теория интегрирования439который может быть и бесконечным. Для простоты будем считать,что все значения всех fn (x) конечны. Но значения f (x) могут, очевидно, равняться и (+∞).Рассмотрим неубывающую последовательность неотрицательных функций 0 6 fn (x) − f1 (x). Мы имеем0 6 fn (x) − f1 (x) 6 f (x) − f1 (x).Если f (x) − f1 (x) — суммируема на E, то и f (x) — суммируема. Разность f (x) − f1 (x) может играть роль F (x) теоремы 1, и применяяэту теорему, получимZZlim[fn (x) − f1 (x)]dx = [f (x) − f1 (x)]dx,n→∞EEоткуда следует (81).Положим теперь, что интеграл от f (x) − f1 (x) равен (+∞).
Поскольку f1 (x) — суммируема, отсюда следует, что f − (x) суммируема, а интеграл от f + (x) равен (+∞), т. е. интеграл от f (x) равен(+∞).В силу свойства 15 из [107], имеемZZlim[fn (x) − f1 (x)]m dx = [f (x) − f1 (x)]m dx.(85)n→∞EEПусть K — любое заданное положительное число. Ввиду того, чтоинтеграл от [f (x) − f1 (x)] равен (+∞), существует такое фиксированное m, что правая часть (85) больше K, и, в силу (85), для всехдостаточно больших nZ[fn (x) − f1 (x)]m dx > KEи тем болееZE[fn (x) − f1 (x)]dx > K.440Гл. III.
Кратные и криволинейные интегралы. . .[109Отсюда, ввиду произвольности K, следуетZZlimfn (x)dx − f1 (x)dx = +∞,n→∞EEт. е.limn→∞Zfn (x)dx = +∞,Eи формула (81) доказана и в том случае, когда интеграл от f (x)равен (+∞).З а м е ч а н и е. Аналогичный результат справедлив и для невозрастающей последовательности суммируемых функций fn (x), причем предельная функция может иметь интеграл, равный (−∞). Оннепосредственно получается из доказанной теоремы заменою fn (x)на [−fn (x)].Отметим еще важное следствие доказанной теоремы.Т е о р е м а 4.
Если функции uk (x) (k = 1, 2, . . .) неотрицательны и суммируемы на E и ряд с неотрицательными членами∞ ZXuk (x)dx(86)k=1 Eсходится, то почти везде на E сходится ряд∞Xuk (x)(87)k=1и uk (x) → 0 при k → ∞ почти везде на E.Рассмотрим неубывающую последовательность неотрицательных суммируемых на E функцийfn (x) =nXuk (x)k=1и применим теорему 3. В силу сходимости ряда (86), интеграл отfn (x) при n → ∞ имеет конечный предел.
Следовательно, предель-110]§ 9. Мера и теория интегрирования441ная функция, в данном случае выражаемая рядом (87)f (x) =∞Xuk (x),k=1суммируемая на E, а потому имеет на E почти везде конечныезначения, т. е. ряд (87) сходится почти везде на E, откуда непосредственно следует, что uk (x) → 0 при k → ∞ почти вездена E.110. Теорема Фубини. Для кратного интеграла Лебега теоремы о сведе́нии такого интеграла к одномерным интегралам имеют очень простую и общую форму.
Мы приведем лишь результат[V, 86]. Сначала сформулируем теорему для двойного интеграла напрямоугольнике.Т е о р е м а 1. Пусть f (x, y) — суммируемая функция на прямоугольнике ∆(a 6 x 6 b; c 6 y 6 d). При этом f (x, y) измерима исуммируема по y на промежутке c 6 y 6 d для всех или почтивсех значений x из промежутка a 6 x 6 b, функцияh(x) =Zdf (x, y)dy(88)cсуммируема по промежутку a 6 x 6 b и имеет место равенствоZZf (x, y)dxdy =Zb Zda∆cf (x, y)dy dx.(89)Совершенно аналогичные утверждения имеют место и при перемене порядка интегрирования:ZZ∆f (x, y)dxdy =Zd Zbcaf (x, y)dx dy.(90)Отметим, что если функция h(x) определена лишь почти везде,то ее можно доопределить на множестве меры нуль, полагая ее,442Гл.
III. Кратные и криволинейные интегралы. . .[110например, равной нулю на этом множестве. Совершенно такое жезамечание относится и к функцииl(y) =Zbf (x, y)dx,(91)aопределенной везде или почти везде на промежутке c 6 y 6 d. Указанная выше теорема была установлена итальянским математикомФубини. Из (89) и (90) следуетZb ZdacZd Zbf (x, y)dx dx =f (x, y)dx dy,c(92)aт. е. возможность для суммируемой на ∆ функции менять порядокинтегрирования.При предположении суммируемости f (x, y) на ∆ мы имели формулы (89) и (90).
Обратное заключение о существовании двойногоинтеграла по ∆, если имеют смысл повторные интегралы, стоящиев правых частях формул, — неправильно. Но если f (x, y) неотрицательна на ∆, то имеет место следующаяТ е о р е м а 2. Если f (x, y) измерима и неотрицательна ∆ исуществует повторный интеграл правой части формулы (89) или(90), то f (x, y) суммируема на ∆.Но из суммируемости f (x, y) на ∆ следуют формулы (89), (90)и (92).З а м е ч а н и е. Если f (x, y) меняет знак, но для |f (x, y)| существует повторный интеграл правой части формулы (89) или (90),то, согласно теореме 2, |f (x, y)| суммируема на E, но при этом иf (x, y) суммируема на E. Таким образом, формулы (89), (90) и (92)имеют место, если мы убедились, что один из повторных интегралов существует и для |f (x, y)|.Если f (x, y) суммируема на измеримом ограниченном множестве E, то имеет место формулаZZZ ZZ Zf (x, y)dxdy =f (x, y)dy dx =f (x, y)dx dy, (93)E′ExExEy′Ey110]§ 9.
Мера и теория интегрирования443где Ex — множество точек E, имеющих заданную абсциссу x, Ey —аналогичное множество, а Ex′ и Ey′ — проекции E на оси OX и OY .Интегралы по Ex и Ey могут не иметь смысла для значений x иy, образующих на осях OX и OY множества меры нуль. (Ex и Eyмогут быть на этих множествах меры нуль неизмеримы). Для доказательства формулы (93) достаточно покрыть E конечным промежутком ∆ и применить формулы (89) и (90) к функции f0 (x, y),определенной на ∆, равной f (x, y) на E и нулю на оставшейся части ∆.
Формула (93) имеет место и для функций, суммируемых нанеограниченных множествах конечной меры.Все сказанное выше об измеримых множествах, измеримыхфункциях и интеграле Лебега сохраняет справедливость как в линейном случае, так и в n-мерном пространстве [ср. 100]. В линейномслучае теорема Фубини, естественно, отсутствует. Сформулируемэту теорему в многомерном случае.Т е о р е м а 3. Пусть ∆m+n — промежуток в пространствеRm+n , имеющем m + n измерений:∆m+n : a1 6 x1 6 b1 , a2 6 x2 6 b2 , . . . , am+n 6 xm+n 6 bm+n ,а ∆m и ∆n следующие промежутки в пространствах Rm и Rn :∆m :a1 6 x1 6 b1 ,a2 6 x2 6 b2 ,...,am 6 xm 6 bm ,∆n : am+1 6 xm+1 6 bm+1 , am+2 6 xm+2 6 bm+2 , .
. . ,am+n 6 xm+n 6 bm+n .Пусть, далее, f (x1 , x2 , . . . , xm+n ) — функция, суммируемая на∆m+n . Если мы фиксируем некоторую точку N из ∆m , тоf (x1 , x2 , . . . , xm+n ) будет измеримой и суммируемой в ∆n при любом выборе N , кроме, может быть, множества точек меры нульв ∆m . Интеграл от этой функции по ∆nh(x1 , x2 , . . . , xm ) =Z∆nf (x1 , x2 , . . . , xm+n )dxm+1 . . .
dxm+n444Гл. III. Кратные и криволинейные интегралы. . .[111дает суммируемую в ∆m функцию и имеет место формулаZf (x1 , x2 , . . . , xm+n )dx1 dx2 . . . dxm+n =∆m+n=Z Z∆m∆nf (x1 , x2 , . . . , xm+n )dxm+1 . . . dxm+n dx1 . . . dxm . (94)Приведем еще два результата, непосредственно связанных с теоремой Фубини. Мы формулируем их для случая функции двухнезависимых переменных f (x, y), определенной на конечном промежутке ∆[a 6 x 6 b; c 6 y 6 d].1. Если f (x, y) измерима на ∆, то для почти всех x из промежутка a 6 x 6 b она измерима по y на промежутке c 6 y 6 d.Роли x и y при этом можно поменять.2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
