1610915346-ca3c42683bad539de2fd15cb675d150f (824739), страница 64
Текст из файла (страница 64)
В случае бесконечного числа Ek положим: E = E1 + E2 + . . . + En + Rn ,где m(Rn ) → 0 при n → ∞. ИмеемZZn ZXf (x)dx =f (x)dx + f (x)dx,k=1EkERnпричем последнее слагаемое по абсолютной величине 6 Lm(Rn ) истремится к нулю при n → ∞, откуда и следуетZ∞ ZXf (x)dx =f (x)dx.(59)k=1EkEДоказанное свойство называется полной аддитивностью интеграла.12. Если E — множество меры нуль, т. е. m(E) = 0, то длялюбой ограниченной на E функцииZf (x)dx = 0.E107]§ 9. Мера и теория интегрирования429Функция f (x) измерима на E и для любого подразделения суммы s(δ) и S(δ) равна нулю.13. Если f1 (x) и f2 (x) эквивалентны на E, тоZZf1 (x)dx = f2 (x)dx.(60)EE′Пусть E та часть E, где f1 (x) 6= f2 (x). По условию, m(E ′ ) = 0 ина множестве E ′′ = E − E ′ функции f1 (x) и f2 (x) совпадают. ИмеемравенстваZZf1 (x)dx = f2 (x)dx = 0,E′ZE′f1 (x)dx =E ′′Zf2 (x)dx,E ′′сложение которых и дает (60).14.
Если f (x) > 0 на E иZf (x)dx = 0,(61)Eто f (x) эквивалентна нулю.Надо доказать, что мера множества E[f > 0] равна нулю. Этомножество можно представить в виде∞X1,E[f > 0] =E f>nn=1и если его мера была бы положительной, то положительной должна быть мера по крайней мере одного из слагаемыхправойчасти.Пусть, например, положительная мера E ′ = E f > n10 . ОбозначаяE ′′ = E − E ′ , имеемZZZf (x)dx = f (x)dx + f (x)dx.EE′E ′′430Гл. III.
Кратные и криволинейные интегралы. . .[107Первое слагаемое правой части > n10 m(E ′ ) > 0, а второе, в силуf (x) > 0, неотрицательно, откуда следует, что левая часть положительна, что противоречит (61).15. Пусть fn (x) (n = 1, 2, . . .) — бесконечная последовательность функций, определенных на E и равномерно по отношению кзначку n ограниченных, т.
е. |fn (x)| 6 L, где L — положительноечисло (L не зависит от n) и fn (x) → f (x) почти везде на n. ПриэтомZZlimfn (x)dx = f (x)dx.(62)n→∞EEПредельная функция f (x) почти везде на E удовлетворяет неравенству |f (x)| 6 L. Переходя к эквивалентной функции, можемсчитать, что оно выполнено везде на E. Нам надо доказать, чтоZlim[f (x) − fn (x)]dx = 0.(63)n→∞EИз свойства 6 следуетZZ [f (x) − fn (x)] 6 |f (x) − fn (x)|dx.E(64)EПусть задано ε > 0, и пусть En = E[|f − fn | > ε].
В силу теоремыиз [104] m(En ) → 0 при n → ∞, а в точках E − En выполняетсянеравенство |f − fn | < ε. Кроме того, в любой точке E|f (x) − fn (x)| 6 |f (x)| + |fn (x)| 6 2L.(65)Из формулыZE|f (x) − fn (x)|dx =Z|f (x) − fn (x)|dx+En+ZE−En|f (x) − fn (x)|dx108]§ 9. Мера и теория интегрирования431следуетZ|f (x) − fn (x)|dx 6 2Lm(En ) + εm(E − En )Eи тем болееZ|f (x) − fn (x)|dx 6 2Lm(En ) + εm(E).EПоскольку m(En ) → 0 при n → ∞, существует такое N > 0, чтоm(En ) 6 ε при n > N и таким образом,Z|f (x) − fn (x)|dx 6 [2L + m(E)]ε при n > N,Eоткуда, ввиду произвольности ε > 0 и (64), следует (63). Доказанное свойство дает возможность переходить к пределу под знакоминтеграла при единственном предположении ограниченности fn (x)по абсолютной величине независимо от знака.
Отметим, что достаточно предположить, что неравенство |fn (x)| 6 L имеет место лишьпочти везде на E.108. Интегралы от неограниченных функций. Мы определили интеграл от ограниченной функции по множеству E конечноймеры. Положим теперь, что f (x) — неограниченная неотрицательная измеримая функция на множестве E конечной меры. Определим «урезанную функцию»:(f (x), если f (x) 6 m,[f (x)]m =(66)m, если f (x) > m(m > 0), т. е. значения f (x), не больше m, сохраняются, а значения, большие m, заменяются на m. Функция [f (x)]m ограничена иизмерима (легко доказать), а потому существует интегралZ[f (x)]m dx,(67)E432Гл.
III. Кратные и криволинейные интегралы. . .[108который не убывает при возрастании m. Если этот интеграл имеет конечный предел при m → +∞, то величину указанного пределапринимают за величину интеграла от f (x) по E:ZZf (x)dx = lim[f (x)]m dx(68)m→+∞EEи говорят, что f (x) суммируема по E.Отметим, что закон беспредельного возрастания m — несуществен. Если f (x) — ограниченная функция, то это определение интеграла совпадает с прежним, ибо [f (x)]m ≡ f (x) при всех достаточно больших m. Если интегралы (67) беспредельно возрастаютпри m → +∞, то говорят, что интеграл от f (x) по E равен (+∞).Отметим, что если f (x) суммируема на E, то мера множестваE0 = E[f (x) = +∞]равна нулю, т. е.
f (x) принимает на E почти везде конечные значения. Действительно, очевидно, что при любом m > 0 имеем[f (x)]m = m на E0 и для неотрицательных ограниченных функцийf (x) имеемZZ[f (x)]m dx > [f (x)]m dx = m · m(E0 ).EE0Если m(E0 ) > 0, то правая часть и тем более интеграл, стоящий влевой части, стремятся к (+∞) при m → +∞, т. е. f (x) не суммируема на E.Положим теперь, что f (x) — неограниченная функция, принимающая значения разных знаков.
Определим положительную и отрицательную части f (x):(f (x), если f (x) > 0,+f (x) =0,если f (x) < 0,−f (x) =(0,если−f (x), еслиf (x) > 0,f (x) 6 0.108]§ 9. Мера и теория интегрирования433Обе эти функции неотрицательны и измеримы на E:f (x) = f + (x) − f − (x)(69)|f (x)| = f + (x) + f − (x).(70)иЕсли f + (x) и f − (x) суммируемы на E, то говорят, что и функция f (x) суммируема на E и величина интеграла от f (x) по Eопределяется формулойZZZf (x)dx = f + (x)dx − f − (x)dx.(71)EEEЕсли уменьшаемое правой части равно (+∞), а вычитаемое конечно, т.
е. f − (x) суммируема по E, то говорят, что интеграл от f (x)по E равен (+∞). Совершенно аналогично, если f + (x) суммируемапо E, а вычитаемое правой части (71) равно (+∞), то говорят, чтоинтеграл от f (x) по E равен (−∞).Из определения неотрицательных функций f + (x) и f − (x) следует, что если в некоторой точке f + (x0 ) > 0, то f − (x0 ) = 0, а еслиf − (x0 ) > 0, то f + (x0 ) = 0, и, пользуясь (69) и (70), получаем[|f (x)|]m = [f + (x)]m + [f − (x)]m ,[f + (x)]m 6 [|f (x)|]m ,[f − (x)]m 6 [|f (x)|]mпри m > 0.
Отсюда легко вытекает, что суммируемость f (x) равносильна суммируемости |f (x)|, т. е. суммируемость есть абсолютнаясуммируемость [ср. 89]. Отметим еще, что суммируемая на E функция имеет почти везде нa E конечные значения. Это непосредственно следует из того, что у неотрицательной суммируемой функциимера множества E0 = E[|f | = +∞] равна нулю.Укажем теперь остальные свойства интеграла от суммируемости функции по множеству конечной меры. Будем считать, чтоf (x) > 0. Для функция, меняющих знак, все сводится к f + (x) иf − (x) в силу (71).
Без изменения сохраняются свойства 4, 9, 12, 13и 14, причем свойство 12 без условия ограниченности f (x). Свойство 3 формулируется так:434Гл. III. Кратные и криволинейные интегралы. . .[1081. Если fk (x) > 0 (k = 1, 2, . . . , p) суммируем по E, то и ихлинейная комбинация с постоянными положительными коэффициентами есть суммируемая функция и имеет место формула(51).Имеет место и следующее, просто доказываемое свойство:2. Если f (x) суммируема на E, то она суммируема и на любойизмеримой части E ′ множества E иZZf (x)dx 6 f (x)dx.(72)E′EДокажем абсолютную непрерывность интеграла.3. Если f (x) суммируема на E, то при любом заданном ε > 0существует такое η > 0, чтоZf (x)dx 6 ε,(73)eесли e ⊂ E и m(e) 6 η.Существует такое m > 0, чтоZε{f (x) − [f (x)]m }dx 6 .2EПри этом, в силу (72), для любого e ⊂ EZε{f (x) − [f (x)]m }dx 6 ,2eт.
е.Zeε2mf (x)dx 6Zε[f (x)]m dx + ,2eполучаем (73).и при m(e) 64. Если f (x) суммируема на E и множество E разбито наконечное или счетное число множеств Ek (попарно, без общихточек ), то имеет место формула (58).108]§ 9. Мера и теория интегрирования435Рассмотрим случай бесконечного числа множеств Ek . Для ограниченной функции [f (x)]m имеемZ∞ ZX[f (x)]m dx =[f (x)]m dx,k=1EkEоткудаZ[f (x)]m dx 6∞ ZXf (x)dx,k=1EkEи при m → +∞ получимZ∞ ZXf (x)dx 6f (x)dx.(74)k=1EkEДокажем теперь противоположное неравенство. Из f (x) > 0 следует, что при любом m > 0 и любом конечном pZp ZX[f (x)]m dx >[f (x)]m dx,k=1EkEи при m → +∞ получимZp ZXf (x)dx >f (x)dx,k=1EkEоткуда при p → ∞ и следует неравенство, противоположное (74),т.
е.Z∞ ZXf (x)dx =f (x)dx.(741 )k=1EkEПросто доказываются и следующие два свойства:5. Если E разбито на счетное число измеримых множеств Ek ,функция f (x) суммируема на каждом Ek и ряд с неотрицательными слагаемыми∞ ZXf (x)dx(75)k=1Ek436Гл. III. Кратные и криволинейные интегралы. . .[108сходится, то f (x) суммируема на E и имеет место формула(741 ).6. Если f1 (x) > f2 (x) > 0 на E и f1 (x) суммируема на E, то иf2 (x) суммируема иZZf1 (x)dx > f2 (x)dx.(76)EEОтметим те изменения, которые надо внести в формулировкусвойств, если f (x) — неограниченная функция, меняющая знак: всвойстве 1 постоянные коэффициенты могут быть любого знака;свойство 2 сохраняется, но без неравенства (72); свойство 5 сохраняется, если в сумме (75) f (x) заменить на |f (x)|. Свойство 6 заменяется следующим:7.
Если f2 (x) измерима на E, f1 (x) — измерима, неотрицательна и суммируема на E и |f2 (x)| 6 f1 (x), то f2 (x) суммируема наE иZ Z f2 (x)dx 6 f1 (x)dx.(77)EEНетрудно ввести понятие суммируемых функций и определитьинтеграл для функций f (x), принимающих комплексные значения.Разделим у такой функции вещественную и мнимую части:f (x) = f1 (x) + if2 (x).(78)Функция f (x) называется суммируемой на E, если суммируемыf1 (x) и f2 (x), и интеграл определяется в этом случае формулойZZZf (x)dx = f1 (x)dx + i f2 (x)dx.(79)EEEИмеет место следующее свойство: для суммируемостиp f (x) необходима и достаточна суммируемость модуля |f | = f12 + f22 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
