1610915346-ca3c42683bad539de2fd15cb675d150f (824739), страница 59

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 59)

Если f (N ) непрерывна на замыкании (σ) ограниченного открытого множества (σ), то она интегрируема. Это доказывается совершенно так же, как и в [I, 116].2. Если множество R точек разрыва ограниченной функцииf (N ) имеет меру нуль, то f (N ) интегрируема.Будем для простоты считать, что (R) лежит строго внутри (σ).Пусть задано ε > 0. Из того, что m(R) = 0, следует, что (R) можно заключить строго внутрь множества (T ) типа (α), лежащеговнутри (σ), мера которого меньше ε. Пусть l — граница (T ). Мераl, очевидно, равна нулю, и мы можем заключить l внутрь множества (T1 ) типа (α), лежащего внутри (σ), площадь которого так же,как и у (T ), меньше ε. Пусть d1 — расстояние от l до границы (T1 ).Отметим, что если (σ) разбита на части, и диаметр каждой из частей меньше d1 , то сумма площадей тех из частей, которые имеютобщие точки с l, меньше ε. Если мы выделим из (σ) внутреннюючасть (T ), то на оставшемся замкнутом множестве (σ1 ) функцияf (N ) равномерно непрерывна, и, следовательно, существует такоеd2 > 0, что колебание f (N ) на всяком множестве, принадлежащем(σ1 ), диаметр которого меньше d2 , меньше ε.Применяя рассуждения, аналогичные тем, которые мы применили в [I, 116], можно показать, что если µ(δ) меньше d1 и d2 , тоnXk=1(Mk − mk )σk 6 [σ + (M − m)]ε,398Гл.

III. Кратные и криволинейные интегралы. . .[99где σ — мера (σ), а m и M — точные нижняя и верхняя границызначений f (N ) на (σ), включая границу. Ввиду произвольности εотсюда следует, что f (N ) интегрируема на (σ).Как и в [I, 117], можно доказать основные свойства интегрируемых функций:1. Если f (N ) интегрируема на (σ) и мы изменим значенияf (N ) на множестве (R) меры нуль, сохраняя ограниченностьфункции, то и новая функция интегрируема и величина интеграла при этом не изменится.2. Если f (N ) интегрируема на (σ) и (σ) разбита на конечноечисло квадрируемых областей или открытых множеств (σk ) (k =1, 2, . . .

, m), то f (N ) интегрируема по каждой (σk ) и интеграл по(σ) равен сумме интегралов по (σk ).Отметим еще, что из интегрируемости по всем (σk ) следуети интегрируемость по (σ). Остаются справедливыми и остальныесвойства интегрируемых функций, указанные в [I, 117]: вынесениепостоянного множителя за знак интеграла, интегрируемость суммы, произведения и частного интегрируемых функций, интегрируемость абсолютного значения интегрируемой функции и теорема осреднем.Отметим еще, что, поскольку граница l квадрируемой областиили открытого множества имеет меру нуль, значения ограниченнойфункции f (N ) на l не влияют на величину интеграла.99.

Вычисление двойного интеграла. Установим теперьформулу, которая приводит вычисление двойного интеграла к двумквадратурам. Рассмотрим сначала случай прямоугольника (R) состоронамиx = a, x = b, y = c, y = d,(8)параллельными осям. Положим, что f (N ) = f (x, y) интегрируемапо (R), т. е. существует интегралZZZZf (N )dσ =f (x, y)dxdy.(9)(R)(R)Положим, кроме того, что при всяком x из промежутка (a, b) суще-99]§ 9. Мера и теория интегрирования399ствует интегралF (x) =Zdf (x, y)dy(a 6 x 6 b)(10)cи повторный интегралZbaZb ZdF (x)dx =  f (x, y, )dy  dx.a(11)cРазобьем (R) на части при помощи промежуточных точек деленияa = x0 < x1 < x2 < .

. . < xn−1 < xn = b,c = y0 < y1 < y2 < . . . < ym−1 < ym = d,и пусть (Rik ) — частичный прямоугольник, ограниченный прямыми: x = xi , x = xi+1 ; y = yk , y = yk+1 . Пусть, далее, mik , Mik —точные нижняя и верхняя границы значений f (x, y) в замкнутомпрямоугольнике (Rik ); ∆xi = xi+1 −xi , ∆yk = yk+1 −yk . Интегрируянеравенствоmik 6 f (x, y) 6 Mik[(x, y)из(Rik )]по промежутку yk 6 y 6 yk+1 , получимmik ∆yk 6yZk+1f (x, y)dy 6 Mik ∆yk(xi 6 x 6 xi+1 ),ykпричем (yk , yk+1 ) есть часть (c, d), и написанный интеграл существует в силу существования интеграла (10) [I, 117]. Складываяэти неравенства, получимm−1Xk=0mik ∆yk 6Zdcf (x, y)dy 6m−1Xk=0Mik ∆yk .400Гл. III. Кратные и криволинейные интегралы.

. .[99Интегрируем по промежутку (xi , xi+1 ):m−1Xmik ∆yk ∆xi 6k=0xZi+1 Zdxicf (x, y)dy  dx 6m−1XMik ∆yk ∆xi ,k=0написанный интеграл существует в силу существования интеграла(11). Суммируем последнее неравенство по i:n−1X m−1Xi=0 k=0Zb Zdn−1X m−1Xmik ∆yk ∆xi 6f (x, y)dy dx 6Mik ∆yk ∆xi .ai=0 k=0cПринимая во внимание, что произведение ∆yk ∆xi выражает площадь (Rik ), можем утверждать, что крайние члены неравенствапри беспредельном измельчании прямоугольников стремятся к интегралу (9), что и приводит к требуемой формуле:ZZf (x, y)dxdy =Zb Zda(R)cf (x, y)dy dx,(12)т. е.

если существуют двойной интеграл (9) и повторный интеграл (11), то имеет место формула (12), т. е. эти интегралыравны.Заметим, что существование интеграла (11) предполагает существование интеграла (10). Если f (N ) — непрерывная функция взамкнутом прямоугольнике (R), то интегралы (9) и (10), очевидно, существуют. При этом, как мы видели [83], формула (10) даетнепрерывную функцию от x, и, следовательно, интеграл (11) такжесуществует. Рассмотрим теперь область (σ), ограниченную двумякривыми y = ϕ2 (x) и y = ϕ1 (x) и прямыми x = a и x = b (рис. 79).Положим, что существует двойной интегралZZZZf (N )dσ =f (x, y)dxdy,(13)(σ)(σ)99]§ 9. Мера и теория интегрирования401простые интегралыF (x) =ϕZ2 (x)f (x, y)dy(14)ϕ1 (x)и повторный интегралZbaZb ϕZ2 (x)F (x)dx =f (x, y)dy dx.a(15)ϕ1 (x)Пусть (R) — прямоугольник, образованный прямыми (8), причем мы выбираем c и d так, чтобы при всех x из (a, b) мы имели c < ϕ1 (x), а d > ϕ2 (x), т.

е.(σ) составляет часть (R). Определяем в (R) функцию f1 (N ) =f1 (x, y), которая равна f (N ) вточках области (σ) и равна нулю в точках (R), которые непринадлежат (σ). Кривые y =ϕ2 (x) и y = ϕ1 (x) разбивают (R)на три части: (σ) и области (I)и (II), лежащие под и над (σ)Рис. 79.(рис. 79). Функция f1 (N ) интегрируема по (σ), так как там онасовпадает с f (N ) и интегрируема по (I) и (II), так как во внутренних точках этих областей она равна нулю.Следовательно, f1 (N ) интегрируема по (R) [98], иZZ(R)f1 (N )dσ =ZZf (N )dσ.(16)(σ)Точно так же существуют при всяком x из промежутка (a, b)402Гл. III. Кратные и криволинейные интегралы. .

.[100интегралF (x) =Zdf1 (x, y)dy =cϕZ2 (x)f (x, y)dy(17)ϕ1 (x)и интеграл (15). Следовательно, к функции f1 (N ) применима формула (12) и, в силу (16) и (17), эта формула дает формулу приведения двойного интеграла по (σ) к повторному:ZZ(σ)Zb ϕZ2 (x)f (x, y)dxdy =f (x, y)dy dx.a(18)ϕ1 (x)При этом выводе мы предполагали существование интегралов(13), (14) и (15). Если f (x, y) непрерывна в замкнутой области (σ),то, как и выше, интегралы (13) и (14) существуют.

Кроме того,в силу [83], формула (14) определяет непрерывную функцию отx, и следовательно, интеграл (15) также существует. Совершенноаналогично можно доказать и формулу приведения трехкратногоинтеграла к повторному интегралу, содержащему три квадратуры[61].100. n-кратные интегралы.

Все сказанное в [96] и [97] переносится непосредственно на случай n-мерного пространства и приводит к понятию интеграла от ограниченной функции по ограниченной измеримой n-мерной области, к указанному выше условиюинтегрируемости и к обычным свойствам интегралов. Точно также, аналогично [99], имеет место формула приведения n-кратногоинтеграла к повторному, содержащему n квадратур. Формулу этуможно доказать путем индукции, изменяя n на единицу.

Пределы вкратном интеграле вычисляются из тех неравенств, которыми определяется область интегрирования. Пусть f (N ) = f (x1 , x2 , . . . , xn ) —непрерывная функция в замкнутой квадрируемой области (Pn )n-мерного пространства, внутренние точки которой определяютсяусловиями: точки (x1 , x2 , . . . , xn−1 ) суть внутренние точки некоторой измеримой области Qn−1 из (n − 1)-мерного пространства и xn100]§ 9. Мера и теория интегрирования403удовлетворяет неравенствамϕ1 (x1 , x2 , .

Характеристики

Список файлов книги