1610915346-ca3c42683bad539de2fd15cb675d150f (824739), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Ограничиваясь случаем положительной функции f (x), имеемb−εZ ′′f (x)dx > Ab−ε′b−εZ ′′b−ε′ε′A lg ′′ при p = 1,dxε=′1−pε− ε′′1−p(b − x)pA,1−pпричем правая часть может быть сделана сколь угодно большойпри сколь угодно малых ε′ и ε′′ , ибо по условию 1 − p < 0.Геометрический признак Коши совершенно нагляден, так какв случае (30) кривая y = f (x) при x, близких к b, находится целиком внутри области, заключенной между двумя симметричнымикривымиA(32)y=±(b − x)p(рис.
71), которые при p < 1 имеют конечную площадь, а потому иf (x) имеет таковую. В случае же (31) кривая y = f (x) в соседствес точкой x = b выйдет из указанной области, и так как кривые (32)при p > 1 не имеют конечной площади, то и кривая y = f (x) такжене будет ее иметь (рис. 72).Совершенно аналогично можно рассмотреть те случаи, когдаf (x) обращается в бесконечность при нижнем пределе x = a или внекоторой средней точке x = c промежутка интегрирования [I, 97].348Гл.
III. Кратные и криволинейные интегралы. . .Рис. 71.[85Рис. 72.2. Б е с к о н е ч н ы е п р е д е л ы и н т е г р и р о в а н и я. Мы рассмотрим теперь случай b = +∞, т. е. несобственный интеграл+∞ZZbf (x)dx = limf (x)dxb→+∞aaв предположении, что f (x) непрерывна при x > a. Отметим, чтосимвол b → +∞ обозначает, что b беспредельно возрастает, принимая все достаточно большие значения. Применяя признак Коши,как и в предыдущем случае, получим: для существования (сходимости) несобственного интеграла+∞Zf (x)dx(33)aнеобходимо и достаточно: при заданном сколь угодно малом положительном числе δ существует такое положительное число N ,85] § 8.
Несобственные интегралы и интегралы, зависящие от. . .что Zb′′ f (x)dx < δпри b′349и b′′ > N.b′В частности, совершенно так же, как и в случае 1, докажемП р и з н а к К о ш и: если подынтегральная функция f (x) непрерывна при x > a и|f (x)| <Axpи p > 1,(34)то несобственный интеграл (33) абсолютно сходящийся.Если жеA(35)|f (x)| > p и p 6 1,xто интеграл (33) не существует.Совершенно аналогичным путем можно рассмотреть несобственные интегралы [I, 98]Zbf (x)dxи−∞+∞Zf (x)dx.−∞Укажем практически удобный способ применения признака Коши.Остановимся сначала на интеграле вида (33). Условие его сходимости(34) сводится к тому, что существует такое p > 1, что произведениеf (x)xp при x → +∞ остается ограниченным.
Это условие наверно выполнено, если существует конечный пределlim f (x)xp .x→+∞Точно так же условие расходимости (35) имеет место, если существуетпределlim f (x)xp (p 6 1),x→+∞отличный от нуля (конечный или бесконечный). Так, например, интеграл из примера 5 [84] будет абсолютно сходящимся, так как произведе2ние e−αx cos βx · xp при любом положительном p стремится к нулю приx → +∞.
Действительно, множитель cos βx не превышает единицы по350Гл. III. Кратные и криволинейные интегралы. . .[862абсолютной величине, а произведение e−ax xp → 0, как в этом нетрудноубедиться по правилу Лопиталя, положив, например, p = 2 [I, 65].Интеграл видаZ∞ 25x + 1dxx3 + 40будет расходящимся, так как5x2 + 1x=5x→+∞ x3 + 4lim(p = 1).Вообще интеграл от рациональной дроби с одним или двумя бесконечными пределами будет сходиться только в том случае, если степеньзнаменателя по крайней мере на две единицы выше степени числителя.Кроме того, для сходимости такого интеграла необходимо, чтобы послевозможных сокращений дроби знаменатель не обращался в нуль в промежутке интегрирования. Если этот промежуток (−∞, +∞), то знаменатель не должен иметь вещественных корней.Совершенно аналогично можно применять условия (30) и (31) сходимости и расходимости интеграла в случае обращения подынтегральнойфункции в бесконечность.
Так, например, интегралZ1sin xdxxm0sin x m−1xxmсходится при m < 2, ибо произведениеединице при x → +0, и p = m − 1 < 1.=sin xxстремится к86. Неабсолютно сходящиеся интегралы. Признак Кошидает лишь достаточное условие (30) или (34) сходимости несобственного интеграла. Например, он неприменим для неабсолютносходящихся интегралов, т. е. таких, чтоZbf (x)dxилиa+∞Zf (x)dxaсходится, а интегралZba|f (x)|dxилиZ∞a|f (x)|dx86] § 8. Несобственные интегралы и интегралы, зависящие от. .
.351не сходится. Приведем признак сходимости, применимый и длянеабсолютно сходящихся интегралов: если интегралZxF (x) = f (t)dt (a > 0)aпри беспредельном возрастании x остается ограниченным, то интеграл+∞Zf (x)dxxpaбудет сходящимся при любом p > 0. Действительно, интегрируяпо частям, получимZNaf (x)dx =xpZNaZN1F (x)F (x) x=NdF (x) =+pdxxpxp x=ax1+paили, принимая во внимание, что F (a) = 0:ZNF (N )f (x)dx =+pxpNpZNF (x)dx.x1+paaПри беспредельном возрастании N первое слагаемое правой части стремится к нулю, ибо F (N ) по условию остается ограниченными p > 0. Второе слагаемое представляется интегралом, сходящимсяпо признаку Коши, так как под интегралом числитель F (x) по условию остается ограниченным при x → +∞, а в знаменателе степеньx выше единицы. Таким образом существует пределZ∞af (x)dx = limN →∞xpZNaf (x)dx = pxpП р и м е р ы.
1. Возьмем интегралZ∞sin βxdx,x0Z∞aF (x)dx.x1+p(36)352Гл. III. Кратные и криволинейные интегралы. . .[86рассмотренный нами в примере 3 [84]. Заметим, что при x → 0 подынтегральная функция стремится к β, так что несобственный характер этогоинтеграла происходит только от бесконечного предела. Далее очевидноZNsin βxdx =a−1cos βxβx=N,x=aоткуда ZN sin βxdx 6 2β(β > 0),aт. е. интегралRNsin βxdx при любых a и N остается ограниченным.
Сле-aдовательно, к интегралу (36) применима доказанная теорема, и он сходится.2. Рассмотрим еще интегралZ∞sin(x2 )dx.(37)0Совершаязамену переменных√x = t, приведем его к виду12Z∞0sin t√ dttи совершенно так же, как ив примере 1, докажем что онсходится. Выясним несколько подробнее причины, обуРис. 73.словливающие сходимость интеграла (37). Подынтегральная функция f (x) = sin(x2 ), график которой изображен на рис. 73, дажене стремится к нулю при x → +∞, признак Коши, очевидно, не применим.
Разобьем промежуток (0, +∞) на части:(0,√π),√ √( π, 2π),√√( 2π, 3π),...,p√( nπ, (n + 1)π), . . . ,86] § 8. Несобственные интегралы и интегралы, зависящие от. . .353в каждой из которых функция y = sin(x2 ) сохраняет неизменный знак:в первой (+), во второй (–), в третьей (+) и т. д.
Положим√(n+1)πZnsin(x2 )dx.un = (−1)√nπВводя вместо x новую переменную tx=√t + nπ,получимun =(−1)n2Zπ0sin(t + nπ)1√dt =2t + nπZπ√0sin tdt,t + nπоткуда видно, что числа un положительны и убывают при возрастаниицелого положительного числа n. Кроме того, из неравенства1un <2Zπ0dt1√=2nπrπnследует, что un → 0 при n → +∞. Из сказанного вытекает, что знакопеременный рядu0 − u1 + u2 − u3 + . .
. + (−1)n un + . . .будет сходящимся [I, 123]∗ . Положим теперь, чтоp√mπ 6 b < (m + 1)π,(38)(39)и рассмотрим интегралZb0√√ZπZ 2π22sin(x2 )dx + . . . +sin(x )dx +sin(x )dx =0√π∗ Ряд (38) сходится по признаку Лейбница. При этом следует заметить чтоun стремится к нулю монотонно, т. е. un−1 6 un .354Гл. III. Кратные и криволинейные интегралы. . .√+√Zmπsin(x2 )dx +√(m−1)πZb[87sin(x2 )dx = u0 − u1 + .
. . +mπ+ (−1)m−1 um−1 + θ(−1)m um , (40)√где 0 6 θ < 1 так как последнийпромежуток ( mπ, b) составляетp√лишь часть промежутка ( mπ, (m + 1)π) или даже отсутствует при√b = mπ. При b → +∞ и целое число m, определяемое неравенством(39), стремится к (+∞), и из сходимости ряда (38) и неравенства (40)вытекает существование несобственного интеграла+∞ZZbsin(x2 )dx = limsin(x2 )dx = u0 − u1 + u2 − u3 + . . .b→+∞00В настоящем случае существование несобственного интеграла обусловливается знакопеременностью подынтегральной функции, а такжетем, что последовательные площади, находящиеся над и под осью OX,по мере удаления от начала по величине убывают и стремятся к нулю,причем последнее обстоятельство происходит не от того, что их высотастремится к нулю, но от беспредельного суживания этих площадей.Совершенно так же можно рассмотреть и интеграл (36).В томе III мы получим следующее значение для интеграла (37):+∞+∞rZZ1 π22.sin(x )dx =cos(x )dx =2 200Написанные интегралы называются интегралам Френеля или интегралами дифракции.
Последнее называние связано с той ролью, которуюиграют эти интегралы в оптике.87. Равномерно сходящиеся интегралы.3 Если подынтегральная функция несобственного интеграла зависит от параметраy, то числа η и N , о которых говорилось в общих признаках 1 и2 из [85], вообще говоря, зависят от y. Если при изменении y в3 Перед чтением настоящего параграфа полезно вспомнить теорию равномерно сходящихся рядов из тома I.87] § 8.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
