1610915346-ca3c42683bad539de2fd15cb675d150f (824739), страница 50
Текст из файла (страница 50)
III. Кратные и криволинейные интегралы. . .[84Переходя к пределу, получим, в силу (17), следующую формулудля дифференцирования интеграла (18):ddyZx2x1f (x, y)dx =Zx2x1dx1∂f (x, y)dx2dy + f (x2 , y)− f (x1 , y).∂ydydy(21)Если x1 и x2 не зависят от y, то получается формула (13). Этапоследняя формула справедлива и при дифференцировании кратного интеграла по параметру, если только область интегрирования(B) не зависит от параметра. Если, например, в двукратном интеграле по области (B) подынтегральная функция f (M, t) зависит нетолько от переменной точки M интегрирования, но и от параметраt, тоZZZZ∂f (M, t)df (M, t)dσ =dσ.(22)dt∂t(B)(B)суть непрерывныеПри этом считается, что f (M, t) и ∂f (M,t)∂tфункции при изменении M в области (B), включая контур, и приизменении t в некотором промежутке.Заметим, что при доказательстве формул (13) и (22) существенно, что промежуток интегрирования конечен.
В примерах мы будемприменять формулу (13) и для бесконечного промежутка. В дальнейшем мы укажем условия законности такого применения.Из предыдущих формул вытекает также, что если f (x, y), x2 (y)и x1 (y) суть непрерывные функции, то и интеграл (18) есть непрерывная функция от y.84. Примеры. 1. В [29] мы нашли частное решение уравненияd2 y+ k2 y = f (t),dt2удовлетворяющее условиямyt=0=dy = 0.dt t=0(23)84] § 8. Несобственные интегралы и интегралы, зависящие от. . .339Оно имеет вид1y=kZtf (u) sin k(t − u)du.0Нетрудно проверить это непосредственным дифференцированием согласно правилу (21).
Мы имеемdy=dtZtf (u) cos k(t − u)du +01f (u) sin k(t − u)=ku=t=Ztf (u) cos k(t − u)du,0d2 y= −kdt2Zt0f (u) sin k(t − u)du + f (u) cos k(t − u)u=t= −k2 y + f (t),т. е. действительно,d2 y+ k2 y = f (t).dt2Равенства же (23) получаются непосредственно из предыдущих формул, если положить там t = 0.2. Пусть требуется вычислить интеграл [I, 110]I1 =Z1lg(1 + x)dx.1 + x20Введем параметр α и рассмотримI(α) =Zαlg(1 + αx)dx.1 + x20Непосредственно ясно, чтоI(0) = 0иI(1) = I1 .Формула (21), применительно к параметру α, даетdI(α)=dαZα0xlg(1 + α2 ).dx+(1 + αx)(1 + x2 )1 + α2340Гл.
III. Кратные и криволинейные интегралы. . .[84Разлагая рациональную дробь на простейшие, получим:xαxα1−++,=(1 + αx)(1 + x2 )1 + α21 + αx1 + x21 + x2и, интегрируя по x:Zαα arctg αxlg(1 + α2 )+.dx = −2(1 + αx)(1 + x )2(1 + α2 )1 + α20Окончательноlg(1 + α2 )α arctg αlg(1 + α2 )dI(α)=−++=22dα2(1 + α )1+α1 + α2=12I(α) =Zαlg(1 + α2 )dα +1 + α20Zαlg(1 + α2 )α arctg α+.2(1 + α2 )1 + α2α arctg αdα,1 + α2(24)0причем постоянного слагаемого мы не пишем, так как I(0) = 0. Применяем ко второму слагаемому интегрирование по частям:Zα1α arctg αdα =1 + α220Zαarctg αd lg(1 + α2 ) =0α=α 1 Zα lg(1 + α2 )12 dα= arctg α · lg(1 + α )−221 + α2α=00и, следовательно, в силу (24)I(α) =1arctg α · lg(1 + α2 ),2Z1πlg(1 + x)dx = lg 2.1 + x28откуда при α = 1:I1 =03. Вычисляем интегралZ∞0sin βxdx.x84] § 8.
Несобственные интегралы и интегралы, зависящие от. . .341Вместо этого интеграла мы рассмотрим более сложный по внешнемувидуZ∞sin βxdx (α > 0).I(α, β) = e−αx(25)x0Дифференцируем по β:∂I(α, β)=∂βZ∞0Z∞sin βx∂e−αxdx = e−αx cos βxdx.∂βx0Последний интеграл вычисляется без труда [I, 201]:∂I(α, β)=∂βZ∞e−αx cos βxdx = e−αx0откудаI(α, β) =Zα−α cos βx + β sin βx x=∞= 2,α2 + β 2α + β2x=0αdββ+ C = arctg + C.α2 + β 2α(26)Остается только определить постоянную интегрирования C, не зависящую от β.
Для этого мы будем приближать β к 0 в равенствах (25) и(26):lim I(α, β) = I(α, 0) = 0, I(α, 0) = arctg 0 + C = 0,β→0откуда ясно, что C = 0. Итак, мы имеемI(α, β) = arctgβ.αИнтеграл, который нам надо вычислить, получается из I(α, β) приα = 0, причем α надо приближать к нулю со стороны положительныхчисел, т. е. α → +0. Если мы будем приближать α к 0 в предыдущемравенстве, то получим разные пределы, в зависимости от того, будут лиβ > 0 или β < 0:π2βlim arctg = − πα→+0α20приβ > 0,приβ < 0,приβ=0342Гл.
III. Кратные и криволинейные интегралы. . .[84и потому окончательно2I(β) =Z∞0π2sin βxdx = − πx20приβ > 0,приβ < 0,приβ = 0.Отметим, что интеграл, стоящий слева, даст нам разрывную функциюI(β) от β. График этой разрывной функции, состоящий из двух полупрямых и точки, изображен на рис. 70.Рис. 70.4. Дифференцируя k раз по α очевидное равенствоZ∞e−αx dx =1α(α > 0),0получимZ∞e−αx xk dx =k!.αk+10Рассмотрим теперь интегралIn =Z∞2e−αx xn dx(α > 0).02 Предыдущие рассуждения не строги, так как предполагают равенства:limβ→0 I(α, β) = I(α, 0), limα→+0 I(α, β) = I(0, β), которые могут считатьсяочевидными, если известно, что I(α, β) есть непрерывная функция как от β,так и от α.
Заметим, кроме того, что если бы не ввели под знаком интеграла множитель e−αx , то получили бы после дифференцирования по β интеграл∞Rcos βxdx, не имеющий смысла. Строгое доказательство непрерывности I(α, β)0будет дано в [88].84] § 8. Несобственные интегралы и интегралы, зависящие от. . .343Если n есть число нечетное: n = 2k + 1, то In вычисляется подстановкой x2 = t:Z∞Z∞11 k!−αx2 2ke−αt tk dt =.I2k+1 = ex xdx =22 αk+100Для рассмотрения случая четногоn введем в формуле (4) новую пе√ременную интегрирования x = αt. Заменяя в полученном результате tопять на x, будем иметь формулуI0 =Z∞2e−αx dx =r120π.αДифференцируя ее k раз по α, находимdk I 0= (−1)kdαkZ∞2e−αx x2k dx,0откудаI2k = (−1)kdkdαk5. В интегралеI(β) = r √1 ππ 1 · 3 .
. . (2k − 1)=·.12 α22k · αk+ 2Z∞2e−αx cos βxdx(α > 0),0зависящем от двух параметров α и β, будем рассматривать α постоянным. Дифференцируем по β:dI(β)=−dβZ∞2e−αx sin βx · xdx =012αZ∞2sin βxde−αx .0Интегрируем по частям:Z∞x=∞21 −αx2βdI(β)=ee−αx cos βxdx =sin βx−dβ2α2αx=00β=−2αZ∞2e−αx cos βxdx,0344Гл. III. Кратные и криволинейные интегралы. . .[85т. е.dI(β)β= − I(β).dβ2αВ этом дифференциальном уравнении переменные разделяются:βdI(β)= − dβ,I(β)2αоткуда, интегрируя, получимβ2I(β) = Ce− 4α ,(27)где постоянная C уже не зависит от β.
Подставляя β = 0, будем иметьI(0) =Z∞e−αx21dx =20rπ.αС другой стороны, в силу (27),I(0) = C,следовательно, C =в (27),pπ12Z∞αи окончательно, подставляя это выражение C2e−αx cos βxdx =120rπ − β4α2e.α2Заменяя α на α , получим результат, которым мы затем воспользуемся при исследовании уравнения распространения тепла:Z∞e−α2 x2cos βxdx =√π − β22e 4α .2α085. Несобственные интегралы. Мы неоднократно встречалиинтегралы, у которых либо подынтегральная функция, либо пределы интегрирования обращаются в бесконечность.
В [I, 97, 98] мыусловились приписывать таким интегралам определенный смысл,если выполнены некоторые условия. Теперь мы остановимся наэтих интегралах подробнее.85] § 8. Несобственные интегралы и интегралы, зависящие от. . .3451. П о д ы н т е г р а л ь н а я ф у н к ц и я о б р а щ а е т с я в б е с к он е ч н о с т ь.
Пусть в интегралеZbf (x)dx(b > a)aфункция f (x) непрерывна при a 6 x < b, но обращается в бесконечность при x = b, или, точнее говоря, пусть f (x) становитсянеограниченной при стремлении x к b от меньших значений. Мыпринимаем тогда по определению [I, 97]Zbab−εZf (x)dx = limf (x)dx,ε→+0aесли только предел, написанный в правой части равенства, существует. Выясним условия его существования. Согласно основномупризнаку Коши [I, 31], необходимым и достаточным условием существования предела переменной является то, чтобы разность какихлибо двух значений этой переменной, начиная с некоторого ее значения, для всех последующих была по абсолютному значению меньше любого наперед заданного положительного числа. В рассматриваемом случае эта разность будет′′b−εZaf (x)dx −′b−εZf (x)dx =a′′b−εZf (x)dx(ε′′ < ε′ ),b−ε′и мы получим таким образом следующее общее условие: для существования (сходимости) несобственного интегралаZbf (x)dx,aу которого подынтегральная функция f (x) обращается в бесконечность при x = b − 0, необходимо и достаточно, чтобы при346Гл.
III. Кратные и криволинейные интегралы. . .[85заданном сколь угодно малом положительном числе δ существовало такое η > 0, чтобы было b−εZ ′′<δf(x)dxпри0 < ε′и ε′′ < η.b−ε′Принимая во внимание известное неравенство [I, 95]′′′′b−ε b−εZZf (x)dx 6|f (x)|dx,b−ε′b−ε′непосредственно заключаем, что из сходимости интегралаZb|f (x)|dxZbf (x)dx.a(28)вытекает сходимость интеграла(29)aОбратное заключение — неправильно, т. е. из сходимости интеграла (29) не вытекает сходимость интеграла (28). Если интеграл(28) сходится, то интеграл (29) называется абсолютно сходящимся[ср. I, 124].Из общего признака вытекает весьма важный для приложенийП р и з н а к К о ш и: если подынтегральная функция f (x), непрерывная при a 6 x < b, удовлетворяет при x, близких к b, условиюA,(30)|f (x)| <(b − x)pгде A и p — положительные постоянные, причем p < 1, то несобственный интеграл (29) сходится и притом абсолютно.Если жеAи p > 1,(31)|f (x)| >(b − x)pто интеграл (29) не существует.85] § 8.
Несобственные интегралы и интегралы, зависящие от. . .347В самом деле, мы имеем в случае (30):′′′′′′b−εb−ε b−εZZZε′1−p − ε′′1−pdx6f(x)dx=A,|fx)|dx<A(b − x)p1−pb−ε′b−ε′b−ε′причем правая часть будет сколь угодно малой при достаточно малых ǫ′ и ε′′ , так как показатель (1 − p) положителен (p < 1).В случае же (31) мы можем прежде всего быть уверены в том,что в соседстве с точкой x = b непрерывная функция f (x) сохраняет постоянный знак, так как, в силу (31), абсолютное значение f (x)остается больше положительного числа, и, следовательно, f (x) внуль не обращается, а потому и не может переменить знака.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
