1610915346-ca3c42683bad539de2fd15cb675d150f (824739), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Действительно, геометрически ясно,что на всякий замкнутый контур, находящийся в (D), можно вданном случае натянуть поверхность, также находящуюся в (D), апотому ко всякому замкнутому контуру в (D) применима формулаСтокса (22), и из условия (39) вытекает равенство нулю интегралапо такому контуру.П р и м е р.
Рассмотрим угол ϕ, входящий в систему цилиндрическихи сферических координатyϕ = arctg ,xи определим P и Q по формулам (37). Эти выражения принимаютнеопределенную форму 00 вдоль всей оси OZ. При рассмотрении криволинейного интеграла в пространствеZZ−ydx + xdyP dx + Qdy =x2 + y 2(l)(l)придется исключить трубку, идущую вдоль оси OZ, или просто самуось, и величина написанного интеграла по любому замкнутому контурувокруг такой трубки даст цилиндрическую постоянную 2π.77. Установившееся течение жидкости. Пусть в плоском установившемся течении несжимаемой жидкости v(x, y) — вектор скорости,а u(x, y) и v(x, y) — его проекции на координатные оси.
В примере 3 [70]мы видели, что условие отсутствия источников сводится к тому, что ин-314тегралГл. III. Кратные и криволинейные интегралы. . .Z−vdx + udy[77(44)(l)по любому замкнутому контуру есть нуль или, что то же, что этот интеграл не зависит от пути. В силу (27) для этого необходимо и достаточно∂u∂(−v)≡,∂y∂xили∂v∂u+≡ 0,∂x∂y(45)что и является характерным для несжимаемой жидкости. При выполнении условия (45) выражение−vdx + udyоказывается полным дифференциалом некоторой функции ψ(M ), которая определяется соотношениемZ(B)ψ(B) − ψ(A) =−vdx + udy.(46)(A)Функция ψ(M ) называется функцией тока и имеет простое физическое значение: разность ψ(B) − ψ(A) дает количество жидкости, протекающей за единицу времени через произвольный контур, начало и конец которого находятся в точках A и B.
Это вытекает непосредственноиз формулы (10) [70] для количества протекающей жидкости.Если в отдельных точках области находятся источники, то, исключаяэти точки, получим область с дырами, в которых условие (45) выполнено. Циклическая постоянная для некоторой дыры, равная интегралу (44)по замкнутому контуру вокруг этой дыры, даст, очевидно, количествожидкости q, даваемой соответственным источником в единицу времени.Функция типа ψ(M ) будет при этом многозначной. Если q < 0, то источник будет отрицательной силы (сток).Рассмотрим, кроме интеграла (44), еще интегралZudx + vdy,(47)(l)величина которого называется обычно циркуляцией скорости вдоль контура (l).
Предположим, что циркуляция скорости по любому замкнутому77]§ 7. Криволинейные интегралы315контуру равна нулю, т. е. интеграл (47) не зависит от пути. Это выражает иначе, говоря, что течение незавихренное. Сделанное предположениеравносильно существованию функции ϕ(M ):ϕ=(x,y)Zudx + vdy,(48)(x0 ,y0 )такой, что проекции u и v вектора скорости v суть частные производныеu=∂ϕ,∂xv=∂ϕ.∂y(49)Функция ϕ называется потенциалом скорости. Если условие независимости интеграла (48) от пути выполнено в многосвязной области (областис дырами), то потенциал скорости ϕ будет, вообще говоря, многозначной функцией, и циклическая постоянная интеграла (48) относительнокакой-нибудь дыры будет давать напряженность вихря, соответствующего этой дыре.Из равенства (46) вытекает [74]−v =∂ψ,∂xu=∂ψ.∂yСравнивая эти равенства с (49), получаем два уравнения, связывающихпотенциал скорости ϕ и функцию тока ψ:∂ψ∂ϕ=,∂x∂y∂ϕ∂ψ=−.∂y∂x(50)Эти уравнения, которые обычно называют уравнениями Коши—Римана, имеют основное значение в теории функций комплексной переменной, и их гидродинамическое значение, установленное выше, служит основанием тех обширных приложений, которые теория функцийкомплексной переменной имеет в плоской задаче гидродинамики.В случае установившегося движения в пространстве вектор скоростиv(x, y, z)имеет три составляющие: u(x, y, z), v(x, y, z), w(x, y, z), а вместоинтеграла (48) надо рассматривать интегралZudx + vdy + wdz,(l)316Гл.
III. Кратные и криволинейные интегралы. . .[78и если выполнены условия независимости от его пути∂w∂v−= 0,∂y∂z∂u∂w−= 0,∂z∂x∂v∂u−= 0,∂x∂yто существует потенциал скоростиϕ=(x,y,z)Zudx + vdy + wdz,(x0 ,y0 ,z0 )причем∂ϕ∂ϕ∂ϕ, v=, w=.∂x∂y∂zОбобщение условия несжимаемости (45) на случай пространства мыприведем в следующей главе.u=78. Интегрирующий множитель. Если выражениеP dx + Qdy(51)не есть полный дифференциал, т. е.∂Q∂P−≡/ 0,∂y∂xто, как мы покажем, всегда можно найти такую функцию µ, поумножении на которую выражение (51) обратится в полный дифференциалµ(P dx + Qdy) = dU.(52)Всякая такая функция называется интегрирующим множителемвыражения (51).Для того чтобы функция µ была интегрирующим множителемвыражения (51), в силу (27), необходимо и достаточно выполнениеравенства∂(µP ) ∂(µQ)−= 0,(53)∂y∂xкоторое, будучи переписано в виде∂µ∂P∂Q∂µ−Q+µ−= 0,Pdy∂x∂y∂x(54)78]§ 7.
Криволинейные интегралы317может быть рассматриваемо как уравнение для определения множителя µ. Фактически, вообще говоря, этим уравнением труднопользоваться, так как оно является уравнением в частных производных, задача интегрирования которых еще более сложна, чем задача интегрирования обыкновенных уравнений.Если выражение (51) есть полный дифференциал, то дифференциальное уравнениеP dx + Qdy = 0(55)называется уравнением типа полного дифференциала.Оно может быть сразу проинтегрировано. В самом деле, пустьU и есть та функция, для которойdU = P dx + Qdy.Функция эта при сделанном предположении, которое равносильно условию (27), может быть найдена всегда по формуле (29).
Уравнение (55) равносильно равенству dU = 0, т. е.U = C,(56)каковое равенство и дает общий интеграл данного дифференциального уравнения (55).Пусть теперь выражение (51) не есть полный дифференциал.Дифференциальное уравнение (55) всегда имеет, в силу теоремысуществования, общий интеграл, который мы запишем в видеF (x, y) = C.Функция F (x, y) должна удовлетворять соотношению∂F (x, y) ∂F (x, y) dy+= 0,∂x∂ydxгде dydx , в силу (55), мы должны заменить наиметь место тождество∂F∂xP=∂F∂yQ.P−Qт. е. должно318Гл. III.
Кратные и криволинейные интегралы. . .[78Обозначая через µ общую величину этих двух равных отношений, мы имеем∂F∂F= µP,= µQ,∂x∂yт. е. µ есть интегрирующий множитель выражения (51).Это рассуждение доказывает, что всякое выражение P dx + Qdyимеет интегрирующий множитель.Найдя интегрирующий множитель выражения (51) и по немуфункцию F , можно написать общий интеграл дифференциальногоуравнения (55):F = C.П р и м е р ы. 1. Линии тока установившегося плоского течения жидкости имеют дифференциальное уравнениеdydx=uvили− vdx + udy = 0,(57)где u и v — проекция вектора скорости v на координатные оси. Еслижидкость несжимаема, то выполняется условие:∂v∂u+= 0,∂x∂yкоторое показывает, что выражение−vdx + udy(58)есть полный дифференциал некоторой функции; действительно, в [77]мы видели, что−vdx + udy = dψ,где ψ есть функция тока, и уравнение линий тока будет:ψ = C,что и дает общий интеграл уравнения−vdx + udy = 0.2.
В примере 4 [70] мы упоминали об элементарном тепловом процессеи дали выражение бесконечно малого количества тепла, получающегося при таком процессе, в зависимости от бесконечно малых измененийдавления p, объема v и температуры T .78]§ 7. Криволинейные интегралы319Напишем три выражения для dQ в зависимости от того, какие изтрех величин p, v, T считаются независимыми переменными: cv dT + c1 dv (T, v — независимые переменные),dQ = cp dT + c2 dp (T, p — независимые переменные),(59)P dp + V dv (p, v — независимые переменные).Величины cv и cp особенно важны и называются теплоемкостями вещества при постоянном объеме и постоянном давлении.Если мы в (59) будем выражать одни независимые переменные черездругие, то получим ряд соотношений между коэффициентами. Так, вравенствеcp dT + c2 dp = cv dT + c1 dv(60)будем считать независимыми переменными T и v.
Положимdp =∂p∂pdT +dv.∂T∂vПодставив это выражение для dp в (60) и приравняв коэффициенты приdT и dv, имеем∂p,(61)cv = cp + c2∂T∂p(62)c1 = c2 .∂vТаким же путем из равенстваcv dT + c1 dv = P dp + V dvмы получим∂p,∂T∂p.c1 = V + P∂vВ случае идеального газа мы имеем уравнение состоянияcv = Ppv = RT,откуда следуетR ∂pp ∂vR ∂vv ∂Tv ∂Tp∂p= ,=− ,= ,=− ,= ,= ,∂Tv ∂vv ∂Tv ∂pp ∂pR ∂vR(63)(64)320Гл. III. Кратные и криволинейные интегралы. . .[78и тогда соотношения (61)—(64) даютcv = cp + c2R,vpc1 = −c2 ,vcv = PR,vc1 = −Pp+ V.v(65)Эти равенства позволяют выразить величины c1 , c2 , P, V через основные cv и cp :c1 = (cp − cv )p,Rc2 = −(cp − cv )v,RP = cvv,RV = cpp.R(66)Выражение dQ, вообще говоря, не есть полный дифференциал.
Но всилу двух основных начал термодинамики можно утверждать, что:I. Разность между dQ и элементарной работой давления p dv естьполный дифференциалdQ − pdv = dU,причем функция U называется внутренней энергией.II. Частное от деления dQ на абсолютную температуру T есть полныйдифференциал, или, другими словами, T1 есть интегрирующий множитель выражения dQ:dQ= dS,Tпричем функция S называется энтропией.Начало I, в силу первой из формул (59), дает намdU = dQ − pdv = cv dT + (c1 − p)dv,откуда∂(c1 − p) ∂cv = .∂v T∂Tv(67)Значки T и v означают те переменные, которые считаются постояннымипри указанном дифференцировании.Точно так же начало II даетdS =откудаилиcvc1dQ=dT + dv,TTT 1 ∂c1 ∂ c1 c11 ∂cv ==−,T ∂v T∂T T vT ∂T v T 2∂c1 c1∂cv =− .∂v T∂T vT(68)78]§ 7. Криволинейные интегралы321Сравнивая уравнения (67) и (68), находим∂pc1= .∂TT(69)Переходя опять к случаю идеального газа, мы заключаем отсюдаRc1∂p== ,∂TvTc1 =RT= p.v(70)С другой стороны, уравнение (66) даетc1 = p = (cp − cv )p,Rт.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
