1610915346-ca3c42683bad539de2fd15cb675d150f (824739), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Обозначая через (s)направление касательной кРис. 56.контуру (l), указанные на рис. 56, имеем(n, X) = (s, Y ),(n, Y ) = (s, X) − π,(9)где символом (α, β) мы обозначаем угол, отсчитываемый от направленияα до направления β против часовой стрелки. Таким образом мы имеемcos(n, X) = cos(s, Y )иcos(n, Y ) = − cos(s, X).70]§ 7. Криволинейные интегралы289Но, как известно, угол между двумя направлениями выражается поформулеcos(v, n) = cos(v, X) cos(n, X) + cos(v, Y ) cos(n, Y ),или, в силу (9),cos(v, n) = cos(v, X) cos(s, Y ) − cos(v, Y ) cos(s, X).Подставляя в выражение площади и принимая во внимание, что|v| cos(v, X) = u,|v| cos(v, Y ) = v,ds cos(s, X) = ∆x,ds cos(s, Y ) = ∆y,получим окончательноплощадь M N N ′ M ′ = (−v∆x + u∆y)dt.При этом, если угол (v, n) тупой, то cos(v, n) будет отрицательным,и площадь получится со знаком (–).Полное количество жидкости, протекающей за время dt через контур(l), будетZXdt(−v∆x + u∆y) = dt −vdx + udy,(l)а за единицу времени:q=Z−vdx + udy.(10)(l)Заметим, что контур (l) может быть замкнутым и при этом (l) надо обходить против часовой стрелки.
Количество жидкости q подсчитываетсяпо формуле (10) со знаком (+), если жидкость течет в ту сторону, куданаправлена нормаль (n), и со знаком (–), если в обратную сторону.Направление (n) указано нами выше. Оно связано с направлениеминтегрирования по (l) и ориентировкой осей x, y согласно формулам (9).Если (l) — замкнутый контур и интегрирование совершается против часовой стрелки (рис.
56), то величина q дает разность между вытекающей в единицу времени в область, ограниченную линией (l), жидкостьюи втекающей. Уменьшаемое или вычитаемое могут и отсутствовать.Если внутри (l) не имеется ни источников, откуда жидкость вытекает (положительный источник ), ни точек поглощения, куда она втекает(отрицательный источник ), то q должно равняться нулю, так как в290Гл. III. Кратные и криволинейные интегралы. . .[70противном случае количество жидкости, находящейся внутри (l), увеличилось бы или уменьшилось, что противоречит свойству несжимаемостии отсутствию источников.Таким образом установившееся плоское течение несжимаемойжидкости характеризуется равенствомZ−vdx + udy = 0,(11)(l)которое должно выполняться для всякого замкнутого контура (l), неимеющего внутри источников.4.
В термодинамике состояние всякого тела определяется тремя физическими величинами: давлением p, объемом v и температурой (абсолютной) T . Эти величины связаны одним соотношениемf (v, p, T ) = 0;например, в случае идеального газа — формулой Клайперонаpv − RT = 0.Таким образом состояние тела определяется двумя величинами изтрех, например: p и v, т. е. точкой M (p, v) плоскости pOv.Если состояние меняется, то определяющая его точка M описываеткривую в плоскости pOv, которая называется диаграммой рассматриваемого процесса; если тело возвращается к первоначальному состоянию,процесс называется круговым процессом или циклом, и диаграмма егобудет замкнутая кривая (l).Для определения количества тепла Q, поглощенного телом во время процесса, разобьем его на бесконечно малые элементарные процессы, соответствующие бесконечно малым изменениям величин p, v, T на∆p, ∆v, ∆T.
Если бы менялась только одна из этих величин, то количество поглощенного тепла было бы приближенно пропорционально приращению соответствующей переменной; если же меняются сразу все трипеременные, то по принципу наложения малых действий [I, 68] полноеприращение ∆Q будет равно сумме этих частных приращений.
Другимисловами, мы имеем приближенное равенство вида∆Q ≈ A∆p + B∆v + C∆Tи окончательно получимZXQ=∆Q = Adp + Bdv + CdT.(12)71]§ 7. Криволинейные интегралы291Выразив, в силу уравнения состояния, T через v и p, мы получимT = ϕ(v, p);dT =∂ϕ∂ϕdp +dv;∂p∂vподставив эти выражения вместо T и dT в правую часть (12), найдемокончательноZQ = P dp + V dv,(l)где P и V суть известные функции от v и p.5. Пусть изучаемый процесс есть расширение или сжатие газа илипара в рабочем цилиндре газового или простого двигателя.
Изменениеобъема пара ∆v будет тогда пропорционально смещению поршня в цилиндре под действием давления p, а потому работа ∆E, которая будетпроизведена давлением p, при этом изменении объема, будет выражатьсяпри надлежащем выборе единицы произведением p∆v, а полная работа,произведенная в течение всего кругового процессаZE = pdv.(l)71. Площадь и криволинейный интеграл. Вычислим площадь σ области (σ), находящейся в плоскости XOY и ограниченнойзамкнутой кривой (l).
Допустим для простоты (рис. 57), что кривая(l) пересекается прямыми, параллельными оси OY , не более чем вдвух точках. Обозначив через y1 ординату точек входа в область(σ), y2 — ординату точек входапрямой, параллельной оси OY ,из области (σ), а через a и b —абсциссы крайних точек кривой(l), мы имеем [I, 101]σ=Zba(y2 − y1 )dx.Пусть (1) и (2) — части кривой, соответствующие точкамРис.
57.292Гл. III. Кратные и криволинейные интегралы. . .[71входа и выхода. ИнтегралZby2 dxaесть не что иное, как криволинейный интегралZydx,(2)с направлением от точки x = b до x = a, взятый с обратным знаком.Точно так же интегралZby1 dx,aсовпадает с криволинейным интеграломZydx,(l)взятым от x = a до x = b.Окончательно имеемσ=Zbay2 dx −Zbay1 dx = − Zb(1)aydx +Za(2)bydx = −Zydx,(13)(l)причем кривая (l) обходится в направлении, обратном часовойстрелке.Совершенно таким же путем находимZσ = xdy.(14)(l)Складывая и деля на два, находим ещеZ1xdy − ydx.σ=2(l)(15)71]§ 7. Криволинейные интегралыРис.
58.293Рис. 59.Мы получили формулу (13) в предположении, что прямые, параллельные оси OY , пересекают (l) не более чем в двух точках.Нетрудно видеть, что формула справедлива и для более общих контуров. Рассмотрим сначала тот случай, когда область (σ) ограничена линиями (1), (2) и двумя отрезками прямых, параллельныхоси OY (рис. 58).
Повторяя прежние рассуждения, получимZhZiσ=−ydx + ydx .(l)(2)RНо x — постоянно на CD и BA и dx = 0, так что ydx по этимотрезкам равен нулю. Добавляя эти интегралы со знаком минус кправой части, получим и для рассматриваемого случая формулу(13). Для области (σ) с контуром (l) более общей формы (рис. 59)мы поступаем следующим образом. Проводя отрезки прямых, параллельных оси OY , разбиваем (σ) на конечное число частей, ккаждой из которых применима формула (13). Складывая эти формулы, получим слева площадь σ всей области, а справа интеграл поконтуру (l), так как интегралы по проведенным вспомогательнымконтурам, как и выше, равны нулю, т. е. формула (13) справедливаи для взятой области. Точно так же формулы (14) и (15) справедливы для контуров общего вида.В случае эллипсаx = a cos t,y = b sin t(0 6 t 6 2π)294Гл.
III. Кратные и криволинейные интегралы. . .[72формула (15) будет1σ=2Z2πZ2π1(a cos t · b cos t + b sin t · a sin t) = ab dt = πab.200В указанных формулах для площади существенно, что при интегрировании по (l) этот контур обходится против часовой стрелки, или лучше сказать, контур (l) обходится в таком направлении,в каком надо повернуть OX на угол π2 , чтобы она совпала по направлению с OY . Если бы мы направили OY не вверх, а вниз, то вформулах для площади надо было бы интегрировать по (l) по часовой стрелке.
В дальнейшем мы всегда будет держаться указанноговыше условия о направлении замкнутого контура на плоскости.72. Формула Грина. Установим теперь связь между интегралом по плоской области (σ) и интегралом по ее границе (l). Применяем формулу (7) [59] к вычислению интегралаZZ∂P (x, y)dσ,∂y(σ)(x,y)в (σ) вплоть до (l).где P (x, y) непрерывна вместе с ∂P∂yПроизводя сперва интегрирование по y и считая, что контур (l)области (σ) пересекается только в двух точках прямыми, параллельными оси OY (рис.
57), мы получимZZ(σ)∂Pdσ =∂yZZ∂Pdxdy =∂yZbdxa(σ)Zy2∂Pdy =∂yy1=Zba[P (x, y2 ) − P (x, y1 )]dx.С другой стороны, интегралыZbaP (x, y1 )dx,ZbaP (x, y2 )dx72]§ 6. Кратные интегралы295будут не что иное, как криволинейные интегралыZP (x, y)dx,взятые соответственно по частям (1) и (2) контура (l) от точкиx = a до точки x = b.Изменяя во втором из них направление интегрирования, получимZbaP (x, y2 )dx = −ZaP (x, y2 )dx = −bZaP (x, y)dx,(2)bоткудаZZ∂Pdσ = −∂yZaP dx −(2)b(σ)ZbP dx(1)aилиZZ∂Pdσ = −∂yZP dx,(16)(l)(σ)причем кривую (l) нужно обходить против часовой стрелки(рис. 57).Из этой формулы непосредственно следует, как и в [66], формулаинтегрирования по частям для функций ϕ(x, y) и ψ(x, y), обладающих такими же свойствами, что и P (x, y):ZZZZZ∂ϕ∂ϕψdσ − ϕψdx.(161 )ϕ dσ = −∂x∂x(σ)(σ)(l)Таким же путем мы вычислим и интегралZZ∂Q(x, y)dσ,∂x(σ)296Гл.
III. Кратные и криволинейные интегралы. . .[72где Q есть другая функция от (x, y). Предположив для простоты,что контур (l) пересекается только в двух точках прямыми, параллельными оси OX, мы получимZZ(σ)∂Qdσ =∂xZZ∂Qdxdy =∂xZβα(σ)dxZx2∂Qdx =∂xx1=Zβα[Q(x2 , y) − Q(x1 , y)]dy,причем это выражение может быть тоже приведено к криволинейному интегралу по замкнутому контуруZZZ∂Qdσ = Qdy.(17)∂x(σ)(l)Вычитая уравнение (16) из (17), мы и получим формулу ГринаZZZ ∂Q ∂P−dσ = P dx + Qdy.(18)∂x∂y(σ)(l)Формула (18) выведена в предположении, что функции P и Qвместе с указанными частными производными непрерывны в (σ)вплоть до (l) и что прямые,параллельные осям OX и OY ,пересекают (l) не более чемв двух точках. Для областейболее общего вида применимырассуждения из [71].
Эти рассуждения применимы и к тому случаю, когда область (σ)ограничена несколькими кривыми (рис. 60). При этом вправой части (18) надо интеРис. 60.грировать по всем граничным73]§ 7. Криволинейные интегралы297кривым, причем при принятом направлении осей надо интегрировать по внешнему контуру против часовой стрелки, а по внутренним контурам — по часовой стрелке, т. е. по всем контурам так, чтобы область (σ) оставалась слева.Отметим, что формулу Грина (18) мы можем записать и в другом виде. Пусть t — касательная к линии l, имеющая то же направление, что l, и n — нормаль к l, направленная вовне (σ).
Направление t получается из направления n, поворотом на прямой угол против часовой стрелки, и, следовательно, для углов, образованных t иn с осями координат, мы имеем: (t, X) = π + (n, Y ) и (t, Y ) = (n, X).Если ds есть элемент дуги кривой, тоdx = ds cos(t, X) и dy = ds cos(t, Y ),т. е.dx = −ds cos(n, Y )иdy = ds cos(n, X).Подставляя это в формулу (18) и заменяя в этой формуле P на(−Q) и Q на P , получимZZZ ∂Q∂P+dσ = [P cos(n, x) + Q cos(n, Y )]ds.∂x∂y(σ)(l)В этом виде формула Грина представляет собой формулу Остроградского для плоскости.73. Формула Стокса.
Рассмотрим теперь случай любой незамкнутой поверхности (S) с контуром l (рис. 61). Предполагаем, чтопрямые, параллельные оси z, пересекают (S) только в одной точке, и сохраняем все обозначения из [65]. Проекция l на плоскостьXOY дает контур (λ) области (σxy ). За положительный обход контура (λ) принимаем обход против часовой стрелки и соответственносчитаем положительный обход по (l). Направление нормали n к (S)берем так, чтобы оно составляло острый угол с осью OZ, так что298Гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
