1610915346-ca3c42683bad539de2fd15cb675d150f (824739), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Пусть M — некоторая точка пространства и OM —отрезок, проведенный из началакоординат O в точку M . Положение точки M можно определить следующими тремя величинами: длиною ρ отрезка OM ; угломϕ, который полуплоскость, проходящая через ось OZ и точку M ,образует с плоскостью XOZ; угломθ, который отрезок OM образует сположительным направлением осиOZ ∗ (рис. 44).
При этом ρ можетРис. 44.изменяться от 0 до (+∞); угол ϕотсчитывается против часовой стрелки от оси OX и может изменяться от 0 до 2π; наконец, угол θ отсчитывается от положительного направления оси OZ и может изменяться от 0 до π. Опустимиз точки M перпендикуляр M N на плоскость XOY и из основания этого перпендикуляра N опустим перпендикуляр N K на осьOX. Отрезки OK, KN , N M дают, очевидно, прямоугольные координаты x, y, z точки M . Из прямоугольного треугольника ON MимеемON = ρ sin θи, пользуясь еще прямоугольным треугольником ON K, получимокончательно формулы перехода от прямоугольных координат ксферическимx = ρ sin θ cos ϕ,y = ρ sin θ sin ϕ,z = ρ cos θ.∗ Угол θ можно отсчитывать и от положительного направления оси OX.
В6 θ 6 π2 .этом случае − π2256Гл. III. Кратные и криволинейные интегралы. . .[62Рассмотрим семейства координатных поверхностейρ = c1 ,ϕ = c2 ,θ = c3 .Первое семейство есть, очевидно, семейство сфер с центром вначале координат; второе — семейство полуплоскостей, проходящихчерез ось OZ, и третье — семейство круговых конусов, для которыхосью вращения является ось OZ.
Заметим, что началу координатO соответствует ρ = 0, а значение двух других координат ϕ и θнеопределенно. Для всех точек, лежащих на оси OZ, будет неопределенной координата ϕ, а θ = 0 или π.Придавая переменным ρ,θ и ϕ бесконечно малые приращения ∆ρ, ∆θ и ∆ϕ, получим элементарный объемв сферических координатах.Вдоль каждого из его реберменяется только одна из координат, и эти ребра попарно ортогональны (рис. 45).С точностью до малых высРис. 45.ших порядков такой элементможно принять за прямоугольный параллелепипед с ребрами dρ,ρdθ ρ sin θdϕ, так что выражение элемента объема в сферическихкоординатах будетdv = ρ2 sin θdρdθdϕ,откуда получаем выражение трехкратного интеграла в сферических координатахZZZZZZf (M )dv =f (ρ, θ, ϕ)ρ2 sin θdρdθdϕ.(20)(v)(v)62]§ 6.
Кратные интегралы257Приведение трехкратного интегралак повторным можно выполнить здесь,например, следующим образом: находим центральную проекцию объема (v)из начала координат на сферу радиусаединица (рис. 46); пусть это будет область (σ) [если начало координат внутри (v), то (σ) совпадает со всей поверхРис. 46.ностью сферы].Проведем радиусы-векторы через все точки (σ); в простейшемслучае каждый такой луч будет иметь точку входа внутрь (v) ивыхода из (v); радиусы-векторы этих точек обозначим через ρ1 иρ2 [в случае, когда начало координат лежит внутри (v), полагаемρ1 = 0].
Мы получим тогдаZZZ2f (ρ, θ, ϕ)ρ sin θdρdθdϕ =(v)ZZsin θdθdϕZρ2f (ρ, θ, ϕ)ρ2 dρ,ρ1(σ)где ρ1 и ρ2 — известные функции θ и ϕ. Пределы интегрированияпо θ и ϕ определяются по виду области (σ).П р и м е р. Определить массу шара, состоящего из концентрическихслоев различной плотности. Можем считать в данном случае, согласноусловию, что плотность зависит только от ρ. Обозначим ее f (ρ), что даетm=ZZZf (ρ)ρ2 sin θdρdθdϕ =Z2π0(v)dϕZπ0sin θdθZaf (ρ)ρ2 dρ =0= 4πZaf (ρ)ρ2 dρ.0Если плотность постоянна и равна единице, получаем выражениеобъема шараZa4πa3.v = 4π ρ2 dρ =30258Гл.
III. Кратные и криволинейные интегралы. . .[63З а м е ч а н и е. Множитель sin θdθdϕ имеет весьма важное геометрическое значение: это есть элемент площади поверхности сферы радиуса единица, на которые она разбивается меридианами ипараллельными кругами (рис. 47). Если мы будем разбивать поверхность сферы радиуса единица на элементы dσ какой угодноформы, то получим1ZZZf (M )dv =(v)ZZ(σ)dσZρ2f (M )ρ2 dρ,ρ1где (σ) есть область, в видекоторой проектируется на поверхность сферы рассматриваемый объем при помощи центральной проекции из началакоординат.Построимэлементарныйконус, вершина которого в центре шара, а направляющая —контур элемента dσ.
Растворэтого конуса, который измеряется площадью dσ, называетсяРис. 47.телесным углом, под которымвиден из центра элемент любой поверхности (S), вырезываемый изнее этим элементарным конусом.63. Криволинейные координаты в пространстве. В общемслучае криволинейных координат в пространстве положение точкиопределяется тремя числами q1 , q2 , q3 , связанными с прямоугольными координатами x, y, z, по формуламϕ(x, y, z) = q1 ,ψ(x, y, z) = q2 ,ω(x, y, z) = q3 .(21)Придавая q1 , q2 , q3 различные постоянные значения, получимтри семейства координатный поверхностей. Элемент объема dv1 dσобозначает как сам элемент, так и его площадь.63]§ 6.
Кратные интегралы259будет образован тремя парами бесконечно близких координатныхповерхностей. Не останавливаясь на доказательстве, приведем результат, аналогичный результату из [60], для двух измерений. Упомянутый элементарный объем dv можно рассматривать с точностью до бесконечно малых высших порядков как параллелепипед,и если мы решим (21) относительно x, y, z:x = ϕ1 (q1 , q2 , q3 ),y = ψ1 (q1 , q2 , q3 ),z = ω1 (q1 , q2 , q3 ),(211 )то выражение dv будетdv = |D|dq1 dq2 dq3 ,и формула замены переменных в трехкратном интеграле будет выглядеть так:ZZZZZZf (x, y, z)dxdydz =F (q1 , q2 , q3 )|D|dq1 dq2 dq3 ,(v)(v)где F (q1 , q2 , q3 ) получается из f (x, y, z) в результате преобразования(211 ), а D — функциональный определитель от x, y, z по q1 , q2 , q3 :D=∂ϕ1∂q1∂ψ1 ∂ω1∂ψ1 ∂ω1∂ϕ1 ∂ψ1 ∂ω1∂ψ1 ∂ω1·−+−+∂q2 ∂q3∂q3 ∂q2∂q2 ∂q3 ∂q1∂q1 ∂q3∂ϕ1 ∂ψ1 ∂ω1∂ψ1 ∂ω1+−.∂q3 ∂q1 ∂q2∂q2 ∂q1Так же, как и в [60], формулы (21) можно рассматривать иначекак деформацию пространства, причем точка с прямоугольнымикоординатами (x, y, z) переходит в точку с прямоугольными координатами (q1 , q2 , q3 ).
При таком толковании |D| дает коэффициент изменения объема в данном месте при переходе от (q1 , q2 , q3 ) к(x, y, z).Приведение тройного интеграла в координатах (q1 , q2 , q3 ) к тремквадратурам и определение пределов в этих квадратурах производится аналогично тому, как это делалось в случае двойного интеграла [60].260Гл. III.
Кратные и криволинейные интегралы. . .[63Для читателя, знакомого с понятием определителя, заметим, что выражение D может быть написано в виде следующего определителя третьего порядка: ∂ϕ1 ∂ψ1 ∂ω1 ∂q1∂q1∂q1 ∂ϕ∂ψ∂ω11 1D=. ∂q2∂q2∂q2 ∂ϕ1 ∂ψ1 ∂ω1 ∂q∂q∂q 333В томе III мы подробно займемся такими определителями∗ .П р и м е р. Пусть имеется тетраэдр (v), ограниченный координатными плоскостями и плоскостью x+y+z = a и определяемый неравенствамиx > 0,y > 0,z > 0,x + y + z < a.Введем новые переменныеx + y + z = q1 ,a(y + z) = q1 q2 ,a2 z = q1 q2 q3и будем толковать (q1 , q2 , q3 ) как прямолинейные прямоугольные координаты.
Из написанных формул следуетq1 = x + y + z,q2 =a(y + z),x+y+zq3 =az,y+zилиq1 q2 (a − q3 )q1 q2 q3q1 (a − q2 ), y=, z=.aa2a2Совершенно так же, как и в [60], нетрудно видеть, что тетраэдр (v) переходит в куб (v1 ): 0 < q1 < a; 0 < q2 < a; 0 < q3 < a. Нетрудно и здесьопределить D = a13 q12 q2 , так что формула преобразования будетZZZZZZ1f (x, y, z)dxdydz =F (q1 , q2 , q3 ) 3 q12 q2 dq1 dq2 dq3 ;ax=(v)(v1 )или, если определить пределы интегрирования,Za0∗dxa−xZdy0a−x−yZf (x, y, z)dz =01a3Za0q12 dq1Za0q2 dq2ZaF (q1 , q2 , q3 )dq3 .0Такой определитель называется определителем Якоби или якобианом.64]§ 6.
Кратные интегралы26164. Основные свойства кратных интегралов. Раньше мыдоказывали свойства определенного интеграла, пользуясь его определением, как предела сумм [I, 94]. Совершенно так же можно доказать и основные свойства кратных интегралов. Для простоты мывсе функции будем считать непрерывными, так что интегралы отних безусловно имеют смысл.I. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла,и интеграл от конечной суммы функций равен сумме интеграловот слагаемых:ZZ XZZmmXck fk (N )dσ =ckfk (N )dσ.(σ)k=1k=1(σ)II.
Если область (σ) разложена на конечное число частей [например, на две части (σ1 ) и (σ2 )], то интеграл по всей области равенсумме интегралов по всем частям:ZZZZZZf (N )dσ =f (N )dσ +f (N )dσ.(σ)(σ)(σ)III. Если f (N ) 6 ϕ(N ) в области (σ), тоZZZZf (N )dσ 6ϕ(N )dσ.(σ)(σ)В частности [I, 94]: ZZ ZZf (N )dσ 6|f (N )|dσ.(σ)(σ)IV. Если ϕ(N ) сохраняет знак в области (σ), то имеет местотеорема о среднем, выражающаяся формулойZZZZf (N )ϕ(N )dσ = f (N0 )ϕ(N )dσ,(σ)(σ)262Гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
