1610915346-ca3c42683bad539de2fd15cb675d150f (824739), страница 35

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 35)

Левая часть (84) стремитсяк единице при ρ → +∞, и для указанных траекторий промежуток изме1lg C. Как и в примере 2, определимнения t имеет вид −∞ < t < − 144производную от угла ϕ по t:dϕ= ρ2 − 2ρ cos ϕ − 8,dt(85)< 0 при ρ < 2 и dϕ> 0 при ρ > 4. В промежуткеоткуда видно, что dϕdtdt2 < ρ < 4 производная меняет знак при изменении ϕ. Исследуем поведение траекторий при удалении на бесконечность. Из (82) следует, чтовне окружности (832 ) вдоль всех траекторий ρ монотонно возрастает истремится к +∞.Преобразуем уравнение (82) к новой переменной σ = ρ1 , которая стремится к нулю(σ 2 − 1)(1 − 9σ 2 )dσ=.(86)dtσ3Заменяя в уравнении (85) ρ на σ и деля полученное уравнение почленнона уравнение (86), придем к уравнениюσ(1 − 2σ cos ϕ − 8σ 2 )dϕ=.dσ(σ 2 − 1)(1 − 9σ 2 )56]§ 5. Дополнительные сведения по теории дифференциальных.

. .225Для этого уравнения σ = 0 и любое ϕ не является особой точкой, и, всилу теоремы существования и единственности для этого уравнения наплоскости (σ, ϕ), легко видеть, что для каждой из траекторий системы(81) при удалении ее на бесконечность ϕ стремится к определенномупределу, и эти пределы различны для различных траекторий.На рис.

27 представлен характер расположения траекторий на плоскости X1 OX2 с указанием движения по ним при возрастании t. Примеры2 и 3 взяты из известной работы Пуанкаре «О кривых, определяемыхдифференциальными уравнениями».Рис. 27.4. Рассмотрим еще один пример общего характераdx1= x1 ω(x21 + x22 ) − x2 ,dtdx2= x2 ω(x21 + x22 ) + x1 ,dt(87)где ω(τ ) — непрерывная и непрерывно дифференцируемая функция впромежутке 0 6 τ < +∞.

Начало (0, 0) есть точка покоя системы(87). Других точек покоя нет. Это нетрудно показать так же, как и впримере 2. Переходя к полярным координатам, получим систему уравненийdρ= ρω(ρ2 ),dtdϕ=1dt(ρ > 0).(88)226Гл. II. Линейные дифференциальные уравнения. . .[56Если ω(τ ) имеет корень τ = τ0 (τ0 > 0), то система (88) имеет очевид√ное решение ρ = τ0 — окружность с центром в начале. Если при этомτ = τ0 — изолированный корень ω(τ ), т. е. ω(τ ) 6= 0 при всех τ достаточ√но близких к τ0 и отличных от τ0 , то окружность ρ = τ0 — предельныйцикл. Если ω(τ ) не равна нулю при τ1 < τ < τ2 , а ω(τ1 ) = ω(τ2 ) = 0, то√√окружности ρ = τ1 и ρ = τ2 суть замкнутые траектории системы, атраектории, находящиеся в кольце между ними, суть спиралеобразныекривые, которые закручиваются вокруг этих траекторий, при t → −∞ иt → +∞.

Если ω(τ ) > 0 при τ1 < τ < τ2 , то эти кривые закручиваются√вокруг окружности ρ = τ1 при t → −∞, а если ω(τ ) < 0, то — вокруг√ρ = τ2 при t → −∞. Если ω(τ ) = 0 при τ1 6 τ 6 τ2 и отлична отнуля при τ < τ1 и близкихк τ1 , а также при τ > τ2 и близких к τ2 , то√все окружности ρ = τ при τ1 6 τ 6 τ2 — суть замкнутые траектории,√и вокруг окружности τ = τ1 закручиваются с одной стороны траекто√рии; аналогично для τ = τ2 . Возможны, естественно, и более сложныеслучаи распределения корней функции ω(τ ).5. Рассмотрим системуdx1= x1 (x21 + x22 − 1)2 − x2 ,dt.(89)dx2= x2 (x21 + x22 − 1)2 + x1 .dtОна имеет единственную точку покоя (0, 0), которая является фокусом.В полярных координатах системаимеет видdρ2= 2ρ2 (ρ2 − 1)2 ,dtdϕ= 1.dtЕдинственной замкнутой траекторией является окружность (77), которая является предельным циклом.Величина ρ возрастает как внутри,так и вне этой окружности, и поэтому траектории наматываются на нееизнутри при t → +∞, а извне приt → −∞.

Причиною этого являетсятот факт, что уравнения (89) содерРис. 28.жат квадрат выражения x21 + x22 − 1.Внутренние траектории наматываются на фокус при t → −∞. Так же,как и в примере 3, легко показать, что внешние траектории при ρ → +∞56]§ 5. Дополнительные сведения по теории дифференциальных. . .227имеют предельные значения для ϕ, различные для различных траекторий. На рис.

28 изображена схема расположения траекторий с указаниемнаправления на них при возрастании t.Г Л А В А IIIКРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕИНТЕГРАЛЫ,НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ИИНТЕГРАЛЫ,ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА§ 6. Кратные интегралы57. Объемы. До сих пор мы рассматривали определенный интегралZbf (x)dx,aкак предел суммы для того случая, когда функция f (x) определенана отрезке (a, b) оси OX. Иначе говоря, областью интегрированияявлялся всегда некоторый прямолинейный отрезок.В настоящем параграфе мы обобщим понятие об интеграле натот случай, когда областью интегрирования является некоторая область на плоскости, или некоторая область в пространстве, или, наконец, область на какой-либо поверхности. При изложении настоящего параграфа мы будем пользоваться интуитивным представлением площади и объема и не будем останавливаться на обосновании57]§ 6. Кратные интегралы229некоторых рассуждений, связанных с переходом к пределу.

Основные моменты строгого изложения читатель может найти в последнем параграфе настоящей главы. Мы начнем с понятия о двойноминтеграле, которое связано с вопросом о вычислении объема, также как написанный выше интеграл связан с вычислением площади, а потому, прежде чем вводить понятие о двойном интеграле,мы займемся вопросом о вычислении объемов.Мы знаем, что вопрос о вычислении площади, ограниченнойкривой y = f (x), осью OX и двумя ординатами: x = a, x = b,решается с помощью понятия об определенном интеграле, а именноуказанная площадь выражается написанным выше определенным интегралом [I, 87].Займемся аналогичной задачейдля о б ъ е м а v тела, ограниченногоданной поверхностью (S), уравнениекоторойz = f (x, y),(1)плоскостью XOY и цилиндром (C)с образующими, параллельными осиOZ.

Пусть (σ) — проекция (S) наплоскость XOY (рис. 29).В [I, 104] мы привели вычислениеРис. 29.объема тела также к определенномуинтегралу, для чего нужно только знать площади параллельныхсечений тела; этот способ мы применим и в нашей задаче.Допустим для простоты, что поверхность (S) целиком находится над плоскостью XOY и что контур (l), ограничивающий (σ),пересекается лишь в двух точках прямыми, параллельными координатным осям.Будем рассекать рассматриваемое тело плоскостями, параллельными плоскости Y OZ, следы которых на плоскости XOY сутьпрямые, параллельные оси OY (рис. 29 и 30).

Абсциссы крайнихсечений обозначим через a и b. Это будут, вместе с тем, абсциссыточек контура, разделяющих этот контур на две части (1) и (2),одна из которых является местом входа в область (σ) прямых, па-230Гл. III. Кратные и криволинейные интегралы,. . .[57Рис. 30.раллельных оси OY , а другая — местом выхода (рис. 30).

Каждаяиз этих частей имеет свое уравнениеy1 = ϕ1 (x),y2 = ϕ2 (x).(2)Площадь сечения тела с плоскостью P Q, проведенной на расстоянии x от Y OZ, зависит от x; обозначим ее через S(x). Мы имеем[I, 104]v=ZbS(x)dx.(3)aОстается найти выражение для функции S(x). Это есть площадьфигуры M1 N1 N2 M2 ; она лежит в плоскости P Q и ограничена кривой N1 N2 пересечения плоскости P Q с поверхностью (S), прямойM1 M2 , параллельной оси OY , и двумя ординатами M1 N1 и M2 N2 .Так как для всех точек рассматриваемого сечения x постоянно,ординату кривой N1 N2 можно считать функцией от y, определяемой уравнениемz = f (x, y)при постоянном x; независимая переменная y будет при этом меняться в промежутке (y1 , y2 ), где y1 и y2 суть ординаты точек входапрямой M1 M2 в область (σ) и выхода из этой области.57]§ 6.

Кратные интегралы231В силу [I, 87], можем писатьS(x) =Zy2f (x, y)dy;y1подставив в (3), имеемv=ZbdxaZy2f (x, y)dy.(4)y1Мы получаем, таким образом, выражение объема в виде повторного интеграла, в котором интегрирование сперва выполняется по y при постоянном x, а затем полученный результат интегрируется по x.Рассекая данное тело плоскостями, параллельными плоскостиXOZ, мы получим для того жеобъема выражениеv=ZβαdyZx2f (x, y)dx,(5)x1причем x1 и x2 суть известныефункции от y:x1 = ψ1 (y),x2 = ψ2 (y), (6)Рис.

31.а α и β означают крайние значения y на контуре l (рис. 29 и 30).Формулы (4) и (5) был выведены при двух предположениях:1) поверхность (S) лежит целиком над плоскостью XOY и 2) контур (l), ограничивающий проекцию (σ) поверхности (S) на плоскость XOY , пересекается лишь в двух точках со всякой прямой, параллельной одной из координатных осей. Если не выполнено условие 1, то правые части формул (4) и (5) дадут не объем, а алгебраическую сумму объемов, причем со знаком (+) получатся теобъемы, которые лежат над плоскостью XOY , со знаком (–) те, которые лежат под ней.

Если же не выполнено условие (2), например232Гл. III. Кратные и криволинейные интегралы,. . .[57(рис. 31) имеется несколько пар точек пересечения контура (l) спрямой x = const, то надо разбить область (σ) на части, каждая изкоторых удовлетворяет условию 2. В соответствии с этим поверхность (S) и объем v разобьются на части, и для вычисления объемакаждой из этих частей будет годиться формула (4).П р и м е р ы. 1. Объем усеченной призмы (рис. 32). Основание образовано осями OX, OY и прямыми x = k, y = l.

Секущая плоскость имеетуравнениеyzx+ + = 1.λµνФормула (4) в данном случае даетy=lZk Zl x yxy y 2 =dy = ν dx y−−ν 1− −λ µλ 2µ y=000000Z kxl l2klk2 l kl2=νl− −dx = ν kl−−= kl · ν 1−−= σh,λ 2µ2λ 2µ2λ 2µ0v=ZkdxZlzdy =Zkdxгде σ есть площадь основания, h — ордината точки пересечения диагоналей верхнего сечения соответствующая значениям x = k2 , y = 2l .2.

Объем эллипсоидаy2z2x2+ 2 + 2 = 1.2abcРис. 32.При пересечении эллипсоида плоскостями z =const получаются эллипсы с полуосямиrrz2z2a 1− 2, b 1− 2ccи с площадьюz2S(z) = πab 1 − 2 ,cа поэтому искомый объем будетZ+c4z2v = πab 1 − 2 dz = πabc.c3−c58]§ 6. Кратные интегралы23358. Двукратный интеграл. Для получения приближенногопредставления площади кривой y = f (x) мы [I, 87] разбивали еена вертикальные полосы и заменяли площадь каждой из них прямоугольником с тем же основанием и высотой, равной некоторомусреднему значению ординаты для данной полосы.

Характеристики

Список файлов книги