1610915346-ca3c42683bad539de2fd15cb675d150f (824739), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Как мы упоминали выше, условия, налагаемые на функциюf (x, y) являются только достаточными для теоремы существования и единственности решения задачи (18), (19). Приведем другие,менее ограничительные условия, при которых имеет место упомянутая теорема и метод последовательных приближений, примененный в [51]. Мы сформулируем теорему для уравнения (18) и будем∗ Можно сказать, что всякая точка открытой области содержится в нейвместе с некоторой окрестностью.52]§ 5. Дополнительные сведения по теории дифференциальных.
. .201предполагать, что нулевое приближение есть некоторая функцияy0 (x) и что x > x0 . Аналогичная теорема имеет место и для систем.Т е о р е м а (С. М. Лозинского). Пусть f (x, y) непрерывна в области B (замкнутой или открытой) и существует такая неотрицательная интегрируемая (например, непрерывная) на конечном промежутке I (x0 6 x 6 x1 ), принадлежащем B, функцияM (x), что |f (x, y)| 6 M (x), если x принадлежит I, и точки (x, y)из B. Положим, далее, что конечная замкнутая область Q, определяемая неравенствамиZ xx0 6 x 6 x1 , |y − y0 | 6M (u)du,x0содержится в B, и существует такая неотрицательная, интегрируемая на I функция k(x), что|f (x, y2 ) − f (x, y1 )| 6 k(x)|y2 − y1 |,если x0 6 x 6 x1 , и точки (x, y2 ) и (x, y1 ) принадлежат Q.При этом: 1) если функция y0 (x) непрерывна на I, а точки(x, y0 (x)) при x0 6 x 6 x1 , принадлежат B, то формулыyn (x) = y0 +Zxf [t, yn−1 (t)]dtx0определяют последовательность функций yn (x) (n = 1, 2, .
. .) таких, что точки (x, yn (x)) принадлежат Q при x0 6 x 6 x1 ; 2) задача (18), (19) имеет на промежутке I единственное решениеy = y(x), принадлежащее Q, и последовательность функций yn (x)стремится к y(x) равномерно на I; 3) имеют место оценки|y(x) − yn (x)| 6|y(x) − yn (x)| 6Rxx0nM (u)du + max |y0 (u) − y0 | Zxx0 6u6x k(u)du ,n!x0Zxx0Rxeξk(u)duk(ξ)|yn (ξ) − yn−1 (ξ)|dξ.202Гл. II. Линейные дифференциальные уравнения. .
.[53П р и м е р. Рассмотрим задачуy ′ = x2 + y 2 ,y|x=0 = 0.(34)В качестве B возьмем замкнутую область, определяемую неравенствами0 6 x 6 x1и0 6 |y| 6 Ax3 ,где положительные числа x1 и A — пока не определены. При этомM (x) = x2 + A2 x6при0 6 x 6 x1 .Область Q определяется равенствами0 6 x 6 x1 ,0 6 |y| 6x7x3+ A2 ,37и принадлежность Q к B равносильна неравенствуx41+ A2 1 6 A.37Для того чтобы при данном x1 существовало A, удовлетворяющее этомунеравенству, необходимо и достаточно, чтобы квадратное уравнение1x41 2x −x+ = 073qимело вещественные корни, и для x1 получаем оценку x1 6 4 21=41, 51 . .
., т. е. на промежутке 0 6 x 6 1, 51 существует решение задачи(34), и оно может быть получено методом последовательных приближений.Можно показать, что решение имеет асимптоту x = h, где h < 2, 005.53. Сходимость метода Эйлера-Коши. Вернемся к задаче (18),(19) при указанных в [51] условиях, налагаемых на функцию f (x, y), и кпрямоугольнику Q, определяемому неравенствами (21).Проведем через центр этого прямоугольника в сторону возрастающих x прямые AB и AC с угловыми коэффициентами M и (−M ) [см.обозначение (22)] (рис.
19). Высота AD треугольника S с вершинамиbb. Для определенности считаем, что M< a такABC равна, очевидно, Mbимеется решение y(x) задачи (18),что на промежутке x0 6 x 6 x0 + M(19).53]§ 5. Дополнительные сведения по теории дифференциальных.
. .203Применим к этому промежутку метод Эйлера-Коши из [7]. Пустьзадано ε > 0. В силу непрерывности f (x, y), в Q существует такое числоδε , что|f (x′ , y ′ ) − f (x, y)| 6 εпри′|x − x| 6 δε(35)и|y ′ − y| 6 δε ,причем точки (x, y) и (x′ , y ′ ) считаются принадлежащими Q. При разбиbна частиении промежутка x0 6 x 6 x0 + Mx0 < x1 < x2 < .
. . < xn−1 < xn = x0 +считаем, чтоbMδε.max |xk − xk−1 | 6 min δε ,M(36)(37)Метод Эйлера-Коши приводит к следующей схеме для вычисления ординат ломаной линии lε , соответствующих абсциссам xk [7]:y1 = y0 + f (x0 , y0 )(x1 − x0 ),y2 = y1 + f (x1 , y1 )(x2 − x1 ),.................................... (38)yk = yk−1 + f (xk−1 , yk−1 )(xk − xk−1 ), .................................... yn = yn−1 + f (xn−1 , yn−1 )(xn − xn−1 ).Первое из этих равенств дает|y1 − y0 | 6 |f (x0 , y0 )|(x1 − x0 ) 6 M (x1 − x0 ),откуда следует, что точка (x1 , y1 ) принадлежит треугольнику S.
Ему жепринадлежит и весь отрезок ломаной lε , соединяющий точки (x0 , y0 ) и(x1 , y1 ). Аналогично два первых равенства (38) даютy2 − y0 = f (x0 , y0 )(x1 − x0 ) + f (x1 , y1 )(x2 − x1 )и|y2 − y0 | 6 M (x1 − x0 ) + M (x2 − x1 ) = M (x2 − x0 ),204Гл. II. Линейные дифференциальные уравнения. . .[53откуда следует, что и точка(x2 , y2 ) вместе с отрезком, соединяющим (x1 , y1 ) и (x2 , y2 ), принадлежат S. Продолжая так и далее, убедимся в том, что вся ломаная, построенная на разбиенииb,(36) промежутка x0 , x0 + Mпри соблюдениях условия (37)принадлежит S. Обозначим через y = yε (x) уравнение этойРис.
19ломаной. Производная функцииyε′ (x) постоянна внутри каждого частичного промежутка xk−1 < x < xk ,а в точках x = xk имеет, вообще говоря, разрыв первого рода. Мы имеем,в силу (38),yε (x) = yε (xk−1 ) + f [xk−1 , yε (xk−1 )](x − xk−1 )приxk−1 < x < xkиyε′ (x) = f (xk−1 , yε (xk−1 ))приxk−1 < x < xk .Из очевидной формулыyε′ (x) − f [x, yε (x)] = f [xk−1 , yε (xk−1 )] − f [x, yε (x)]приxk−1 < x < xk ,в силу (35) и (37) получаем|yε′ (x) − f [x, yε (x)]| 6 εприxk−1 < x < xkдля k = 1, 2, .
. . , n, и, интегрируя разность, стоящую под знаком абсоb, получаемлютного значения от x0 до x, где x0 < x 6 M|yε (x) − y0 −Zxf [t, yε (t)]dt| 6 ε(x − x0 ).x0Для точного решения y(x) задачи (18), (19) мы имели формулу (20).Вычитаем из выражения, стоящего под знаком абсолютного значения,величинуZxy(x) − y0 − f [t, y(t)]dt,x053]§ 5.
Дополнительные сведения по теории дифференциальных. . .205равную нулю:|yε (x) − y(x) +Zx{f [t, y(t)] − f [t, yε (t)]}dt| 6 ε(x − x0 )x0при x0 6 x 6 x0 +bM. Обозначая rε (x) = |y(x) − yε (x)|, получаемrε (x) 6 |Zx{f (t, y(t) − f [t, yε (t)]}dt| + ε(x − x0 ).x0Точки (x, yε (x)) и (x, y(x)) при x0 6 x 6применить неравенство Липшица (24)rε (x) 6 kZxbMпринадлежат Q, и мы можемrε (t)dt + ε(x − x0 ).x0Если положитьR(x) =Zxrε (t)dt,x0то последнее неравенство принимает видR′ (x) − kR(x) 6 ε(x − x0 ).Умножая обе части на e−k(x−x0 ) и интегрируя по x от x0 до x, придем коценкеεεR(x) 6 − 2 [1 + k(x − x0 )] + 2 ek(x−x0 ).kkПодставляя в правую часть (39) вместо интеграла правую часть последнего неравенства, придем к окончательному неравенствуrε (x) 6ε k(x−x0 )[e− 1],kто есть|y(x) − yε (x)| 6ε k(x−x0 )[e− 1],kx0 6 x 6 x0 +b.M(40)Это — оценка между истинным решением задачи (18), (19) и приближенным его решением по методу Эйлера–Коши.
Число ε > 0 можно задаватьпроизвольно, но при уменьшении ε приходится прибегать к более мелким206Гл. II. Линейные дифференциальные уравнения. . .[54bподразделениям промежутка x0 6 x 6 Mна части. Оценка (40) имеетb6 x 6 x0 при замене x − x0 наместо, очевидно, и на промежутке x0 − M|x − x0 |.bb6 a. При a 6 M, рассуждения по суМы рассмотрели случай Mществу те же. Аналогичные рассуждения могут быть проведены и длясистемы уравнений. Можно показать, что указанная выше сходимостьметода Эйлера–Коши имеет место на всяком замкнутом промежутке,принадлежащем промежутку существования этого решения.54.
Особые точки дифференциальных уравнений первого порядка. Если правая часть уравненияy ′ = f (x, y)в точке (x0 , y0 ) и ее окрестности есть непрерывная функция, имеющая непрерывную производную по y, то через эту точку по теоремеА [2] проходит одна и только одна интегральная кривая. Если этиусловия не выполняются, то такое утверждение может и не иметьместа. Напишем дифференциальное уравнение в форме, содержащей дифференциалыdydx=,P (x, y)Q(x, y)(41)и положим, что P (x, y) и Q(x, y) — функции однозначные, непрерывные и имеющие непрерывные производные по x и y на всейплоскости XOY . Если P (x0 , y0 ) 6= 0, то уравнение (41) запишем ввидеQ(x, y)dy=(421 )dxP (x, y)и при соблюдении указанных условий точка (x0 , y0 ) будет находиться внутри некоторой области B теоремы А для уравнения (421 ).Если P (x0 , y0 ) = 0, но Q(x0 , y0 ) 6= 0, то уравнение (41) запишем ввидеP (x, y)dx=(422 )dyQ(x, y)и относительно точки (x0 , y0 ) можем утверждать то же, что и вышедля уравнения (421 ).
Особыми точками уравнения (41) назовем те54]§ 5. Дополнительные сведения по теории дифференциальных. . .207точки, координаты которых суть вещественные решения системыуравненийP (x, y) = 0, Q(x, y) = 0.(43)В таких точках уравнение (41) теряет смысл.Таким образом, мы толкуем уравнение (41) как или уравнение(421 ), или уравнение (422 ) [см. 2].В следующем параграфе мы заменим (41) системойdx= P (x, y),dtdy= Q(x, y)dt(44)и приведем в общих чертах исследование этой системы.
Мы будемпользоваться этим приемом, как удобным практическим приемом, ив примере, к разбору которого мы переходим. Положим, что P (x, y)и Q(x, y) — многочлены первой степени, и особая точка находитсяв начале координат, т. е. уравнение (41) имеет видdxdy=,a11 x + a12 ya21 x + a22 y(45)a11 a22 − a12 a21 6= 0.(46)гдеПри этом прямые a11 x + a12 y = 0 и a21 x + a22 y = 0 пересекаются вточке (0, 0), и все точки, кроме (0, 0), принадлежат области теоремысуществования и единственности уравнения (421 ) или (422 ).Уравнение (45), как нетрудно видеть, есть однородное уравнение, и может быть проинтегрировано способом, указанным в [5].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
