1610915346-ca3c42683bad539de2fd15cb675d150f (824739), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Оценивая интеграл, как это мы делали выше, получим, в силу (141 ),|y(ξ) − Y (ξ)| < 2M δ(ξ − x0 ),откуда, пользуясь (14), а также тем, что ξ, принадлежит промежутку I1 ,δ < 2M l1 δ,то есть δ < θδ,а последнее неравенство нелепо, ибо, по условию, 0 < θ < 1.Итак, нами доказано, что решения y, z и Y , Z должны совпадатьна промежутке x0 6 x 6 x0 + l1 , где 2M l1 < 1. Выбирая значения y,z при x = x0 + l1 в качестве начальных условий, повторяем доказательство единственности для промежутка x0 + l1 6 x 6 x0 + l1 + l2 ,где 2M l2 < 1. Покрывая, таким образом, часть промежутка I, лежащего справа от x0 , несколькими промежутками длины l1 илименьшей (последний из покрывающих промежутков), можем утверждать совпадение решений на всей части I, лежащей справа от x0 .Аналогично поступаем и для части, лежащей слева от x0 .
Формулируем теперь окончательный результат: система (1) при начальных условиях (2) имеет одно определенное решение, которое существует в промежутке I, в котором коэффициенты системы(1) непрерывные функции, и это решение может быть полученопо методу последовательных приближений.188Гл. II. Линейные дифференциальные уравнения. . .[50Отметим, что при вычислении первого приближения y1 (x) иz1 (x) мы можем в формулах (4) заменить под знаком интегралаy0 и z0 любыми функциями y0 (x) и z0 (x) непрерывными на промежутке I. Все последующее доказательство сохраняется. Не останавливаясь на доказательстве, приведем две оценки для абсолютноразного значения разностей y(x)−yn (x) и z(x)−zn (x) при y0 (x) ≡ y0и z0 (x) ≡ z0 :|y(x) − yn (x)| + |z(x) − zn (x)| 6"6 e2M(x−x0 )#nX[2M (x − x0 )]k(|y0 | + |z0 |),−k!k=1|y(x) − yn (x)| + |z(x) − zn (x)| 6Zx6 M e2M(x−u) [|yn (u) − yn−1 (u)| + |zn (u) − zn−1 (u)|]dux0(x > x0 ).Для использования второй оценки надо знать оценку квадратнойскобки, стоящей под знаком интеграла.Указанный выше результат, касающийся существования и единственности решения, а также сходимости метода последовательныхприближений, справедлив и в том случае, когда I есть открытыйпромежуток c < x < d, ибо, в силу указанного выше, мы будемиметь существование и единственность решения во всяком конечном замкнутом промежутке a 6 x 6 b содержащем значение x0 ипринадлежащем промежутку I.Мы могли бы рассматривать и неоднородную систему, т.
е. прибавить к правым частям уравнений (1) функции f1 (x) и f2 (x) непрерывные в промежутке I, или общую линейную систему n уравненийс n искомыми функциямиnXdyi=pik (x)yk + fi (x)dxk=1(i = 1, 2, . . . , n),50]§ 5. Дополнительные сведения по теории дифференциальных. . .189(0)yi |x=x0 = yi .Предыдущее доказательство при этом остается в силе.Линейное уравнение второго порядкаy ′′ + p(x)y ′ + q(x)y = 0(15)может быть написано в виде системы, если ввести, кроме y, искомую функцию z = y ′ :dy= z,dxdz= −p(x)z − q(x)y,dxи таким образом высказанный выше результат справедлив и дляуравнения (15) при начальных условияхy|x=x0 = y0 ,y ′ |x=x0 = y0′(16)в промежутке I непрерывности коэффициентов p(x) и q(x).Пользуясь условиями (16), можем переписать уравнение (15) ввидеZx Zxy = y0 + y0′ x − dx [p(x)y ′ + q(x)y]dx,(17)x0x0причем двукратный интеграл можно заменить простым по формуле(22) из [17].
Равенство (17) дает возможность применять метод последовательных приближений к уравнению (15) и не приводя этогоуравнения к системе.П р и м е р. Применим метод последовательных приближений к примеру, рассмотренному нами в [46]:y ′′ − xy = 0.Возьмем начальные условия y|x=0 = 1 и y ′ |x=0 = 0. Уравнение (17) вданном случае будетZxZxy = 1 + dx xydx.00190Гл. II.
Линейные дифференциальные уравнения. . .[51Подставляя справа y = 1, получим второе приближениеy1 (x) = 1 +Zx0dxZxxdx = 1 +0x3.2·3Третье приближение будетy2 (x) = 1 +Zx0dxZx x6x3x3dx = 1 ++.x 1+2·32·32·3·5·60Переходя к пределу, получим степенной рядy =1+1 3 1·4 6 1·4·7 9x +x +x + ...,3!6!9!который мы имели в [46]. Коэффициент (−x) есть непрерывная функцияна бесконечном промежутке −∞ < x < +∞, и написанный ряд сходитсяв этом промежутке. Это легко проверить, пользуясь признаком Даламбера [I, 121].51.
Случай нелинейного уравнения. Метод последовательных приближений применим и для нелинейных уравнений, но окончательный результат будет при этом несколько иным. Для простоты будем рассматривать сначала одно уравнение первого порядкаy ′ = f (x, y)(18)y|x=x0 = y0 .(19)с начальным условиемПредполагается, что функция f (x, y) однозначна, непрерывна иимеет непрерывную производную по y в некоторой открытой области B (область, к которой не причисляется граница) плоскостиXOY , причем точка (x0 , y0 ) принадлежит B.
В дальнейшем, прирассмотрении непрерывных функций y(x), определенных на некотором промежутке I изменения x, мы будем считать, что точкис координатами x, y(x), при изменении x на I, принадлежат B, иy(x) имеет производную. У такого решения y = y(x) уравнения (18)производная y ′ (x) непрерывна на I [ср. 1].51]§ 5. Дополнительные сведения по теории дифференциальных.
. .191Если I содержит точку x и y(x) есть решение задачи (18), (19),то y(x) есть решение интегрального уравненияy(x) = y0 +Zxf [t, y(t)]dt(x из I),(20)x0и, наоборот, если y(x) есть непрерывное на I решение этого интегрального уравнения, то y(x) есть и решение задачи (18), (19) на I[50].Выберем положительные числа a и b так, чтобы прямоугольникQ плоскости XOY , определяемый неравенствами (рис. 18)x0 − a 6 x 6 x0 + a,y0 − b 6 y 6 y0 + b,(21)принадлежал B. Поскольку(x,y),функции f (x, y) и ∂f ∂yпо предположению, непрерывны в замкнутом прямоугольнике Q, они ограничены по абсолютной величине,т.
е. существуют такие положительные числа M и k, что|f (x, y)| 6 M,(22) ∂f (x, y) ∂y 6 k,Рис. 18(23)если (x, y) принадлежит Q. Отметим, что если концы (x1 , y1 ) и(x1 , y2 ) отрезка, параллельного оси OX, принадлежат Q, то и всеего точки принадлежат Q. Применяя формулу конечных приращений и учитывая (23), получим неравенство|f (x1 , y2 ) − f (x1 , y1 )| 6 k|y2 − y1 |,(24)если (x1 , y1 ) и (x1 , y2 ) принадлежат Q.
Это неравенство, обычно называемое неравенством Липшица, будет использовано в дальней-192Гл. II. Линейные дифференциальные уравнения. . .[51шем. Вычисление последовательных приближений будем производить по формулам, аналогичным (4) и (5):Zxy1 (x) = y0 + f (t, y0 )dt,x0. . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .(25)Zxyn (x) = y0 + f [t, yn−1 (t)]dt,x0..............................При вычислении по этим формулам надо прежде всего позаботиться о том, чтобы точки с абсциссами x и ординатами yn (x) не вышли из прямоугольника Q, определяемого условиями (21). Первоеиз них дает для x неравенство|x − x0 | 6 a,а второе сводится к неравенству|yn (x) − y0 | 6 b.(26)Для того чтобы это неравенство выполнялось при всяком n, надо подчинить x, кроме уже поставленного условия |x − x0 | 6 a,b, и окончательно получим два услоеще условию |x − x0 | 6 Mвия:|x − x0 | 6 a,|x − x0 | 6b.M(27)Покажем, что при этом все приближения будут удовлетворятьусловию (26).
Первое приближение даетy1 (x) − y0 =Zxx0f (t, y0 )dt,51]§ 5. Дополнительные сведения по теории дифференциальных. . .193и, оценивая, как всегда, интеграл, получим в силу (22):|y1 (x) − y0 | 6 M |x − x0 |,откуда, в силу второго из условий (27), |y1 (x) − y0 | 6 b, т. е. неравенство (26) выполнено при n = 1. Кроме того, очевидно, функция y1 (x), определяемая предыдущей формулой, непрерывна присоблюдении условий (27). Убедившись во всем этом, сможем вычислить y2 (x) по формуле (25) при n = 2:y2 (x) − y0 =Zxf [t, y1 (t)]dt,x0откуда, как и выше,|y2 (x) − y0 | 6 M |x − x0 | 6 Mb= b,Mт.
е. неравенство (26) выполнено и при n = 2, и, очевидно, y2 (x) —непрерывная функция при соблюдении условий (27) и т. д. Такимобразом, мы сможем определять последовательные приближенияyn (x) в промежутке (x0 − c, x0 + c) где, в силу (27), c есть наиb. Назовем этот промежуток через I.меньшее из двух чисел: a и MВсе yn (x) суть непрерывные функции в I, и во всех дальнейшихрассуждениях мы будем считать, что x принадлежит I.Проведем теперь оценку разностей yn (x) − yn−1 (x), причем дляпростоты будем считать x − x0 > 0 как это мы делали и в предыдущем.
Первое из уравнений (25), в силу (22), дает|y1 (x) − y0 | 6 M (x − x0 ).(28)Берем второе из уравнений (25) при n = 2 и вычитаем почленноиз первогоy2 (x) − y1 (x) =Zxx0{f [t, y1 (t)] − f (t, y0 )}dt,194Гл. II. Линейные дифференциальные уравнения. . .[51откуда [I, 95]|y2 (x) − y1 (x)| 6Zxx0|f [t, y1 (t)] − f (t, y0 )|dt,или, в силу (24),|y2 (x) − y1 (x)| 6Zxx0k|y1 (t) − y0 |dt.Пользуясь неравенством (28), получим далее|y2 (x) − y1 (x)| 6 kMZxx0(t − x0 )dt = kM(t − x0 )22!t=x,t=x0и окончательно|y2 (x) − y1 (x)| 6 kM(x − x0 )2.2!(29)Далее, написав вторую из формул (25) при n = 2 и n = 3 ипроизводя почленное вычитание, получимy3 (x) − y2 (x) =Zxx0{f [t, y2 (t)] − f [t, y1 (t)]}dt.Пользуясь неравенствами (24) и (29), получим отсюда, как ивыше,(x − x0 )3|y3 (x) − y2 (x)| 6 k 2 M3!и, продолжая так дальше, придем к общему неравенству|yn (x) − yn−1 (x)| 6M [k(x − x0 )]n.kn!(30)Если справа разность (x − x0 ) заменить на |x − x0 |, то неравенство будет справедливо для всех x из I (справа и слева от x0 ).
Но51]§ 5. Дополнительные сведения по теории дифференциальных. . .195при x из I мы имеем |x − x0 | 6 a, так что для всех x из I имеемоценкуM (ka)n,|yn (x) − yn−1 (x)| 6k n!из которой, как и в [50], следует, что yn (x) стремятся при n → ∞равномерно относительно x на промежутке I к предельной функции y(x). Эта функция непрерывна на I и удовлетворяет неравенству |y(x) − y0 | 6 b, которое следует из (26).
Таким образом, точки с абсциссами x и ординатами y(x) принадлежат прямоугольнику Q при изменении x на I. В силу непрерывности f (x, y)имеемlim f [t, yn (t)] = f [t, y(t)] (t из I).n→∞Нетрудно видеть, что этот предельный переход имеет место равномерно от отношению к t в промежутке I. Действительно, прилюбом заданном ε > 0 существует, в силу равномерной непрерывности f (x, y) в Q, такое δ > 0, что |f (x′′ , y ′′ ) − f (x′ , y ′ )| 6 ε, если(x′ , y ′ ), (x′′ , y ′′ ) такие точки из Q, что |x′′ −x′ | 6 δ и |y ′′ −y ′ | 6 δ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
