1610915346-ca3c42683bad539de2fd15cb675d150f (824739), страница 25
Текст из файла (страница 25)
е. ток одной из цепейсоздает магнитное поле, индуктирующее электродвижущую силу другой цепи. Если i1 и i2 — силы токов в цепях, то для первой цепи ин21, а для второй M di,дуктированная электродвижущая сила будет M didtdtгде M — постоянный коэффициент взаимной индукции. Если мы предположим, что ни в одной из цепей нет источника тока, то уравнениябудутL1di11d2 i2d2 i1+ R1+i1 + M 2 = 0,2dtdtC1dt(170)Md2 i2di21d2 i1+ L2 2 + R2+i2 = 0,2dtdtdtC2(171)где L1 , R1 , C1 — коэффициент самоиндукции, сопротивление и емкостьпервой цепи, а L2 , R2 , C2 — те же величины для второй цепи.Покажем на примере этой системы, каким образом можно, не вводявспомогательной функции V , исключить одну из неизвестных функцийи составить одно дифференциальное уравнение четвертого порядка с одной неизвестной функцией.2Определяя из уравнения (171) ddti22 и подставляя полученное выражение в уравнение (170), получим уравнение(L1 L2 − M 2 )di1L2di2Md2 i1+ L2 R1+i1 − R2 M−i2 = 0.dt2dtC1dtC2(172)2Дифференцируя это уравнение и заменяя M ddti22 его выражениемd2 i1di11d2 i2= −L1 2 − R1−i12dtdtdtC1из уравнения (170), получимM(L1 L2 − M 2 )d2 i1d3 i1+ (L1 R2 + L2 R1 ) 2 +3dtdtL2di1+ R1 R2+C1dtR2M di2+i1 −= 0.C1C2 dt(173)(174)44]§ 3.
Общая теория и уравнения с постоянными коэффициентами161Наконец, дифференцируя это уравнение еще раз и заменяя опятьMвыражением (173), придем к линейному уравнению четвертогопорядка для i1 :d2 i2dt2(L1 L2 − M 2 ) 2d3 i1L1L2d i1d4 i1+(LR+LR)+++RR+122112dt4dt3C2C1dt2R2 di11R1++i1 = 0. (175)+C2C1 dtC1 C2Если бы мы стали исключать i1 , то для i2 получили бы совершенотакое же уравнение четвертого порядка. Соответствующее ему характеристическое уравнение будет(1 − k2 )r 4 + 2(g1 + g2 )r 3 + (n21 + n22 + 4g1 g2 )r 2 ++ 2(g1 n22 + g2 n21 )r + n21 n22 = 0,(176)где для краткости мы положилиk= √M,L1 L2n1 = √1,L1 C1n2 = √1,L2 C2g1 =R1,2L1g2 =R2.2L2Уравнение (176) можно переписать в виде(r 2 + 2g1 r + n21 )(r 2 + 2g2 r + n22 ) − k2 r 4 = 0.(177)Если бы магнитной связи между цепями не было, то мы должны были быв уравнениях (170) и (171) положить M = 0 и получили бы два отдельныхуравнения, определяющих явления разряда в цепяхdi1d2 i1+ 2g1+ n21 i1 = 0dt2dtиdi2d2 i2+ 2g2+ n22 i2 = 0.dt2dt(178)Обыкновенно обе цепи бывают колебательными, иначе говоря, характеристические уравнения, соответствующие дифференциальным уравнениям (178)r 2 + 2g1 r + n21 = 0 и r 2 + 2g2 r + n22 = 0,(179)имеют комплексные корни, т.
е. g12 − n21 < 0 и g22 − n22 < 0, или1R1< √2L1L1 C1или иначеR1<2rL1C1иR21,< √2L2L2 C2иR2<2rL2.C2162Гл. II. Линейные дифференциальные уравнения. . .[44Уравнение (177) при k = 0 дает две пары комплексных сопряженныхкорней [корни уравнений (179)], и при небольших значениях M , каковыеобычно и встречаются на практике, уравнение (177) будет также иметьдве пары комплексных сопряженных корней с отрицательными вещественными частями: r1,2 = −a ± bi и r3,4 = −c ± di, и общее выражениедля i1 будетi1 = C1 e−at cos bt + C2 e−at sin bt + C3 e−ct cos dt + C4 e−ct sin dt.Заметим, что, зная i1 , мы можем получить i2 уже без всяких квад2; подставратур.
Действительно, из уравнения (174) мы определим didtляя найденное выражение в уравнение (172), получим уравнение первойстепени относительно i2 . Выражение i2 будет содержать члены того жевида, что и i1 , с коэффициентами, которые будут линейными комбинациями постоянных C1 , C2 , C3 и C4 .Если пренебречь сопротивлениями, т. е. считать g1 = g2 = 0 и, крометого, считать, что цепи настроены на одну и ту же частоту, т. е. n1 =n2 = n, то уравнение (177) будет(1 − k2 )r 4 + 2n2 r 2 + n4 = 0,откудаr2 =иn2−n2 ± kn2=−,21−k1±k√nni, r3,4 = ± √i (i = −1).1+k1−kЭтим чисто мнимым корням соответствует решение в виде тригонометрических функций. Таким образом, при магнитной связи цепей,настроенных на одинаковую частоту, возникают два колебания, частотыкоторых зависят от общей частоты n цепей и постоянной k, характеризующей магнитную связь следующим образом:r1,2 = ± √n′ = √n,1+kn′′ = √n.1−k45]§ 4.
Интегрирование с помощью степенных рядов163§ 4. ИНТЕГРИРОВАНИЕ С ПОМОЩЬЮСТЕПЕННЫХ РЯДОВ45. Интегрирование линейного уравнения с помощьюстепенного ряда. Решения линейного уравнения с переменными коэффициентами выше первого порядка, как мы уже говорили, не выражаются, вообще говоря, через элементарные функции,и интегрирование такого уравнения не приводится, вообще говоря, к квадратурам. Наиболее употребительным приемом являетсяпредставление искомого решения в виде степенного ряда, о чем мыуже говорили [15]. Этот прием является особенно удобным именно в применении к линейным дифференциальным уравнениям.
Мыограничимся рассмотрением уравнения второго порядкаy ′′ + p(x)y ′ + q(x)y = 0.(1)Положим, что коэффициенты p(x) и q(x) представляются в видерядов, расположенных по целым положительным степеням x, такчто уравнение имеет видy ′′ + (a0 + a1 x + a2 x2 + . .
.)y ′ + (b0 + b1 x + b2 x2 + . . .)y = 0.(2)Обращаем внимание на то, что коэффициент при y ′′ мы считаемравным единице.Будем искать решение уравнения (2) также в виде степенногоряда∞Xy=αs xs .(3)s=0Подставив это выражение y и его производных в уравнение (2),находим∞Xs=2s(s − 1)αs xs−2 +∞Xs=0as xs∞Xs=1sαs xs−1 +∞Xs=0bs xs∞Xαs xs = 0.s=0Перемножая степенные ряды, собирая подобные члены и приравнивая нулю коэффициенты при различных степенях x в левой164Гл.
II. Линейные дифференциальные уравнения. . .[45части написанного равенства, получим ряд уравненийx0 2 · 1α2 + a0 α1 + b0 α0 = 0,1x 3 · 2α3 + 2a0 α2 + a1 α1 + b0 α1 + b1 α0 = 0,2 x 4 · 3α4 + 3a0 α3 + 2a1 α2 + a2 α1 + b0 α2 + b1 α1 + b2 α0 = 0, (4). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xs (s + 2)(s + 1)αs+2 + Qs (α0 , α1 , α2 , . . . , αs+1 ) = 0,. .........................................................Через Qs (α0 , α1 , α2 , . . . , αs+1 ) мы обозначили однородный многочлен первой степени от аргументов α0 , α1 , α2 , . . . , αs+1 .Каждое последующее из написанных уравнений содержит одним искомым коэффициентом больше предыдущего. Коэффициенты α0 и α1 остаются произвольными и играют роль произвольныхпостоянных. Первое из уравнений (4) дает α2 , а затем второе дает α3 , третье α4 и т. д., и вообще из (s + 1)-го уравнения можноопределить αs+2 , зная предыдущие α0 , α1 , α2 , .
. . , αs+1 .При этом удобно поступить следующим образом. Определим вышеуказанным способом два решения y1 и y2 , причем для первогорешения примем α0 = 1 и α1 = 0 и для второго α0 = 0 и α1 = 1,что равносильно следующим начальным условиям:y1′ |x=0 = 0,y1 |x=0 = 1,y2′ |x=0 = 1.y2 |x=0 = 0,Всякое решение уравнения будет линейной комбинацией этихрешений, и если начальные условия имеют видy|x=0 = A,y ′ |x=0 = B,то, очевидно,y = Ay1 + By2 .Выше мы показали, что путем формальных вычислений можно постепенно определять коэффициенты степенного ряда (3). Ноостается открытым вопрос о том, будет ли таким образом построенный степенной ряд сходящимся и будет ли он давать решение45]§ 4.
Интегрирование с помощью степенных рядов165уравнения. В томе III мы дадим доказательство следующего предложения: если рядыp(x) =∞Xas xs ,q(x) =s=0∞Xbs xss=0сходятся при |x| < R, то при этих значениях x построенный указанным выше образом степенной ряд будет также сходящимся иявится решением уравнения (2). В частности, если p(x) и q(x) —многочлены от x, то найденный степенной ряд будет сходитьсяпри любом значении x.Во многих случаях линейное уравнение имеет видP0 (x)y ′′ + P1 (x)y ′ + P2 (x)y = 0,(5)где P0 (x), P1 (x), P2 (x) — многочлены от x. Чтобы привести его квиду (1), надо разделить обе части уравнения на P0 (x), так что вэтом случае надо считатьp(x) =P1 (x),P0 (x)q(x) =P2 (x).P0 (x)(6)Если свободный член многочлена P0 (x) отличен от нуля, т.
е.P0 (0) 6= 0, то, производя деление многочленов, расположенных повозрастающим степеням x, можно представить p(x) и q(x) в видестепенных рядов, и решение уравнения (5) также можно искать ввиде степенного ряда. При этом нет необходимости приводить уравнение (5) к виду (1), но проще непосредственно подставить выражение (3) для y в левую часть уравнения (5) и затем применитьспособ неопределенных коэффициентов.До сих пор мы рассматривали лишь степенные ряды, расположенные по целым положительным степеням x. Вместо этого можнобыло бы пользоваться рядами, расположенными по степеням разности (x − a).Все сказанное выше, очевидно, применяется и к линейным уравнениям выше второго порядка. Только в этом случае при отыскании решения в виде степенного ряда остаются неопределенными непервые два коэффициента, но число их, равное порядку уравнения.166Гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
