1610915346-ca3c42683bad539de2fd15cb675d150f (824739), страница 23

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 23)

е. будут просто произвольные постоянные Cs , и общее решениеуравнения будет иметь видx = C1 er1 t + C2 er2 t + . . . + Cn ern t .Среди корней уравнения (121), коэффициенты которого мы считаем вещественными, могут быть и комплексные. Соответствующиеим слагаемые в решении (127) нетрудно привести к вещественномувиду, преобразуя показательные функции в тригонометрические.Положим, что уравнение (121) имеет пару мнимых сопряженныхкорней (γ ± δi) кратности k. Им соответствует решение видаe(γ+δi)t Sk−1 (t) + e(γ−δi)t Tk−1 (t) = eγi [eδti Sk−1 (t) + e−δti Tk−1 (t)],где Sk−1 (t) и Tk−1 (t) — многочлены степени (k−1) с произвольнымикоэффициентами.

Подставивeδti = cos δt + i sin δt,e−δti = cos δt − i sin δt,получим решение видаeγt [Uk−1 (t) cos δt + Vk−1 (t) sin δt],где Uk−1 (t) и Vk−1 (t) — многочлены степени (k−1) с произвольнымикоэффициентами, связанные с Sk−1 (t) и Tk−1 (t) формуламиUk−1 (t) = Sk−1 (t) + Tk−1 (t),Vk−1 (t) = i[Sk−1 (t) − Tk−1 (t)].40]§ 3. Общая теория и уравнения с постоянными коэффициентами147Из сказанного вытекает следующее правило [32]: чтобы проинтегрировать уравнение (119), надо составить соответствующееему характеристическое уравнение (121) и найти его корни.

Всякому вещественному корню r = r′ кратности k ′ будет соответствовать решение вида′er t Pk′ −1 (t),где Pk′ −1 (t) — многочлен степени (k ′ − 1) с произвольными коэффициентами; всякой паре мнимых сопряженных корней r = γ ± δiкратности k соответствует решение видаeγt [Uk−1 (t) cos δt + Vk−1 (t) sin δt],где Uk−1 (t) и Vk−1 (t) — многочлены степени (k − 1) с произвольными коэффициентами.

Складывая все таким образом полученныерешения, будем иметь общее решение уравнения (119). В случаепростых корней упомянутые полиномы суть произвольные постоянные.40. Линейные неоднородные уравнения с постояннымикоэффициентами. Линейное неоднородное уравнение имеет видϕ(D)x = f (t),(129)где f (t) — заданная функция. Общий интеграл соответствующегооднородного уравнения мы уже умеем составить, и нам остаетсянайти лишь частное решение уравнения (129), которое и надо прибавить к упомянутом общему интегралу однородного уравнения,чтобы получить общий интеграл уравнения (129) [26].

Можно найтиупомянутое частное решение, пользуясь символическим способом.1на простейшие [I, 196]:Разложим рациональную дробь ϕ(D)mk(q)sXX1As=.ϕ(D) s=1 q=1 (D − rs )qОпределим функцию ξ(t) по формулеξ(t) =ksm XXs=1 q=1(q)Asf (t),(D − rs )q(130)148Гл. II. Линейные дифференциальные уравнения. .

.[40которая имеет вполне определенный смысл, так как, согласно формуле (115) из [38], каждое слагаемое правой части имеет определенный смысл(q)rs tAs(q) ef(t)=As(D − rs )q(q − 1)!Ztt0(t − u)q−1 e−rs u f (u)du.(131)Нетрудно видеть, что формула (130) и дает решение уравнения(129). Действительно,ϕ(D)ξ(t) =ksm XX(q)ϕ(D)s=1 q=1Asf (t).(D − rs )qНо, по определению символа (D − rs )−q , если к правой части (131)(q)применить операцию (D − rs )q , то получится As f (t). Полиномqϕ(D) делится на (D−rs ) , т.

е. ϕ(D) = ϕsq (D)(D−rs )q , где ϕsq (D) —полином, и следовательно, предыдущую формулу можно переписать так:m XksXϕ(D)ξ(t) =A(q)s ϕsq (D)f (t).s=1 q=1Но из разложения1ϕ(D)непосредственно вытекает, чтоksm XXAs(q) ϕsq (D) = 1,s=1 q=1и следовательно, ϕ(D)ξ(t) = f (t), т. е. формула (130) дает действительно решение уравнения (129).

Мы видим, таким образом, что нахождение решения уравнения (129) при любой заданной функцииf (t) приводится к разложению рациональной дроби на простейшиеи к квадратурам.В некоторых частных случаях бывает проще отыскивать частное решение уравнения (129) не по общей формуле (130), а способомнеопределенных коэффициентов, как это мы указывали в [32].Заметим, что пользуясь указанным выше символическим способом, легко получить формулы (71) и (72) из [34].41]§ 3.

Общая теория и уравнения с постоянными коэффициентами14941. Пример. Рассмотрим в качестве примера уравнениеx(IV) + 2x′′ + x = t cos t.(132)Характеристическое уравнение в данном случае будетr 4 + 2r 2 + 1 = 0или(r 2 + 1)2 = 0,(133)и оно имеет пару сопряженных корней r = ±i второй кратности. Общийинтеграл однородного уравнения, соответствующего уравнению (132),будет(C1 t + C2 ) cos t + (C3 t + C4 ) sin t(134)Сравнивая свободный член уравнения с формулой (44) из [32], видим,что в данном случае k = 0, l = 1 и P (t) ≡ t, Q(t) ≡ 0.

Числа k ± li = ±iсовпадают с парой корней второй кратности, так что решение уравнения(132), согласно [30], надо искать в видеx = t2 [(at + b) cos t + (ct + d) sin t].(135)Вычисления будут проще, если мы преобразуем правую часть (132)к показательному виду. Делая это, а также написав левую часть в символической форме, перепишем (132) так:(D2 + 1)2 x =tt ite + e−it .22(136)Решение мы должны будем искать в видеx = t2 (at + b)eit + t2 (ct + d)e−it .(137)Подставляем это выражение в левую часть уравнения(D + i)2 (D − i)2 t2 (at + b)eit + (D + i)2 (D − i)2 t2 (ct + d)−it =t1= eit + e−it .22Выносим eit и e−it за символический полином, согласно правилу (105):eit (D + 2i)2 D2 (at3 + bt2 ) + e−it (D − 2i)2 d2 (ct3 + dt2 ) =tt ite + e−it ,22или, заменяя D2 второй производнойeit (D2 + 4iD − 4)(6at + 2b) + e−it (D2 − 4iD − 4)(6ct + 2d) =tt ite + e−it .22150Гл.

II. Линейные дифференциальные уравнения. . .[42Производим дифференцирование:[−24at + (24ai − 8b)]eit + [−24ct − (24ci + 8d)]e−it =tt ite + e−it .22Отсюда по методу неопределенных коэффициентов−24a =1,224ai − 8b = 0,−24c =1,224ci + 8d = 0,или111, b=i, c = − ,481648Подставляя в (137), получим решениеa=−x=−d=1i.16t3t2cos t −sin t,248(138)и общий интеграл уравнения (132) будетx = (C1 t + C2 ) cos t + (C3 t + C4 ) sin t −t3t2cos t −sin t.248(139)42. Уравнение Эйлера. Это уравнение имеет видtn x(n) + a1 tn−1 x(n−1) + .

. . + an−1 tx′ + an x = 0,(140)где a1 , a2 , . . . , an — постоянные. Мы покажем, что оно приводится куравнению с постоянными коэффициентами, если ввести вместо tновую независимую переменную τ по формулеt = eτ ∗ .(141)Операцию дифференцирования по t будем по-прежнему обозначать символическим множителем D, а дифференцирование по τ —символическим множителем δ. Имеем, очевидно,dx dtdxdx== eτ ,dτdt dτdt∗ Следует заметить что эта подстановка подходит только для t > 0. Рассматривая t < 0, вообще говоря, следует делать замену t = −eτ .42]§ 3. Общая теория и уравнения с постоянными коэффициентами151или, в символических обозначениях,Dx = e−τ δx.(142)Применяя к левой части операцию D, а к правой равносильнуюей операцию e−τ δ, получимD2 x = e−τ δ(e−τ δ)x.Вынося множитель e−τ за знак δ, согласно правилу, выраженномуформулой (111), будем иметьD2 x = e−2τ (δ − 1)δx = e−2τ δ(δ − 1)x.Из этой формулы и формулы (142) подмечаем следующую общуюформулу:Ds x = e−sτ δ(δ − 1) .

. . (δ − s + 1)x.(143)Надо доказать, что если эта формула справедлива для s символических множителей, то она справедлива и для (s + 1) множителей. Применяя к левой части формулы (143), которую мы считаемсправедливой, операцию D, а к правой равносильную ей операциюe−τ δ, получимDs+1 x = e−τ δ[e−sτ δ(δ − 1) . . . (δ − s + 1)x],откуда, вынося e−sτ за знак δ,D(s+1) x = e−τ e−sτ (δ − s)δ(δ − 1) . . .

(δ − s + 1)x == e−(s+1)τ δ(δ − 1) . . . (δ − s + 1)(δ − s)x,что и доказывает справедливость формулы (143) при любом s.Заменяя в этой формуле eτ на t, можем переписать ее в видеts Ds x = δ(δ − 1) . . . (δ − s + 1)x.(144)Таким образом, в результате преобразования (141) всякое слагаемое an−s ts x(s) в левой части уравнения (140) заменяется слагаемымan−1 δ(δ − 1) . . .

(δ − s + 1)x,152Гл. II. Линейные дифференциальные уравнения. . .[42не содержащим независимой переменной τ , и мы получим линейноеуравнение с постоянными коэффициентами[δ(δ − 1) . . . (δ − n + 1) + a1 δ(δ − 1) . . . (δ − n + 2) + . . . ++ an−1 δ + an ]x = 0. (145)Соответствующее ему характеристическое уравнение будетr(r − 1) . . . (r − n + 1) + a1 r(r − 1) . . . (r − n + 2) + . . .

++ an−1 r + an = 0 (146)и общее решение уравнения (145)x = er1 τ Pk1 −1 (τ ) + er2 τ Pk2 −1 (τ ) + . . . + erm τ Pkm −1 (τ ),где rs — корни уравнения (146), ks — кратности этих корней иPks −1 (τ ) — многочлены степени (ks − 1) с произвольными коэффициентами.Пользуясь соотношением (141) и возвращаясь к прежней переменной, получим решение уравнения (140)x = tr1 Pk1 −1 (lg t) + tr2 Pk2 −1 (lg t) + . . . + trm Pkm −1 (lg t).(147)Если все корни уравнения (146) простые, то решение уравнения(140) будетx = C1 tr1 + C2 tr2 + . . . + Cn trn .(148)Уравнение (146), как нетрудно видеть, получается, если непосредственно искать решение уравнения (140) в виде x = tr .Если имеется неоднородное уравнение видаtn x(n) + a1 tn−1 x(n−1) + .

. . + an−1 tx′ + an x = ta P (lg t),(149)где P (lg t) — многочлен от lg t степени p, то, пользуясь преобразованием (141), нетрудно показать, что решение уравнения (149) можноискать в видеx = (lg t)s ta Q(lg t),(150)где Q(lg t) — многочлен степени p от lg t и s — число корней уравнения (146), равных a.43]§ 3. Общая теория и уравнения с постоянными коэффициентами153Вместо уравнения (140) можно рассматривать более общее уравнение вида(ct + d)n x(n) + a1 (ct + d)n−1 x(n−1) + . . . ++ an−1 (ct + d)x′ + an x = 0.

Характеристики

Список файлов книги