1610915346-ca3c42683bad539de2fd15cb675d150f (824739), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Если правая часть имеет видf (x) = ekx [P (x) cos lx + Q(x) sin lx](44)и (k ± li) не суть корни уравнения (43), то и решение надо искать в томже видеy = ekx [P1 (x) cos lx + Q1 (x) sin lx],где степени многочленов P1 (x) и Q1 (x) надо брать равными наибольшейиз степеней многочленов P (x) и Q(x).Если же (k ± li) суть корни (43) кратности s, то к правой части последней формулы надо приписать множитель xs .П р и м е р ы. 1.
Рассмотрим уравнениеy ′′ − 5y ′ + 6y = 4 sin 2x.Соответствующее характеристическое уравнениеr 2 − 5r + 6 = 0имеет корни r1 = 2 и r2 = 3. Общий интеграл однородного уравнениябудетC1 e2x + C2 e3x .(45)Частное решение надо искать в видеy = a1 cos 2x + b1 sin 2x.Подставляя в уравнение, получим(2a1 − 10b1 ) cos 2x + (10a1 + 2b1 ) sin 2x = 4 sin 2x,что дает2a1 − 10b1 = 0,10a1 + 2b1 = 4,122Гл.
II. Линейные дифференциальные уравнения. . .откуда a1 =513иb=1,13[33т. е. частное решение будетy=51cos 2x +sin 2x.1313Складывая его с (45), получим общий интеграл уравнения.2. Возьмем уравнение четвертого порядкаy IV − 2y ′′′ + 2y ′′ − 2y ′ + y = x sin x.Соответствующее характеристическое уравнениеr 4 − 2r 3 + 2r 2 − 2r + 1 = 0может быть представлено в виде(r 2 + 1)(r − 1)2 = 0и имеет двойной корень r1 = r2 = 1 и пару мнимых сопряженных r3,4 =±i. Общий интеграл однородного уравнения будет(C1 + C2 x)ex + C3 cos x + C4 sin x.Сравнивая свободный член с формулой (44), видим, что в данном случаеk = 0, l = 1 и k ± li = ±i суть простые корни характеристическогоуравнения, так что частное решение надо искать в видеy = x[(ax + b) cos x + (cx + d) sin x] = (ax2 + bx) cos x + (cx2 + dx) sin x,где a, b, c, d — искомые коэффициенты.33.
Линейные уравнения и колебательные явления. Выясним значение линейных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами при рассмотрении колебательных явлений.В дальнейшем мы изменим обозначения и будем часто обозначатьнезависимую переменную через t (время), а функцию — через x.Рассмотрим вертикальные колебания подвешенного на пружинетела массы m около положения равновесия, в котором вес тела вточности уравновешивается упругой силой пружины.Пусть x — расстояние тела по вертикальному направлению отположения равновесия (рис. 15).
Положим, что движение происходит в среде, сопротивление которой пропорционально скорости dxdt .33]§ 3. Общая теория и уравнения с постоянными коэффициентамиНа тело будут действовать следующиесилы: 1) восстанавливающая сила пружины,стремящаяся вернуть тело в положение равновесия, которую мы будем считать пропорциональной удалению x тела от положенияравновесия, и 2) сила сопротивления, пропорциональная скорости и имеющая направление, обратное скорости. Дифференциальное уравнение движения будет123Рис.
15.dxdxd2 xd2 x− cx или m 2 + b+ cx = 0.m 2 = −bdtdtdtdtВ качестве второго примера рассмотрим движение простого маятника длины l в среде с сопротивлением, пропорциональным скорости. Дифференциальное уравнение движения будет, как известноиз механики,d2 θdθ(46)ml 2 = −mg sin θ − b ,dtdtгде θ — угол отклонения маятника от положения равновесия. Рассматривая случай малых колебаний маятника около положенияравновесия, мы можем заменить sin θ самим углом θ, и уравнение(46) приведется к видуdθd2 θ+ b + mgθ = 0.(47)2dtdtЕсли на маятник действует, кроме того, внешняя сила, зависящаяот времени, то вместо уравнения (47) будем иметь уравнение сосвободным членомmldθd2 θ+ b + mgθ = f (t).(48)2dtdtВ обоих рассмотренных случаях движение определяется линейнымдифференциальным уравнением второго порядка с постояннымикоэффициентами.При дальнейшем рассмотрении этого уравнения мы будем писать его в видеdxd2 x+ 2h+ k2 x = 0(49)dt2dtml124илиГл.
II. Линейные дифференциальные уравнения. . .d2 xdx+ 2h+ k 2 x = f (t).2dtdt[33(50)К такому уравнению мы приходим вообще при рассмотрениималых колебаний системы с одной степенью свободы около ее положения равновесия. Член 2h dxdt происходит от сопротивления средыили трения, и h называется коэффициентом сопротивления; членk 2 x происходит от внутренней силы системы, которая стремитсявернуть систему в положение равновесия, и k 2 называется коэффициентом восстановления; свободный член f (t) в уравнении (5)происходит от внешней возмущающей силы, действующей на систему. Уравнение написанного вида встречается не только при рассмотрении колебаний механических систем, но и в разнообразныхфизических вопросах, связанных с колебательными явлениями. Вкачестве примера рассмотрим разряд конденсатора емкости C через цепь с сопротивлением R и коэффициентом самоиндукции L.Обозначая через v напряжение на обкладках конденсатора, будемиметь для цепиdi(51)v = Ri + L ,dtгде i — сила тока в цепи.
Кроме того, известна еще следующая зависимость:dv(52)i = −C .dtПоложим, что в цепи имеется еще источник тока с электродвижущей силой E, которую мы будем считать положительной, еслиона действует в направлении, противоположном i. В этом случаевместо равенства (51) будем иметьv − E = Ri + Ldi.dtПодставляя выражение (52) в написанное уравнение, получим дифференциальное уравнениеLCdvd2 v+ RC+v =Edt2dt34]§ 3. Общая теория и уравнения с постоянными коэффициентами125илиd2 v R dv1E++v=.(53)dt2L dtLCLCСравнивая это уравнение с уравнением (50), видим, что членR dvL dt аналогичен члену, происходящему от сопротивления; член1LC v — члену, происходящему от восстанавливающей силы; свободE— члену от возмущающей силы.ный член LCЕсли найдем v из уравнения (53) и подставим в формулу (52),то сможем определить i.34.
Собственные и вынужденные колебания. Рассмотримоднородное уравнениеx′′ + 2hx′ + k 2 x = 0,(54)соответствующее тому случаю, когда отсутствует внешняя сила.Решение этого уравнения определяет свободные, или, как говорят, собственные колебания. Соответствующее характеристическоеуравнение будетr2 + 2hr + k 2 = 0.(55)Дальнейшее исследование разобьем на отдельные случаи.1. З а т у х а ю щ е е к о л е б а н и е. В большинстве случае коэффициент сопротивления h невелик по сравнению с коэффициентомвосстановления k 2 , так что разность (h2 − k 2 ) есть число отрицательное: h2 − k 2 = −p2 .
В этом случае уравнение (55) имеет мнимыесопряженные корни r1,2 = −h ± pi, и мы имеем общий интегралуравнения (54)x = e−ht (C1 cos pt + C2 sin pt).(56)ПолагаяC1 = A sin ϕ,C2 = A cos ϕ,(57)преобразуем решение (56) к видуx = Ae−ht sin(pt + ϕ),или, полагая p =2πτ ,x = Ae−htsin2πt+ϕ .τ(58)(59)126Гл. II. Линейные дифференциальные уравнения.
. .[34Здесь τ есть период свободных колебаний, A — начальная их амплитуда и ϕ — начальная фаза. Если не принимать в расчет сопротивление среды, т. е. положить h = 0, то уравнение (55) будет иметькорни r = ±ki, и вместо (58) получимx = A sin(kt + ϕ).(60)Это будет чисто гармоническое колебание с периодом τ = 2πk . Формула (59) дает затухающее колебание [I, 59], причем множительe−ht характеризует быстроту затухания. В промежуток времени,равный периоду, амплитуда уменьшается в отношении e−hτ . Значения постоянных C1 и C2 в формуле (56) или, что то же, постоянныхA и ϕ в формуле (58) зависят от начальных условий.
Положим, чтоначальные условия будутx|t=0 = x0 ,x′ |t=0 = x′0 .(61)Подставляя в формулу (56) t = 0, получим C1 = x0 . Дифференцируем формулу (56) по t:x′ = −he−ht (C1 cos pt + C2 sin pt) + pe−ht (−C1 sin pt + C2 cos pt),откуда, подставляя t = 0, получимC2 =x′0 + hx0,p(62)и окончательно решение, удовлетворяющее начальным условиям(61), будетx′ + hx0sin pt .(63)x = e−ht x0 cos pt + 0pЗаметим, что в решении(63) коэффициент затухания h и ча√стота колебания p = k 2 − h2 определяются вполне по коэффициентам уравнения (54).
Что же касается амплитуды A и начальнойфазы ϕ, то они зависят от начальных условий, и, в силу (57), мыможем написать равенстваA sin ϕ = x0 ,A cos ϕ =x′0 + hx0,p34]§ 3. Общая теория и уравнения с постоянными коэффициентами127из которых A и ϕ и определяются. Если h = 0, то везде надо заменить p на k.2. А п е р и о д и ч е с к о е д в и ж е н и е. Если разность (h2 − k 2 )будет положительной:h2 − k 2 = q 2 ,то корни уравнения (55) будутr1 = −h + q,r2 = −h − q,(64)x = C1 e(q−h)t + C2 e−(q+h)t .(65)и мы имеем [28]:При этом очевидно, что q < h, и оба корня (64) отрицательны, апотому x стремится к нулю при беспредельном возрастании t.Дифференцируем равенство (65) по t:x′ = C1 (q − h)e(q−h)t − C2 (q + h)e−(q+h)t .(66)Полагая в равенства (65) и (66) t = 0, получим два уравнения дляопределения постоянных C1 и C2 через начальные данные (61):C1 + C2 = x0 ,(q − h)C1 − (q + h)C2 = x′0 ,откудаC1 =(q + h)x0 + x′0,2qC2 =(q − h)x0 − x′0.2q3.
С п е ц и а л ь н ы й с л у ч а й а п е р и о д и ч е с к о г о д в и ж ен и я. Если, наконец, h2 − k 2 = 0, то уравнение (55) имеет кратныйкорень r1 = r2 = −h и окажется [28]:x = e−ht (C1 + C2 t).(67)Ввиду того, что при беспредельном возрастании t функция te−htстремится к нулю [I, 66], выражение (67) также стремится к нулю.Неоднородное уравнениеx′′ + 2hx′ + k 2 x = f (t),(68)128Гл. II.
Линейные дифференциальные уравнения. . .[35в котором свободный член f (t) происходит от внешней силы, определяет вынужденные колебания. В случае чисто гармоническогособственного колебанияx′′ + k 2 x = f (t)(69)мы имеем общий интеграл этого уравнения [29]:1x = C1 cos kt + C2 sin kt +kZt0f (u) sin k(t − u)du,причем последнее слагаемое справа дает чисто вынужденное колебание, т. е. решение уравнения (69), удовлетворяющее нулевымначальным условиямx|t=0 = x′ |t=0 = 0.(70)Пользуясь тем же методом изменения произвольных постоянных,можно показать, что в том случае, когда собственное колебание естьзатухающее колебание, частное решение, удовлетворяющее начальным условиям (70), будет1x0 (t) = e−htpZt0ehu f (u) sin p(t − u)du,(71)и в апериодическом случае это частное решение будет1x0 (t) = e(q−h)t2qZt0e(h−q)u1f (u)du − e−(q+h)t2qZte(q+h)u f (u)du.0(72)Предоставляем сделать это читателю.35.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
