1610915346-ca3c42683bad539de2fd15cb675d150f (824739), страница 16
Текст из файла (страница 16)
е. два решения y1 и y2 уравнения (1)линейно независимы тогда и только тогда, когда их определительВронского отличен от нуля.25]§ 3. Общая теория и уравнения с постоянными коэффициентами101Отметим еще следующую очевидную формулу для производнойот частного двух решений:ddxy2y1∆(y1 , y2 )e== ∆0y12−Rxp(t)dtx0.y12(7)Она, очевидно, теряет смысл в тех точка, где y1 обращается в нуль.Покажем теперь, что если y1 и y2 — линейно независимых решения уравнения (1), то при надлежащем выборе постоянных C1 иC2 формула (2) дает нам решение уравнения (1), удовлетворяющеелюбым наперед заданным начальным условиямy|x=x0 = y0 ,y ′ |x=x0 = y0′ .(8)′′Опять через y10 , y20 , y10, y20обозначим значения y1 , y2 и ихпервых производных при x = x0 .
Чтобы удовлетворить начальнымусловиям (8), надо определить C1 и C2 , в формуле (2) из системыуравненийC1 y10 + C2 y20 = y0 ,′′C1 y10+ C2 y20= y0′ .Из линейной зависимости y1 и y2 вытекает, что′′∆0 = y10 y20− y20 y106= 0,и следовательно, из написанной системы получим определенныезначения C1 и C2 , что доказывает наше утверждение.Но в силу теоремы существования и единственности [2] всякоерешение уравнения (1) вполне определяется своими начальнымиусловиями, и мы можем поэтому высказать следующее предложение: если y1 и y2 — два линейно независимых решения уравнения(1), то формула (2) дает все решения этого уравнения.Таким образом, задача интегрирования (1) приводится к нахождению его двух линейно независимых решений. Пусть y1 — одно изрешений этого уравнения и y2 — какое-либо его решение.
Интегрируя соотношение (7), получимy2= ∆0y1Ze−Rxx0p(x)dx dxy12или y2 = ∆0 y1Ze−Rxx0p(x)dx dxy12,(9)102Гл. II. Линейные дифференциальные уравнения. . .[26т. е. если известно одно частное решение уравнения (1), то второеего решение может быть получено по формуле (9), где ∆0 — постоянная, которую можно положить и равной единице.Надо сказать, что найти это одно решение в конечном виде илидаже при помощи квадратур в общем случае, когда p(x) и q(x) —функции от x, оказывается невозможным.
Для некоторых частныхслучаев и, между прочим, в том случае, когда p(x) и q(x) сутьпостоянные, а не функции от x, — решения, как мы увидим, получаются в конечном виде.В дальнейшем мы укажем также один способ построения решений, часто применяемый в приложениях, а именно построениерешения в виде бесконечного ряда.26.
Линейные неоднородные уравнения второго порядка. Линейным неоднородным уравнением второго порядка называется уравнение видаu′′ + p(x)u′ + q(x)u = f (x).(10)Если p(x), q(x) и f (x) непрерывны в некотором промежуткеa < x < b, то мы имеем, как будет дальше доказано, совершеннотакую же теорему существования и единственности, что и для однородного уравнения (1). В дальнейшем мы будем рассматриватьрешения уравнения (1) в промежутке непрерывности p(x), q(x) иf (x).Пусть u = u1 есть частное решение этого уравнения, так чтоu′′1 + p(x)u′1 + q(x)u1 = f (x).(11)Введем вместо u новую функцию y:u = y + u1 .(12)Подстановка в уравнение (10) дает[y ′′ + p(x)y ′ + q(x)y] + [u′′1 + p(x)u′1 + q(x)u1 ] = f (x)или, в силу (11),y ′′ + p(x)y ′ + q(x)y = 0.(13)26]§ 3.
Общая теория и уравнения с постоянными коэффициентами103Это последнее уравнение называется однородным уравнением,соответствующим уравнению (10). Если y1 и y2 — его два линейнонезависимых решения, то, согласно формуле (12) и предложениюпредыдущего номера, формулаu = C1 y1 + c2 y2 + u1 ,где C1 и C2 — произвольные постоянные, будет давать все решенияуравнения (10). Свойство это можно формулировать так: общее решение линейного неоднородного уравнения второго порядка равносумме общего решения соответствующего однородного уравненияи какого-либо частного решения неоднородного уравнения.Приведенное выше доказательство, годится, очевидно, и для линейных неоднородных уравнений любого порядка, так что и дляних имеет место высказанное свойство.Зная два линейно независимых решения однородного уравнения(13), можно, как мы сейчас увидим, найти и частное решение уравнения (10), а следовательно, и его общее решение. Мы применимпри этом способ, который называется способом изменения произвольных постоянных Лагранжа [6].Пусть y1 и y2 — два линейно независимых решения уравнения(13).
Его общее решение выражается, как известно, по формуле (2).Будем искать решение уравнения (10) в том же виде, считая толькоC1 и C2 не постоянными, а искомыми функциями от x:u = v1 (x)y1 + v2 (x)y2 .(14)Имея не одну, а две искомые функции v1 (x) и v2 (x), мы можемподчинить их, кроме уравнения (10), еще одному условию.
Поставим следующее условие:v1′ (x)y1 + v2′ (x)y2 = 0.(15)Дифференцируя выражение (14) и пользуясь условием (15), будем иметьq(x)· u = v1 (x)y1 + v2 (x)y2 ,p(x)· u′ = v1 (x)y1′ + v2 (x)y2′ ,1· u′′ = v1 (x)y1′′ + v2 (x)y2′′ + v1′ (x)y1′ + v2′ (x)y2′ .104Гл. II. Линейные дифференциальные уравнения. . .[27Подставив в левую часть уравнения (10), получимv1 (x)[y1′′ + p(x)y1′ + q(x)y1 ] + v2 (x)[y2′′ + p(x)y2′ + q(x)y2 ]++ v1′ (x)y1′ + v2′ (x)y2′ = f (x).Принимая во внимание, что y1 и y2 суть решения однородногоуравнения (13), и вспоминая условие (15), будем иметь алгебраическую систему уравнений первой степениv1′ (x)y1 + v2′ (x)y2 = 0,v1′ (x)y1′ + v2′ (x)y2′ = f (x)(16)для определения v1′ (x) и v2′ (x).Ввиду линейной независимости решений y1 и y2 :∆(y1 , y2 ) = y1 y2′ − y2 y1′ 6= 0,а потому система (16) дает вполне определенные выражения дляv1′ (x) и v2′ (x).
Выполняя квадратуры, найдем v1 (x) и v2 (x), и подставляя в (14), получим решение уравнения (10).27. Линейные уравнения высших порядков. Линейныеуравнения высших порядков обладают многими свойствами уравнения второго порядка. Мы их формулируем, не останавливаясь надоказательствах.Линейным однородным уравнением n-го порядка называетсяуравнение видаy (n) + p1 (x)y (n−1) + p2 (x)y (n−2) + .
. . + pn (x)y = 0.(17)Если y1 , y2 , . . . , yk — его решения, то и суммаC1 y1 + C2 y2 + . . . + Ck ykтакже будет решением при произвольных постоянных C1 , C2 , . . . ,Ck . Это доказывается совершенно так же, как и для уравнениявторого порядка [25].27]§ 3. Общая теория и уравнения с постоянными коэффициентами105Теорема существования и единственности формулируется также, как и для уравнения второго порядка, причем начальные условия имеют видy|x=x0 = y0 ,(n−1)y ′ |x=x0 = y0′ , .
. . , y (n−1) |x=x0 = y0.Решения y1 , y2 , . . . , yk называются линейно независимыми, еслимежду ними не существует тождественного относительно x соотношенияα1 y1 + α2 y2 + . . . + αk yk = 0с постоянными коэффициентами α1 , α2 , . . . , αk среди которых естьотличные от нуля.Если y1 , y2 , . . . , yn — n линейно независимых решений уравнения, то формулаy = C1 y1 + C2 y2 + . . . + Cn yn ,(18)где Ci — произвольные постоянные, дает все решения этого уравнения. Располагая постоянными Ci , можно получить решение, удовлетворяющее указанным выше начальным условиям∗ .Линейное неоднородное дифференциальное уравнение n-го порядка имеет видu(n) + p1 (x)u(n−1) + p2 (x)u(n−2) + . . .
+ pn (x)u = f (x).(19)Если u1 — какое-либо решение этого уравнения и y1 , y2 , . . . , yn —линейно независимые решения соответствующего однородногоуравнения (17), то формулаu = C1 y1 + C2 y2 + . . . + Cn yn + u1 ,где Ci — произвольные постоянные, дает общее решение уравнения(19).∗Для определения Ci получится система алгебраических уравнений.106Гл. II. Линейные дифференциальные уравнения. . .[27При этом, если y1 , y2 , . .
. , yn известны, то решение уравнения(19) может быть получено по формулеu = v1 (x)y1 + v2 (x)y2 + . . . + vn (x)yn ,где vi′ (x) определяется из системы уравнений первой степениv1′ (x)y1 + v2′ (x)y2 + . . . + vn′ (x)yn = 0,v1′ (x)y1′ + v2′ (x)y2′ + . . . + vn′′ (x)yn′ = 0,................................................(n−2)v1′ (x)y1(n−2)+ . . . + vn′ (x)yn(n−2) = 0,(n−1)+ . . . + vn′ (x)yn(n−1) = f (x).+ v2′ (x)y2v1′ (x)yn(n−1) + v2′ (x)y2Для читателя, знакомого с теорией определителей, можно указатьнеобходимое и достаточное условие линейной независимости, совершенноаналогичное тому, которое мы дали выше для уравнений второго порядка. Пусть, как и выше, y1 , y2 , .
. . , yn — решения уравнения (17). Определителем Вронского этих решений называется следующий определительn-го порядка:y1y2. . . yn ′′′y1y2. . . yn y1′′y2′′. . . yn′′ ,∆(y1 , y2 , . . . , yn ) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . y (n−1) y (n−1) .
. . yn(n−1) 12и для него можно доказать формулу, аналогичную формуле (5):∆(y1 , y2 , . . . , yn ) = ∆0 e−Rxx0p1 (x)dx,где ∆0 — значение ∆ при x = x0 . Из этой формулы, как и выше, вытекает, что ∆ или тождественно равно нулю, или не обращается в нульни при каком значении x.
Необходимое и достаточное условие линейной независимости решений y1 , y2 , . . . , yn и состоит в том, что их определитель Вронского не равен тождественно нулю. При этом по любым начальным условиям вполне определяются произвольные постоянные формулы (18). Как и для уравнений второго порядка, теорема существования и единственности дает решение во всем том промежутке,28]§ 3.
Общая теория и уравнения с постоянными коэффициентами107где коэффициенты уравнения p1 (x), p2 (x), . . . , pn (x) суть непрерывныефункции.28. Однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Прежде чем переходить к уравнениюс постоянными коэффициентами, мы докажем одну формулу дифференцирования. Положим, что мы имеем комплексную функциювещественного переменного x:f (x) = ϕ(x) + iψ(x)(i =√−1),где ϕ(x) и ψ(x) — вещественные функции. Производную функцииf (x) определим формулойf ′ (x) = ϕ′ (x) + iψ ′ (x).Отсюда следуетf ′′ (x) = ϕ′′ (x) + iψ ′′ (x)и т.
д.Если r — некоторое вещественное число, то производная функцииerx :(erx )′ = rerx .Покажем, что эта формула остается справедливой, если r =a + bi есть любое комплексное число. Действительно, из определения показательной функции при комплексном показателеимеемe(a+bi)x = eax (cos bx + i sin bx) = eax cos bx + ieax sin bxи, согласно сказанному выше,(e(a+bi)x )′ = eax (a cos bx − b sin bx) + ieax (a sin bx + b cos bx),откуда(e(a+bi)x )′ = aeax (cos bx + i sin bx) + beax (− sin bx + i cos bx)108Гл.
II. Линейные дифференциальные уравнения. . .[28или(e(a+bi)x )′ = (a + bi)eax (cos bx + i sin bx) = (a + bi)e(a+bi)x ,что и требовалось доказать.Далее, имеем(e(a+bi)x )′′ = (a + bi)2 e(a+bi)x .Займемся теперь решением линейного однородного уравнения спостоянными коэффициентамиy ′′ + py ′ + qy = 0.(20)Если числа p и q вещественны и некоторая комплексная функцияy(x) = ϕ(x) + iψ(x) является решением этого уравнения, то вещественные функции ϕ(x) и ψ(x) также, очевидно, удовлетворяютуравнению (20).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
