1610915346-ca3c42683bad539de2fd15cb675d150f (824739), страница 12

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 12)

n независимых интегралов системы(38) дают общий интеграл системы. Все это относится, как всегда,к некоторой области изменения переменных.Можно показать, что независимость интегралов (331 ) равносильна тому, что между левыми частями этих интегралов не существует никакого соотношения видаΦ(ϕ1 , ϕ2 , .

. . , ϕn ) = 0,тождественного относительно xi . Предполагается, естественно, чтовсе интегралы (331 ) определены в одной и той же области изменения переменных.В предыдущем мы не дали никакого признака, по которому можнобыло бы судить, что интегралы (391 ) суть независимые интегралы. Рассмотрим случай n = 2:ϕ1 (x1 , x2 , x3 ) = C1 , ϕ2 (x1 , x2 , x3 ) + C2 .(39)Вспоминая теорему о неявных функциях [I, 159], можем утверждать,что для разрешимости уравнений (39) относительно x2 и x3 достаточно,20]§ 2. Дифференциальные уравнения высших порядков.

. .77чтобы выражение∆x2 x3 (ϕ1 , ϕ2 ) =∂ϕ1 ∂ϕ2∂ϕ1 ∂ϕ2−∂x2 ∂x3∂x3 ∂x2было отлично от нуля. Аналогичный результат будет иметь место относительно переменных x3 , x1 и x1 , x2 . Предполагая ϕ1 и ϕ2 непрерывнымис их производными первого порядка, можно доказать, что необходимоеи достаточное условие независимости интегралов (39) сводится к тому,чтобы по крайней мере одно из выражений∆x2 ,x3 (ϕ1 , ϕ2 ),∆x3 ,x1 (ϕ1 , ϕ2 ),∆x1 ,x2 (ϕ1 , ϕ2 )было не равно тождественно нулю. В третьем томе мы вернемся к вопросу о независимости систем функций с любым числом переменных.20.

Примеры. 1. Рассмотрим системуdydzdx==.xzyz−(x2 + y 2 )(40)Сокращая уравнениеdydx=xzyzна 1z , получим уравнение с отделенными переменными и, интегрируя,будем иметьylg x = lg y − C, т. е. lg = C,xчто равносильноy= C1 .(41)xНапишем второе уравнение системыdzdx=xz−(x2 + y 2 )и, пользуясь уже найденным интегралом, заменим в нем y = C1 x. Сокращая на x1 , получимdzdx=,z−(1 + C12 )xИнтегрируя, имеемт.

е.(1 + C12 )xdx + zdz = 0.(1 + C12 )x2 + z 2 = C278Гл. I. Обыкновенные дифференциальные уравненияили, заменяя C1 =y,x[20получим второй интеграл системыx 2 + y 2 + z 2 = C2 .(42)Итак, мы имеем два интеграла системыy= C1 ,xx 2 + y 2 + z 2 = C2 .(43)2. Система дифференциальных уравнений движения материальнойточки массы m под влиянием заданной силы имеет видmd2 x= X,dt2md2 y= Y,dt2md2 z= Z,dt2(44)где X, Y , Z — проекции силы на координатные оси, зависят от времени,положения точки и ее скорости, т.

е. от переменных t, x, y, z, x′ , y ′ , z ′ .Вводя новые неизвестные функции — производные x′ , y ′ , z ′ от x, y и zпо t, приведем систему (44) к системе шести уравнений первого порядкаdydzdx′dx= x′ ,= y′,= z′ , m= X,dtdtdtdtmdy ′dz ′= Y, m= Z,dtdt(45)Общее решение этой системы содержит шесть произвольных постоянных, для определения которых должны быть заданы положение точкии ее скорость в начальный момент времени.Из равенств (44) вытекают следующие три равенства: 2d2 yd zm y 2 − z 2 = yZ − zY, dtdt 22d zd x(46)m z 2 − x 2 = zX − xZ,dtdt 2d2 xd ym x 2 − y 2 = xY − yX,dtdtкоторые, как нетрудно видеть, можно переписать так:dydzdm y−z= yZ − zY, dtdtdtdxdzdm z−x= zX − xZ,dtdtdtdxdydm x−y= xY − yX.dtdtdt(47)20]§ 2.

Дифференциальные уравнения высших порядков. . .79Положим, что сила центральна, т. е. что ее направление всегда проходит через некоторую неподвижную точку, называемую центром, которую мы принимаем за начало координат. Так как проекции векторапропорциональные его направляющим косинусам, и в данном случае направление вектора проходит через начало координат и точку (x, y, z), тобудем иметьYZX== ;xyzправые части равенства (47) обратятся в нуль, и мы получим три интеграла системы (46)dydxdzdydxdz−z= C1 , m z−x= C2 , m x−y= C3 .m ydtdtdtdtdtdt(48)Они выражают, как известно из механики, постоянство секториальной скорости проекций движущейся точки на координатные плоскости.Из равенств (48) вытекаетC1 x + C2 y + C3 z = 0,(49)откуда видно, что траектория будет плоской кривой. Плоскость траектории определяется, очевидно, центром сил и вектором скорости в начальный момент времени.Рассмотрим еще случай, когда X, Y, Z, — частные производные некоторой функции U , зависящей от x, y, z.

Функция U называется потенциалом сил, а (−U ) — потенциальной энергией точкиX=∂U,∂xY =∂U,∂yZ=∂U.∂z(50)d2 z∂U=dt2∂z(51)Умножая уравненияm∂Ud2 x=,dt2∂xmd2 y∂U=,dt2∂ymна dx/dt, dy/dt, dz/dt и складывая получимdy d2 ydz d2 zdUdx d2 x++,=mdt dt2dt dt2dt dt2dtилиd mdt 2"dxdt2+dydt2+dzdt2 #=dU,dt(52)80Гл. I. Обыкновенные дифференциальные уравнения[20откуда получаем интегралT − U = C,гдеmT =2"dxdt2+dydt2+(53)dzdt2 #=1mv 22(54)есть кинетическая энергия точки.Равенство (53) выражает постоянство суммы кинетической энергииT и потенциальной (−U ) во все время движения.3. Представим себе систему n точек, связанных между собою такими связями, что координаты любой точки системы определяются какфункции независимых параметров q1 , q2 , .

. . , qk и времени t:xi = ϕi (q1 , q2 , . . . , qk , t),yi = ψi (q1 , q2 , . . . , qk , t),zi = ωi (q1 , q2 , . . . , qk , t)(i = 1, 2, . . . , n).(55)Положим, что силы, действующие на точки системы, имеют потенциал U , зависящий только от координат точек, так что проекции на координатные оси Xi , Yi , Zi силы, действующей на i-ю точку, суть частныепроизводные U по xi , yi , zi .

Пусть m1 , m2 , . . . , mn — массы наших точек.При помощи равенств (55) мы можем выразить кинетическую энергию"2 2 2 #nXdxidyidzimi++T =2dtdtdti=1(56)через qi и производные по времени qi′ , а U через qi (i = 1, 2, . . . , n), идвижение системы будет определяться, как известно из механики, следующими уравнениями Лагранжа:∂U∂Td ∂T=(s = 1, 2, . . . , k).−(57)dt ∂qs′∂qs∂qsФункция T , есть, очевидно, многочлен второй степени относительнопроизводных q1′ , q2′ , .

. . , qk′ от параметров по времени, и уравнения (57)представляют собой k уравнений второго порядка, что равносильно 2kуравнениям первого порядка; интегрирование уравнений (57) даст выражения qk в виде функций от t и 2k произвольных постоянных.20]§ 2. Дифференциальные уравнения высших порядков. . .81Положим, что уравнения (55) не содержат t. Тогда T и U также не будут содержать t. Умножим уравнения (57) соответственно на q1′ , q2′ , . . .

, qk′и сложим XkkX∂TdUd ∂T=.(58)−qs′qs′′dt∂q∂qdtsss=1s=1Примем во внимание очевидное равенство XkkkkkXXXd X ′ ∂T∂Td ∂T′ ∂T′′ ∂T=q.−q−q−qs′qs′sss′′′dt∂q∂qdt∂q∂q∂qssssss=1s=1s=1s=1s=1В рассматриваемом случае T — однородный многочлен qs′ иkXqs′s=1∂T= 2T,∂qs′(59)в силу теоремы Эйлера об однородных функциях [I, 154]. ОтсюдаkXs=1qs′ddt∂T∂qs′−kXs=1qs′∂TdTdTdT=2−=,∂qsdtdtdtи формула (58) даетdUdT=,dtdtоткуда получается интеграл системы (57) (интеграл сохранения энергии)T − U = C.(60)4. Наличие интеграла дифференциальных уравнений движения системы позволяет в некоторых случаях решить вопрос об устойчивостиколебаний системы около положения равновесия.

Формулируем вопросматематически, ограничиваясь для краткости рассуждений случаем трехнеизвестных функций x, y, z, удовлетворяющих системе дифференциальных уравнений1dx= X,dtdy= Y,dtdz= Z,dt(61)где X, Y , Z — известные функции от x, y, z и t, обращающиеся в нульприx = y = z = 0.(62)1 В случае движения одной материальной точки имеется шесть неизвестныхфункций.82Гл. I. Обыкновенные дифференциальные уравнения[20Система (61) имеет при этом очевидное решение (62), которому соответствует положение равновесия. Это положение равновесия (или просторешение (62)) называется устойчивым, если при любом заданном ε > 0существует такое η > 0, что для всякого решения системы (61), удовлетворяющего начальным условиямx|t=0 = x0 ,y|t=0 = y0 ,z|t=0 = z0 ,будет при всех t > 0если только|x|, |y|и|z| < ε,(63)|x0 | |y0 |и|z0 | < η.(64)Положим, что система (61) имеет интегралϕ(x, y, z) = C,(65)не содержащий t и такой, что функция ϕ(x, y, z) имеет при x = y = z = 0максимум или минимум.

Докажем, что при этом положение равновесиябудет устойчивым. Изменяя, если надо, знак у ϕ, мы можем считать, чтоϕ имеет минимум; прибавляя к ϕ постоянную, можем считать, что этотминимум равен нулю.Итак, функция ϕ обращается в нуль в точке x = y = z = 0 и положительна во всех точках (x, y, z), близких к (0, 0, 0), но отличных от нее.Построим около начала координат куб δε с центром в начале и длинойсторон 2ε.

На поверхности этого куба непрерывная функция ϕ положительна и, следовательно, достигает своего наименьшего положительногозначения m, так что на всей этой поверхностиϕ > m > 0.(66)Построим теперь около начала координат концентрический куб δη сдлиной сторон 2η так, чтобы внутри этого куба имело место неравенствоϕ < m,(67)что возможно, ибо ϕ(0, 0, 0) = 0. Положим, что в начальный моментточка (x, y, z)) находится внутри куба δη , т. е.

выполнено условие (64).Неравенство (67) будет выполняться не только в начальный момент, нои во все время движения. Действительно, ϕ, в силу (65), сохраняет постоянное значение C при движении. Но раз это так, то во все времядвижения точка (x, y, z) не сможет пройти через поверхность куба δε ,21]§ 2. Дифференциальные уравнения высших порядков. .

Характеристики

Список файлов книги