1610915346-ca3c42683bad539de2fd15cb675d150f (824739), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Оно получается также, если применить куравнениюy ′2 + xy ′ − y = 0,совпадающему с данным, формулу (60). Прямые общего интеграла об2разуют семейство касательных к параболе y = − x4 .П р и м е р 2. Найти такую кривую, чтобы отрезок T1 T2 ее касательной между координатными осями имел постоянную длину a (рис. 9).Определяя из уравнения касательной следы OT1 и OT2 касательнойна координатных осях, составим без труда дифференциальное уравнениеискомой кривой(y − xy ′ )2+ (y − xy ′ )2 = a2 ,y2илиОбщий интеграл егоy = xC ± √y = xy ′ ± paC1 + C2ay.1 + y ′2(67)представляет собой семейство прямых линий, длина отрезка которыхмежду координатными осями равна a.
Особое решение получится в результате исключения p из уравненияy = xp ± pи уравненияx±pкоторое приводится к видуap1 + p21 + p2 − pp21 + p21 + p2x±a= 0.(1 + p2 )3 /2Полагая p = tgϕ, получимx = ∓a cos3 ϕ(68)= 0,50Гл. I. Обыкновенные дифференциальные уравнения[12и из уравнения (68) для y будем иметьy = ∓a cos3 ϕtgϕ ± a sin ϕ = ±a sin3 ϕ.Возводя два последних равенства в степеньисключим ϕ:222x /3 + y /3 = a /3 ,23и складывая почленно,т.
е. искомая кривая есть астроида, о которой мы говорили в [I, 80].Прямые (67) образуют семейство касательных к ней (рис. 9).12. Уравнение Лагранжа. Уравнением Лагранжа называется уравнение видаy = xϕ1 (y ′ ) + ϕ2 (y ′ ),(69)причем мы считаем ϕ1 (y ′ ) отличным от y ′ , так как при ϕ1 (y ′ ) ≡ y ′мы получаем уже разобранное уравнение Клеро.Применим к уравнению (69) тот же метод дифференцирования,что и к уравнению Клеро. Обозначая y ′ = p, перепишем уравнениев видеy = xϕ1 (p) + ϕ2 (p).(70)Взяв дифференциалы от обеих частей, находим уравнение первогопорядка для p:pdx = ϕ1 (p)dx + xϕ′1 (p)dp + ϕ′2 (p)dp.Деля на dp, получим уравнение[ϕ1 (p) − p]dx+ ϕ′1 (p)x + ϕ′2 (p) = 0,dp(71)которое является линейным дифференциальным уравнением, если считать x функцией от p.
Деля обе части его на коэффициент[ϕ1 (p) − p], приведем его к виду (28) и получим его общий интегралв видеx = ψ1 (p)C + ψ2 (p).(72)Подставляя это выражение x в уравнение (70), получим для yуравнение видаy = ψ3 (p)C + ψ4 (p).(73)12]§ 1. Уравнения первого порядка51Формулы (72) и (73) выражают x и y через произвольную постоянную C и переменный параметр p, т. е.
дают параметрическоепредставление общего интеграла уравнения Лагранжа. Если исключим из уравнений (72) и (73) параметр p, то получим обычноеуравнение для общего интеграла.Изоклины уравнения (69) прямые:y = xϕ1 (C1 ) + ϕ2 (C1 ).Если значение C1 таково, что ϕ1 (C1 ) = C1 , то эта формула даетрешение уравнения (69), что легко проверить и непосредственно.П р и м е р. Для уравненияy ′2 + 2xy ′ + y = 0,илиy ′ = −x ±px2 − y.(74)Формула (60) дает y = x2 , и эта функция не есть решение уравнения, такчто это уравнение не имеет особых решений.
Область B теоремы А естьвнешность параболы y = x2 (y < x2 ). Решая уравнение относительно y,приходим к уравнению вида (69), и уравнение (71) в этом примере имеетвид3pdx + (2x + 2p)dp = 0.(75)Деля на dp, приходим к линейному уравнению22dx+x + = 0.dp3p3(751 )Поступая, как указано выше, получаемx = Cp−2/3−2p,5y = −2Cp1/3−1 2p .5(76)Изоклины уравнения (74) суть: y = −2C1 x − C12 , и при −2C1 = C1 , т. е.при C1 = 0, получаем решение y = 0, которое не может быть полученоиз формул (76) ни при каком численном значении C.
Но оно не являетсяи особым решением, ибо уравнение (74), как мы видели, не имеет особыхрешений. Это решение y = 0 потеряно в результате деления уравнения(75) на dp. Вдоль указанного решения dp = dy ′ ≡ 0, и переменная p неможет быть независимой переменной, как это мы считаем в уравнении(751 ).Отметим, что точка (0, 0) лежит на параболе y = x2 , так что области B принадлежит не вся ось OX (y = 0), а два луча x > 0 и x < 0,52Гл. I. Обыкновенные дифференциальные уравнения[13т. е. y(x) = 0 при x > 0 и y(x) = 0 при x < 0. Формулы (76) даютпри всяком фиксированном C две интегральные кривые: одна получается при −∞ < p < 0, и другая при 0 < p < +∞.
Этим исчерпываются все решения уравнения (74), кроме y = 0. Если задана точка2M0 (x0 , y0 ), причемp x0 − y0 > 0, то для p в этой точке получаем два значе2ния: p0 = −x0 ± x0 − y0 и одно из уравнений (76) дает два значения C,соответствующих интегральным кривым, проходящим через точку M0 .Для точки (x0 , 0)(x 6= 0) получаем p0 = 0 и p0 = −2x0 . Первому значениюсоответствует решение y = 0.13. Огибающие семейства кривых и особые решения. Мыимели уже два примера, в которых, кроме общего интеграла, былиполучены и особые решения.
В примере [10] общий интеграл представлял собою семейство окружностей(x − C)2 + y 2 = a2(77)с центрами на оси OX и фиксированным радиусом a. Особымирешениями являлись две прямые y = ±a, параллельные оси OX.Прямые эти в каждой своей точке касаются одной из окружностейсемейства (77) (рис. 8). В примере из [11] общий интеграл представлял собою семейство прямых, длина отрезка которых между координатными осями равна заданной величине a, а особое решениепредставляло собою астроиду, касающуюся во всех своих точкаходной из указанных прямых, т. е. упомянутое семейство являлосьсемейством касательных для этой астроиды.Эти примеры естественно приводят нас к понятию огибающейданного семейства линий.
Пусть дано семейство линийψ(x, y, C) = 0(78)где C — произвольная постоянная. Огибающей этого семейства называется линия, которая во всех своих точках касается различных линий семейства, т. е. имеет в каждой своей точке касательную, общую с линией семейства (78), проходящей через этуже точку.Выясним правило нахождения этой огибающей. Прежде всегоопределим угловой коэффициент касательной к линии семейства13]§ 1. Уравнения первого порядка53(78). Дифференцируя равенства (78) и принимая во внимание, чтоy есть функция от x, а C — постоянная, получим∂ψ(x, y, C) ∂ψ(x, y, C) dy+= 0,∂x∂ydxоткуда∂ψ(x, y, C)dy∂x=−.∂ψ(x, y, C)dx∂yПоложим, что искомое уравнение огибающей будетR(x, y) = 0.(79)(80)Мы можем считать, что неизвестная нам пока левая часть этогоуравнения, т.
е. R(x, y), имеет вид ψ(x, y, C), где только C не постоянная, а какая-то неизвестная пока функция от x и y. Действительно, для любой функции R(x, y) мы можем написать равенствоR(x, y) = ψ(x, y, C),которое и определит нам C как функцию от x и y. Итак, мы можемискать уравнение огибающей также в виде (78), считая только C непостоянной, а искомой функцией от x и y. Беря дифференциал отобеих частей уравнения (78), мы получим, принимая во внимание,что C уже не постоянная∂ψ(x, y, C)∂ψ(x, y, C)∂ψ(x, y, C)dx +dy +dC = 0.∂x∂y∂C(81)У искомой огибающей угловой коэффициент касательной dy/dxдолжен быть по условию таким же, что и у кривой семейства (78),проходящей через ту же точку, т. е.
равенство (81) должно дать дляdy/dx прежнее выражение (79), а это будет иметь место лишь в томслучае, когда третье слагаемое в левой части формулы (81) будетdC = 0. Возможность dC = 0 дает посторавно нулю, т. е. ∂ψ(x,y,C)∂Cянную C, т. е. дает опять кривую семейства, а не огибающую, иследовательно, чтобы получить огибающую, мы должны положить∂ψ(x, y, C)= 0.∂C54Гл. I. Обыкновенные дифференциальные уравнения[13Это уравнение и определит нам C как функцию от (x, y).
Подставляя это выражение C через x и y в левую часть равенства (78),получим искомое уравнение огибающей (80), т. е. уравнение огибающей семейства может быть получено исключением C из двухуравнений:∂ψ(x, y, C)= 0.(82)ψ(x, y, C) = 0,∂CКогда мы двигаемся по огибающей, то мы касаемся различных линий семейства (78), каждая из которых определяется своим значением постоянной C, таким образом, становится наглядно понятнымтот факт, что мы искали уравнение огибающей также в виде (78),считая только C переменным.Вернемся теперь к особым решениям дифференциального уравнения. Положим, что (78) есть семейство общего интеграла дифференциального уравненияΦ(x, y, y ′ ) = 0,(83)т. е. что на любой линии семейства (78) координаты (x, y) и угловой коэффициент касательной y ′ удовлетворяют уравнению (83).
Вкаждой точке огибающей x, y и y ′ будут совпадать с таковыми жевеличинами некоторой кривой семейства (78), т. е. x, y и y ′ огибающей будут также удовлетворять (83). Итак, огибающая семействаобщего интеграла есть также интегральная кривая уравнения.Таким образом, если ψ(x, y, C) = 0 есть общий интеграл уравнения (83), то исключение C из уравнений (82) приводит нас в некоторых случаях к особому решению. Мы оговорились здесь, добавив«в некоторых случаях» (а не всегда), из следующих соображений.В предыдущих рассуждениях предполагалось, что линии (78) имеют касательную, поэтому, если мы исключим C из уравнений (82),то можем получить не только огибающую, а также и совокупностьвсех особых точек кривых семейства (78), т.
е. геометрическое место тех точек кривых (78), в которых эти кривые не имеют определенной касательной [I, 76]. Кроме того, иногда случается, что сама огибающая входит в состав линий (78). Мы не останавливаемсяна строгом изложении теории огибающей и особых решений. Такая теория должна быть тесно связана с теоремой существования13]§ 1. Уравнения первого порядка55и единственности, о которой мы упоминали в [2], и ограничимсявыяснением вопроса на некоторых примерах.1. Будем искать огибающую семейства окружностей (62)(x − C)2 + y 2 = a2 .Уравнения (82) имеют в данном случае вид(x − C)2 + y 2 = a2 ,−2(x − C) = 0.Второе уравнение дает C = x, и, подставляя его в первое уравнение,получим y 2 = a2 , т. е. совокупность двух прямых y = ±a, что мы имелии раньше.2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
