1610915346-ca3c42683bad539de2fd15cb675d150f (824739), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Если рассматривать x и y как координаты точек плоскости, то дифференциальное уравнение (2) определяет в каждой точке (x, y), где определена функция f (x, y), угловойкоэффициент касательной y ′ к некоторой линии. Искомое решение(4) уравнения (2) есть такая кривая (в частном случае — прямая),которая в каждой своей точке имеет угловой коэффициент касательной y ′ , определяемой равенством (2).
Такая кривая называется интегральной кривой дифференциального уравнения. Иначеговоря, понятие решения уравнения (2) совпадает с понятием интегральной кривой (в частном случае — прямой) этого уравненияна плоскости XOY . Общий интеграл (7) дает бесчисленное множество интегральных кривых или, точнее говоря, семейство кривых,зависящее от одной произвольной постоянной.Положим, что функция f (x, y) однозначна и непрерывна в некоторой области B плоскости XOY .
Пусть линия l, соответствующаярешению (7), принадлежит к этой области, и функция ϕ(x) определена на некотором промежутке I изменения x. Говоря о решении(4), мы, согласно сказанному выше, считаем, что ϕ(x) непрерывна иимеет производную для x, принадлежащих I. Если к промежутку Iпринадлежит его левый конец, то производная ϕ′ (x) есть производная справа, а на правом конце — производная слева. Из уравнения(3) и непрерывности f (x, y) непосредственно следует, что и производная ϕ′ (x) решения непрерывна на I.∗Такое семейство решений также называют общим решением.14Гл. I. Обыкновенные дифференциальные уравнения[2Во всем предыдущем мы считаем, естественно, что все функцииоднозначны. Из однозначности ϕ(x) следует, что прямые, параллельные оси OY , могут пересекать интегральную кривую не болеечем в одной точке.
Если мы перепишем уравнение (2), или (3), ввиде1dx=,(31 )dyf (x, y)т. е. будем считать не y функцией от x, а x функцией от y, то прямые, параллельные оси OX, могут пересекать интегральные кривые не более чем в одной точке. Пусть интегральная кривая l уравнения (2) такова, что не только прямые, параллельные оси OY , но ипрямые, параллельные оси OX, пересекают ее не более чем в однойточке, т. е. в уравнении y = ϕ(x) функция ϕ(x) имеет однозначнуюобратную функцию x = ψ(y). При этом l является и интегральной кривой дифференциального уравнения (31 ).
В дальнейшем мыбудем иметь дело главным образом с уравнением вида (2).2. Определение решения по начальному условию. Теорема существования и единственности. Простейшее уравнение (5) имеет бесчисленное множество решений, поскольку в формулу (6) входит произвольная постоянная. Но нетрудно показать,что мы получим вполне определенное решение уравнения (5), еслипоставим так называемое начальное условие, а именно потребуем,чтобы искомая функция y принимала заданное значение y0 при заданном значении x = x0 . Это начальное условие запишем в видеy|x=x0 = y0 .(8)Действительно, пусть f (x) — непрерывная на некотором промежутке I функция и точка x = x0 принадлежит I. Заменяя в формуле(6) неопределенный интеграл определенным с переменным верхнимпределом x и нижним пределом x0 , вместо (6) получимy=Zxf (t)dt + C.x0Первое слагаемое обращается в нуль при x = x0 , и чтобы удовлетворить условию (8), надо положить C = y0 .
Таким образом, уравнение2]§ 1. Уравнения первого порядка15(5) при начальном условии (8) имеет единственное решениеy=Zxf (t)dt + y0 .x0Отметим, что это решение имеет место на всем промежутке I.Аналогично, если мы имеем общий интеграл (7) какого-либоуравнения (2), то для удовлетворения начальному условию (8) надоопределить произвольную постоянную C из равенстваy0 = ϕ(x0 , C).(9)Обратимся теперь к геометрической интерпретации. Положим,что функция f (x, y) определена в некоторой области B плоскостиXOY и в этой области однозначна и непрерывна.
В каждой точке(x, y), принадлежащей B, из уравнения (2) определяется, как мыуже упоминали, угловой коэффициент y ′ касательной к искомойинтегральной кривой. Через точку (x, y) проведем небольшой отрезок прямой, образующий с осью OX такой угол α, что tgα = y ′ , ипридадим этому отрезку какое-либо направление (переход к противоположному направлению не изменит tgα). Мы видим, что уравнение (2) равносильно определению в области B поля направлений,т.
е. в каждой точке области B уравнение (2) определяет некоторое направление. Интегральные кривые уравнения (2) суть кривыеl, лежащие в области B и обладающие следующим свойством: вкаждой точке (x, y) касательная к l имеет направление, определяемое указанным выше полем направлений. Начальное условие (8)сводится к требованию, чтобы интегральная кривая проходила через заданную точку (x0 , y0 ), находящуюся в B. Приведем теперьгеометрические соображения, из которых наглядно, но не строгологически, следует, что через заданную точку M0 (x0 , y0 ) проходитодна и только одна интегральная кривая.Разобьем плоскость XOY прямыми (рис.
1), параллельнымосям, на малые квадраты так, чтобы точка M0 лежала в вершинеодного их этих квадратов (это — несущественно). Из точки M0 проводим в направлении возрастания x отрезок прямой M0 M1 , с угловым коэффициентом y0′ = f (x0 , y0 ) до ближайшего пересечения с16Гл. I. Обыкновенные дифференциальные уравнения[2одной из прямых сетки квадратов. Пусть(x1 , y1 ) — координаты точки M1 . Из M1проводим в направлении возрастания xотрезок прямой M1 M2 с угловым коэффициентом y1′ = f (x1 , y1 ) до ближайшего пересечения с одной из прямых сеткиквадратов и т.
д. Это построение можновыполнить и в направлении убывания x.Построенная таким образом ломаная лиРис. 1.ния и представляет приближенно для x,близких к x0 , искомую интегральную кривую уравнения (2), проходящую через точку M0 . Это построение делает весьма вероятнымтот факт, что через всякую точку M0 из B проходит одна и толькоодна интегральная кривая. Это утверждение справедливо и будетдальше доказано, если f (x, y) обладает кроме непрерывности ещенекоторым свойством.Положим для определенности, что B — открытая область, т.
е.область, к которой мы не причисляем ее границы (B может быть ивсей плоскостью). Имеет место следующая теорема.Т е о р е м а А. Если f (x, y) непрерывна и имеет непрерывнуючастную производную по y в B, то через каждую точку, принадлежащую B, проходит одна и только одна интегральная криваяуравнения (2).Теорема эта, которую мы пока примем без доказательства, называется обычно теоремой существования и единственности решения дифференциального уравнения (2) при заданном начальномусловии.В дальнейшем, для краткости, сформулированную теорему мыбудем называть теоремой А. В конце следующей главы мы приведем доказательство этой теоремы и ряд дополнений к ней.
Укажем, как надо понимать утверждение единственности решения призаданном начальном условии. Пусть y = ϕ1 (x) и y = ϕ2 (x) сутьдва решения уравнения (2), удовлетворяющие условию (8), причемпервое определено на некотором промежутке I1 , а второе на промежутке I2 изменения x, а точка x0 принадлежит этим промежуткам.При этом на общей части промежутков I1 и I2 должно иметь местотождество ϕ1 (x) ≡ ϕ2 (x). Предполагается, конечно, что интеграль-3]§ 1. Уравнения первого порядка17ные кривые y = ϕ1 (x) и y = ϕ2 (x) не выходят из области B, гдеf (x, y) определена и удовлетворяет указанным в теореме условиям.В следующих разделах мы укажем некоторые частные типыдифференциальных уравнений, интегрирование которых приводится к вычислению неопределенных интегралов или, как говорят, ихинтегрирование приводится к квадратурам.
Отметим, что вычисление интеграла связано с вычислением площади, откуда и происходит термин «квадратура». При рассмотрении упомянутых частныхтипов мы приведем ряд примеров, на которых мы проиллюстрируем указанные выше соображения, связанные с теоремой А.3. Уравнения с отделяющимися переменными. Наряду спростейшим уравнением (5) рассмотрим уравнениеy ′ = f (y) илиdy= f (y).dxПерепишем его в виде1dx=dyf (y)и для общего интеграла получим формулуZdy+ C∗ .x=f (y)Положим теперь, что правая часть уравнения (3) есть произведение функции только от x на функцию только y:dy= g(x)h(y).dxЭто уравнение можно переписать в видеdy= g(x)dx.h(y)(10)(101 )Пусть y(x) — некоторое решение уравнения (10) или, что то же,уравнения (101 ).
Последнее равенство есть равенство двух дифференциалов, из которых левый выражается через посредство y (вид∗ Это выражение представляет x как функцию y. Обычно требуется найтиy как функцию x, для этого в исходном уравнении выражают dy и интегрируют.18Гл. I. Обыкновенные дифференциальные уравнения[3дифференциала первого порядка не зависит от выбора переменной[I, 50]). Из равенства дифференциалов следует, что их неопределенные интегралы отличаются лишь произвольным постоянным слагаемым, т.
е.ZZdy= g(x)dx + C.h(y)Выполняя квадратуры и решая относительно y, получим общийинтеграл уравнения (10). Переход от (10) к (101 ) называется обычноотделением (разделением) переменных.В связи с вышесказанным приведем некоторые общие соображения. Всякое дифференциальное уравнение первого порядка, решенное относительно производной, можно записать в видеM (x, y)dx + N (x, y)dy = 0.(11)Уравнение, записанное в таком виде, не связывает нас выборомнеизвестной функции. За таковую мы можем принять как y, таки x. Пусть M (x, y) и N (x, y) суть произведения функции только отx на функции только от y, т. е.M1 (x)M2 (y)dx + N1 (x)N2 (y)dy = 0.Такое уравнение называется уравнением с отделяющимися переменными [I, 93].
Деля обе части на N1 (x)M2 (y), «отделим переменные»:N2 (y)M1 (x)dx +dy = 0N1 (x)M2 (y)и получим общий интеграл уравнения в видеZZN2 (y)M1 (x)dx +dy = C.N1 (x)M2 (y)В дальнейшем мы займемся и общим уравнением (11).Выше мы не уточнили условий, которые надо наложить нафункции g(x), h(x) и т. д., а также не обсуждали вопроса о преобразованиях, которые мы выполняли — например, деление обеихчастей уравнения (10) на h(y). Более подробно это выяснится напримерах.4]§ 1. Уравнения первого порядка194. Примеры.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
