1610915346-ca3c42683bad539de2fd15cb675d150f (824739), страница 2
Текст из файла (страница 2)
144. О кривизне линий, начерченныхна поверхности (542). 145. Индикатриса Дюпена и формула Эйлер(547). 146. Определение главных радиусов кривизны и главных направлений (550). 147. Линии кривизны (552). 148. Теорема Дюпена(555). 149. Примеры (556). 150. Гауссова кривизна (559). 151. Вариация элемента площади и средняя кривизна (561).
152. Огибающаясемейства поверхностей и кривых (564). 153. Развертывающиеся поверхности (568).535Г Л А В А VIРЯДЫ ФУРЬЕ§ 14. Гармонический анализ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .154. Ортогональность тригонометрических функций (572). 155. Теорема Дирихле (578). 156. Примеры (580). 157. Разложение в промежутке (0, π) (583).
158. Периодические функции периода 2l (589).572Оглавление7159. Средняя квадратичная погрешность (592). 160. Общие ортогональные системы функций (598). 161. Класс L2 (605). 162. Сходимость в среднем (607). 163. Ортонормированные системы в L2 (611).§ 15. Дополнительные сведения из теории рядов Фурье . . . . . . . .164. Разложение в ряд Фурье (616). 165. Вторая теорема о среднем (621). 166.
Интеграл Дирихле (626). 167. Теорема Дирихле(631). 168. Приближение к непрерывной функции полиномами (633).169. Формула замкнутости (639). 170. Характер сходимости рядов Фурье (642). 171. Улучшение сходимости рядов Фурье (648).172. Пример (651).616§ 16. Интеграл Фурье и кратные ряды Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. .173. Формула Фурье (654). 174. Ряды Фурье в комплексной форме(664). 175. Кратные ряды Фурье (665).654Г Л А В А VIIУРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИМАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ§ 17. Волновое уравнение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .176. Уравнение колебаний струны (669). 177. Решение Даламбера (674). 178. Частные случаи (678). 179. Ограниченная струна(684). 180. Способ Фурье (690). 181. Гармоники и стоячие волны(693).
182. Вынужденные колебания (696). 183. Сосредоточенная сила (183). 184. Формула Пуассона (705). 185. Цилиндрические волны(710). 186. Случай n-мерного пространства (713). 187. Неоднородноеволновое уравнение (715). 188. Точечный источник (720). 189. Поперечные колебания мембран (722). 190.
Прямоугольная мембрана(723). 191. Круглая мембрана (728). 192. Теорема единственности(737). 193. Применение интеграла Фурье (741).669§ 18. Телеграфное уравнение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .194. Основные уравнения (744). 195. Установившиеся процессы(745). 196. Устанавливающиеся процессы (748). 197. Примеры (753).198. Обобщенное уравнение колебаний струны (756). 199. Неограниченная цепь в общем случае (761). 200. Способ Фурье для ограниченной цепи (763).
201. Обобщенное волновое уравнение (768).744§ 19. Уравнение Лапласа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .202. Гармонические функции (771). 203. Формула Грина (773).204. Основные свойства гармонических функций (779). 205. Решение задачи Дирихле для круга (784). 206. Интеграл Пуассона (789).207.
Задача Дирихле для сферы (794). 208. Функция Грина (799).209. Случай полупространства (801). 210. Потенциал объемных масс(803). 211. Уравнение Пуассона (807). 212. Формула Кирхгофа (813).7718Оглавление§ 20. Уравнение теплопроводности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .213. Основные уравнения (816). 214. Неограниченный стержень(818). 215. Стержень, ограниченный с одного конца (825). 216. Стержень, ограниченный с обоих концов (831). 217. Дополнительные замечания (834). 218. Случай сферы (836). 219. Теорема единственности (839).816ПРЕДИСЛОВИЕк I тому 24-го изданияВ чем притягательная сила этого энциклопедического учебника, который выдерживает испытание временем уже более семидесяти лет, переведен на множество языков мира, ссылки на который имеются в научныхпубликациях самого последнего времени?Прежде всего это основополагающая идея, выдвинутая выдающимися учеными, академиками В.
А. Фоком и В. И. Смирновым, работавшимина физическом факультете Ленинградского университета. Она состоялав том, что для студентов физиков и, даже шире, для естествоиспытателей и инженеров, требуется совсем иное содержание и стиль изложенияматематики, чем для студентов математиков. Формализованный стиль,основанный на чередовании определений, лемм и теорем, и доведениеусловий до предельно общих за счет громоздкости доказательства представляется ненужным мышлению физика, использующего эмпирическийподход чаще, чем дедуктивный.Второй составляющей успеха представляемой книги был непревзойденный педагогический дар Владимира Ивановича.
До преклонных летон был одним из любимейших лекторов на физическом факультете. Книги, написанные им, читаются просто и увлекательно, даже те страницы,где проводятся громоздкие вычисления. И все это с сохранением достаточной строгости изложения.Третьим важным моментом является энциклопедический охват материала. Курс включает как общие разделы математики, читаемые дляфизиков, химиков, инженеров и т.
д., так и более специализированныеразделы, например, теорию групп или теорию специальных функций.При написании раздела по теории групп значительную помощь емуоказал мой отец член-корреспондент Д. К. Фаддеев. В последнем томе курса впервые в советской математике было дано изложение функ-10Предисловиеционального анализа.
Часть разделов, связанных с функциональныманализом, была доработана после смерти В. И. Смирнова академикомО. А. Ладыженской.Несколько слов надо сказать о личности Владимира Ивановича. Онбыл очень скромным, открытым человеком, никогда не требовавшим отуниверситетского начальства ни отдельного кабинета, ни личной секретарши. Однако он был тверд и решителен, когда выступал в защиту гонимых по тем или иным причинам математиков, когда отстаивал научныепринципы университетского образования.
Ту же О. А. Ладыженскую оннеоднократно спасал от административного произвола, сохранив для математики выдающегося ученого. Авторитет Владимира Ивановича как вЛенинградском математическом сообществе, так и в мировой науке былчрезвычайно высок.До сих пор курс В. И. Смирнова используется как основное учебноепособие на физическом факультете Санкт-Петербургского государственного университета. На младших курсах одним из лекторов по высшейматематике была Е. А. Гринина, которая и подготовила данное переиздание к печати.академик РАН Л. Д.
ФаддеевОбщая цель сделанных комментариев состоит в том, чтобы упроститьсовременному студенту использование данной книги и как единого учебного пособия, и как справочного материала при работе с другими изданиями. Мною отмечена устаревшая терминология, даны замечания поповоду опущенных вычислений. Также сделаны некоторые замечания,связанные с методикой изложения материала, отличающейся от принятой в большинстве современных лекционных курсов. В ходе работы былиисправлены опечатки, допущенные в предыдущем издании.канд. физ.-мат. наук Е. А.
ГрининаГ Л А В А I.ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕУРАВНЕНИЯ§ 1. УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА1. Общие понятия. Дифференциальным уравнением называется уравнение, которое, кроме независимых переменных и неизвестных функций этих переменных, содержит еще и производныенеизвестных функций или их дифференциалы [I, 51]. Если функции, входящие в дифференциальное уравнение, зависят от однойнезависимой переменной, то уравнение называется обыкновеннымдифференциальным уравнением. Если же в уравнение входят частные производные неизвестных функций по нескольким независимым переменным, то уравнение называют дифференциальным уравнением с частными производными. В настоящей главе мы будемрассматривать лишь обыкновенные дифференциальные уравнения,и большая часть главы будет посвящена тому случаю, когда заданоодно уравнение, содержащее одну неизвестную функцию.Пусть x — независимая переменная и y — искомая функция этойпеременной.
Общий вид дифференциального уравнения будетΦ(x, y, y ′ , y ′′ , . . . , y (n) ) = 0.Наивысший порядок n производных неизвестной функции, входящих в уравнение, называется порядком дифференциального12Гл. I. Обыкновенные дифференциальные уравнения[1уравнения. В настоящем параграфе мы будем рассматривать одно обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка.Общий вид такого уравнения будетΦ(x, y, y ′ ) = 0(1)или, в решенной относительно y ′ форме,y ′ = f (x, y).(2)Пользуясь другим обозначением производной, можем записатьэто уравнение в видеdy= f (x, y).(3)dxЕсли некоторая функцияy = ϕ(x)(4)удовлетворяет дифференциальному уравнению (1) или (2), т. е.
еслиэто уравнение обращается в тождество относительно x при заменеy и y ′ на ϕ(x) и ϕ′ (x), то функция (4) называется решением этогодифференциального уравнения. Сама задача нахождения решенийдифференциального уравнения называется обычно задачей интегрирования дифференциального уравнения.В простейшем случае, когда правая часть уравнения (2) не содержит y, получается дифференциальное уравнение видаy ′ = f (x).(5)Нахождение его решений есть основная задача интегрального исчисления [I, 86], и все множество этих решений дается формулойZy = f (x)dx + C,(6)где C — произвольная постоянная.
Таким образом, в этом простейшем случае имеется семейство решений дифференциального уравнения, содержащее произвольную постоянную. Как мы увидим, и вобщем случае дифференциального уравнения первого порядка мы1]§ 1. Уравнения первого порядка13будем иметь семейство решений, содержащее произвольную постоянную:y = ϕ(x, C).(7)Такое семейство решений называется общим интегралом ∗ уравнения. Общий интеграл может выражаться в неявной форме или вформе, решенной относительно C:ψ(x, y, C) = 0или ω(x, y) = C.(71 )Придавая произвольной постоянной C различные численные значения, будем получать различные решения уравнения — так называемые частные решения уравнения.Укажем геометрическую интерпретацию дифференциальногоуравнения и его решений.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
