1610915346-ca3c42683bad539de2fd15cb675d150f (824739), страница 4
Текст из файла (страница 4)
1. Рассмотрим дифференциальное уравнениеydy=a ,dxx(12)где a — постоянная, отличная от нуля. Переменные разделяются:dxdy=a ,yxоткудаlg |y| = a lg |x| + lg |C|∗ ,или|y| = |C||x|a .(13)Интегрируя, мы пишем под знаком логарифма абсолютную величину, принимая во внимание возможность отрицательных величин,и произвольную постоянную обозначаем через lg |C|.
Уравнение(12) определяет поле направлений на всей плоскости, кроме прямой x = 0. Если мы перепишем его в виде1xdx=,dyay(121 )то увидим, что поле направлений определено на прямой x = 0 приy 6= 0; в этих точках направление касательной параллельно оси OY .В точке (0, 0) правая часть (12) и (121 ) не имеют смысла. Для уравнения (12) имеются две области B теоремы А: левая полуплоскостьx < 0 и правая x > 0, а для уравнения (121 ) — верхняя полуплоскость y > 0 и нижняя y < 0.Разберем теперь случаи: a = 2, a = 1 и a = −1. При a = 2 из(13) следует: y = Cx2 , т.
е. мы получаем семейство парабол с вершиной в (0, 0), касающихся оси OX, и прямую y = 0 (при C = 0),а для уравнения (121 ) и прямая x = 0 будет интегральной линией. Через каждую точку плоскости, кроме (0, 0), проходит одна итолько одна линия семейства, состоящего из упомянутых параболи осей координат. В точке (0, 0), где дифференциальное уравнениене определено, все линии упомянутого семейства встречаются (узловая точка всех интегральных линий).Если бы мы рассматривали только уравнение (12), то из семейства интегральных линий исключилась бы ось OY (x = 0). Везде∗Обозначение lg здесь и далее применяется для натурального логарифма.20Гл.
I. Обыкновенные дифференциальные уравнения[4вдоль этой оси, кроме начала, правая часть (12) обращается в бесконечность (теряет непрерывность). Отметим, что все интегральные линии уравнения (12) касаются оси OX. При a = 1 из (13)следует y = Cx т.
е. семейство интегральных линий есть семействовсех прямых, проходящих через начало. Это семейство включает,как и при a = 2, оси координат. Отметим, что в этом случае интегральные линии уравнения (12) (прямые) приходят в начало сразличными угловыми коэффициентами. При a = −1 из (13) получаем y = Cx , т. е. семейство интегральных линий уравнений (12) и(121 ) содержит все равнобочные гиперболы, имеющие асимптотами оси координат, и сами эти оси.
Последнее надо понимать так:в начале координат встречаются положительные и отрицательныечасти осей координат.2. Рассмотрим уравнениеxdy=a .dxy(14)Переменные разделяютсяydy = axdxи, интегрируя, получаемy 2 = ax2 + 2C ∗ .(15)Для уравнения (14), как и в примере 1, имеются две области B теоремы А: верхняя полуплоскость y > 0 и нижняя y < 0. При a = −1получаем x2 + y 2 = 2C, т. е.
семейство интегральных линий естьсемейство всех окружностей с центром в (0, 0). Через всякую точкуплоскости, кроме (0, 0), проходит одна и только одна такая окружность и нет ни одной интегральной линии, которая бы беспредельноблизко подходила к началу.Если рассматривать только уравнение (14), то y надо считатьоднозначной функцией от x, и всякая окружность будет состоять издвух интегральных линий: верхней части окружности (при y > 0)∗ Множитель у произвольной постоянной C никакой роли не играет в силуее произвольности.4]§ 1.
Уравнения первого порядка21и нижней (при y < 0). На оси OX (при y = 0 и x 6= 0) праваячасть (14) обращается в бесконечность. В этих точках касательныек окружностям параллельны оси OY . Если переписать (14) приa = −1 в видеydx=− ,(141 )dyxто указанная особенность при y = 0 исчезает, но появляется особенность при x = 0, и надо рассматривать правые части окружности(при x > 0) и левые (при x < 0), на которых x — однозначная функция y, что требуется уравнением (141 ). Область B теоремы А дляуравнения (141 ) будет отлична от той же области для уравнения(14) при a = −1, и при применении теоремы А мы должны иметь ввиду какую-либо определенную запись дифференциального уравнения. Этого мы и будет придерживаться в дальнейшем, если нетспециальных оговорок о другой точке зрения.Можно рассматривать совместно (14) и (141 ), как мы делали впримере 1.
Эта точка зрения проведена в книге И. Г. Петровского«Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений»(Москва, 1964). Указанные неудобства при рассмотрении интегральных кривых связаны с тем, что мы рассматриваем их уравнения в явной форме: y = ϕ(x) или x = ψ(y). Если перейти кпараметрической форме уравнений интегральных кривых, т.
е. рассматривать x и y как функции вспомогательного параметра t, тоуравнение (14) заменится системой двух уравнений для двух функций x и y независимого переменного t:dx= −y,dtdy= x.dtИнтегрированием систем мы займемся в дальнейшем.Рассмотрим еще уравнение (14) при a = 1. Из (15) получаемy 2 − x2 = 2C.
Семейство интегральных кривых содержит все равнобочные гиперболы и их асимптоты y = ±x.3. Рассмотрим уравнениеdy= y2.dx(16)22Гл. I. Обыкновенные дифференциальные уравнения[4Здесь поле направлений определено на всей плоскости, праваячасть непрерывна и имеет непрерывную производную по y на всейплоскости и область B теоремы А есть вся плоскость. Через всякуюточку плоскости проходит единственная интегральная кривая, которая на всем своем протяжении не имеет общих точек с другимиинтегральными кривыми.Переменные в уравнении (16) разделяются, и общий интегралимеет вид1, или (x + C)y = −1.(17)y=−x+CЭто — семейство равнобочных гипербол, имеющих центр в точках(−C, 0) и асимптоты y = 0 и x = −C.
Кроме того, уравнение (16)имеет очевидное решение y = 0. Уравнение (17) дает две интегральные кривые (две ветви гиперболы):y=−1x+Cпри− ∞ < x < −Cи1при − C < x < +∞.x+CПервые из них при всевозможных C заполняют без пересеченийверхнюю полуплоскость (y > 0), а вторые — нижнюю (y < 0).Решение y = 0 может быть формально получено из (17) следующим образом: во второй из формул (17) заменим C на 1/C ипомножим обе части на C, что приведет к формуле (Cx+1)y = −C,откуда при C = 0 и получаем y = 0. Эта прямая вместе с упомянутыми гиперболами заполняет без пересечений всю плоскость.4. Уравнениеdy= 3y 2/3(18)dxопределяет поле направлений, как в примере 3, на всей плоскости.Переменные разделяются, и общий интеграл выражается формулойy=−y = (x + C)3 .(19)Это есть семейство кубических парабол, которое получается из параболы y = x3 параллельным переносом вдоль оси OX (рис.
2).Уравнение (18) имеет также решение y = 0 (ось OX), которое неполучается из формулы (19) ни при каком численном значении4]§ 1. Уравнения первого порядка23C ∗ . Легко показать, что никакихдругих решений уравнение (18) и1 −2/3не имеют.уравнение dxdy = 3 yУравнение (18), как мы уже упоминали, определяет поле направлений на всей плоскости XOY . Нопроизводная от правой части поy, равная 2y −1/3 , не существует(обращается в бесконечность) приy = 0. Теорема А имеет место в двухраздельных областях: в верхней полуплоскости (y > 0) и в нижней (y <0).
Эти области заполнены параболаРис. 2.ми (19) Через каждую точку (x0 , y0 )проходит только одна парабола. При этом постоянная C определяется из уравненияy0 = (x0 + C)3 ,1/3т. е. C = y0− x0 .Через точку A(x0 , 0), кроме параболы, проходит еще решениеy = 0 и единственности решения при начальном условии (x0 , 0)нет. Если мы выделим (рис. 2) сколь угодно малый промежутокx0 − δ 6 x 6 x0 + δ, то в этом промежутке определены четыре решения уравнения (18): отрезок параболы BAC; 2) отрезок DAE осиOX; 3) линия DAC, состоящая из отрезка DA оси OX и отрезкаAC параболы; 4) линия BAE, состоящая из отрезка BA параболы и отрезка AE оси OX. Все эти линии имеют уравнение видаy = ϕ(x), где ϕ(x) и ϕ′ (x) — непрерывны (вдоль этих линий угол,образованный касательной с осью OX, меняется непрерывно).
Этичетыре интегральные линии и только они существуют на промежутке x0 − δ 6 x 6 x0 + δ при любом сколь угодно малом фиксированном δ > 0. Кратко говорят, что через точку (x0 , 0) «в малом»проходит четыре интегральные кривые.Если мы возьмем какую-либо точку (x0 , y0 ) в верхней полуплоскости (y0 > 0), то через эту точку проходит единственная парабола(19) и она не пересекается с остальными параболами (19), так что∗Такие решения называются особыми24Гл. I. Обыкновенные дифференциальные уравнения[5на всем своем протяжении в верхней полуплоскости она не имеет общих точек с другими интегральными линиями уравнения (18)(единственность в верхней полуплоскости).
Но если, спускаясь поуказанной параболе, дойдем до оси OX, то там нам представляется бесчисленное множество возможностей продолжать эту интегральную линию: можно спускаться по той же параболе или идтинаправо по оси OX, а затем подниматься по другой параболе (илиидти по оси OX, не поднимаясь по параболе), т. е. через каждуюточку плоскости не «в малом», а «в целом» проходит бесчисленноемножество интегральных кривых.5. Однородное уравнение.
Однородной функцией ϕ(x, y) нулевого измерения, или просто однородной функцией, называетсяфункция только от отношения y/x, т. е. ϕ(x, y) = f xy . Характерным является также условие ϕ(tx, ty) = ϕ(x, y) [I, 154]. Однороднымдифференциальным уравнением называется уравнение видаy.(20)y′ = fxСохраняя прежнюю независимую переменную x, введем вместо yновую искомую функцию u = xy , откуда y ′ = u + xu′ .
Преобразуяуравнение (20), придем к уравнениюxdu= f (u) − u.dxСлучай f (u) ≡ u был рассмотрен в [4]. Положим f (u) /≡ u. Переменные разделяются, и, интегрируя, получаемx = Cψ(u),гдеψ(u) = e−Rduu−f (u).Возвращаясь к прежней переменной, можем написать уравнениесемейства интегральных кривых в видеy .(21)x = CψxРассмотрим преобразование подобия плоскости XOY с центромподобия в начале координат. Преобразование это сводится к тому,5]§ 1.
Уравнения первого порядка25что точка (x, y) переходит в новое положениеx1 = kx,y1 = ky(k > 0),(22)или, что то же, оно сводится к умножению длины радиуса-векторавсякой точки плоскости на k с сохранением его направления. ЕслиM есть первоначальное положение точки, а M1 — положение тойже точки после преобразования(рис. 3), тоOM 1 : OM = x1 : x = y1 : y = k.Применяя преобразование (22) куравнению (21), получим уравнение y1,x1 = kCψx1которое ввиду произвольности поРис. 3.стоянной C не отличается от уравнения (21), т. е. преобразование (22) не меняет всей совокупностикривых (21), но лишь переводит одну из кривых семейства (21) вдругую кривую того же семейства.
Всякая кривая семейства (21)может быть, очевидно, получена из одной определенной кривой этого семейства при помощи преобразования (22), если соответствующим образом выбрать постоянную k. Полученный результат можноформулировать так: все интегральные кривые однородного уравнения могут быть получены из одной интегральной кривой при помощи преобразования подобия с центром подобия в начале координат.Уравнение (20) можно переписать так:tgα = f (tgθ),где tgα — угловой коэффициент касательной, а θ — угол, образованный радиусом-вектором из начала координат с положительным направлением оси OX.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
