1610915346-ca3c42683bad539de2fd15cb675d150f (824739), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Общий интеграл уравнения Клеро y = xy ′ + ϕ(y ′ ) будетy = xC + ϕ(C).Огибающая получится исключением C из двухуравненийy = xC + ϕ(C),0 = x + ϕ′ (C).Эти уравнения совпадают с уравнениями из [11]с несущественной заменой буквы p на букву C,т. е. мы получили прежнее правило нахожденияособого решения уравнения Клеро.3. Кривая y 2 = x3 представляет собою такназываемую полукубическую параболу (рис. 10).Двигая ее параллельно оси OY , получим семейство таких полукубических парабол:(y + C)2 = x3 .Каждая из этих кривых имеет острие на осиOY , и в этом острие имеется с правой стороны касательная, параллельная оси OX.
Уравнения (82)в данном случае имеют вид(y + C)2 = x3 ,2(y + C) = 0.Рис. 10.Исключая C, получаем x = 0, т. е. ось OY . В данном случае эта осьOY не является огибающей семейства, а геометрическим местом особыхточек кривых семейства.56Гл. I. Обыкновенные дифференциальные уравнения[144. Рассмотрим семейство кривыхy = C(x − C)2 .При C 6= 0 это есть парабола, а при C = 0 — ось OX.
Уравнения (82)имеют видy = C(x − C)2 , (x − C)(x − 3C) = 0.Второе уравнение дает C = x или C = 13 x. Подставляя в первое4 3x . Первая линия y = 0 естьуравнение, получим или y = 0, или y = 27ось OX, которая содержится в самом семействе кривых, а кубическая4 3x есть огибающая семейства.парабола y = 2714. Изогональные траектории. Пусть имеется семействокривых, зависящее от одной произвольной постояннойψ(x, y, C) = 0.(84)Поставим следующую задачу: составить дифференциальное уравнение, для которого семейство (84) есть семейство общего интеграла. Уравнение (84) определяет y как функцию x и C.
Дифференцируя (84) по x, получим∂ψ(x, y, C) ∂ψ(x, y, C) ′+y = 0.∂x∂y(85)Исключая C из (84) и (85), придем к искомому дифференциальномууравнению:Φ(x, y, y ′ ) = 0.(86)Вернемся к семейству (84). Изогональными траекториями семейства (84) называется семейство кривых, пересекающихся с кривымисемейства (84) под постоянным углом ϕ.Займемся сначала определением ортогональных траекторий.По условию ортогональности, искомая кривая в точке ее пересечения с какой-либо кривой семейства (84) должна иметь угловойкоэффициент касательной, обратный по величине и знаку по сравнению с угловым коэффициентом касательной к кривой семейства(84), и, следовательно, чтобы получить дифференциальное уравнение ортогональных траекторий, надо в дифференциальномурав1′нении заданного семейства заменить y на − y′ .14]§ 1. Уравнения первого порядка57Таким образом, нахождение ортогональных траекторий приводится к интегрированию уравнения1Φ x, y1 , − ′ = 0,y1где y1 — искомая функция от x.Обратимся теперь к общей задаче изогональных траекторий, ипусть ϕ — постоянный угол, под которым искомые кривые должныпересекать кривые семейства (84).
Обозначая, как и выше, через y1ординату искомой кривой и принимая во внимание выражение длятангенса разности двух угловtgϕ = tg(ψ1 − ψ) =tgψ1 − tgψ,1 + tgψtgψ1где tgψ = y ′ есть искомый угловой коэффициент касательной ккривым (84) и tgψ1 = y1 — к искомым кривым, можем написатьy1′ − y ′= tgϕ,1 + y ′ y1′(87)где ϕ отсчитывается от кривой (84) к искомой кривой. Исключаяy ′ из последнего уравнения и уравнения (86), получим дифференциальное уравнение изогональных траекторий, которое и надо интегрировать.П р и м е р. Найти изогональные траектории семействаy = Cxm .Исключая C из уравненийy = Cxm ,y ′ = Cmxm−1 ,получим дифференциальное уравнение семейства (88):yy′ = m .x(88)58Гл.
I. Обыкновенные дифференциальные уравнения[14Подставляя это выражение для y ′ в формулу (87), получим дифференциальное уравнение искомого семействаyy′ − mx = 1,kyy ′1+mxпричем постоянную tgϕ мы обозначили через 1/k и вместо y1 написалипросто y. Это уравнение приводится к видуykm + 1′x(89)y =yk−mxи, следовательно, есть однородное уравнение [5].Если m = 1, то семейство (88) будет семейством лучей, проходящихчерез начало координат, а искомые кривые должны пересекать их под постоянным углом, т. е.
будут логарифмические спирали [I, 83] или окружности.Если m = −1, задача сводитсяк нахождению ортогональных траекторий равнобочных гиперболxy = C.(90)Уравнение (89) приводится в этомслучае к уравнению с отделяющимися переменными [4].xdy= ,dxyилиxdx − ydy = 0.Интегрируя, получим опять семейство равнобочных гипербол, толькоотнесенных к осям симметрии:x2 − y 2 = C.Как нетрудно проверить, это семейство получается из данного семейства (90), если повернуть его вокруг начала на 45◦ .
Вообще при k = 0уравнение (89) приводится к виду:Рис. 10.xdy=−,dxmy15]§ 2. Дифференциальные уравнения высших порядков. . .59и его общий интеграл будетmy 2 + x2 = C,т. е. ортогональные траектории семейства (88) при m > 0 будет составлять семейство подобных эллипсов, а при m < 0 — гипербол. На рис. 11изображены ортогональные траектории парабол y = Cx2 .§ 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯВЫСШИХ ПОРЯДКОВ И СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ15. Общие понятия. Обыкновенное дифференциальное уравнение n-го порядка имеет видΦ(x, y, y ′ , y ′′ , . . . , y (n) ) = 0,(1)или, в решенном относительно старшей производной y (n) видеy (n) = f (x, y, y ′ , y ′′ , .
. . , y (n−1) ).(2)Всякая функция y(x), имеющая непрерывные производные допорядка n и удовлетворяющая уравнению (1) или (2), называется решением этого уравнения (ср. [1]), а самая задача нахождениярешений дифференциального уравнения называется задачей интегрирования дифференциального уравнения.В качестве примера рассмотрим прямолинейное движение точкимассы m под действием силы F , зависящей от времени, положенияточки и ее скорости. Приняв прямую, по которой движется точка,за ось OX, будем, согласно сказанному, считать, что сила F естьзаданная функция времени t, а также x и dxdt . По закону Ньютона произведение массы точки на ее ускорение равно действующейсиле.
Это дает нам дифференциальное уравнение движенияd2 xdx.(3)m 2 = F t, x,dtdtИнтегрирование этого уравнения второго порядка определит зависимость x от t, т. е. движение точки под влиянием заданной силы.60Гл. I. Обыкновенные дифференциальные уравнения[15Для получения определенного решения задачи мы должны задатьеще начальные условия движения, а именно положение точки и еескорость в некоторый начальный момент времени, например приt = 0:dx|t=0 = x′0 .(4)x|t=0 = x0 ,dtДля уравнения n-го порядка (1) и (2) начальные условия состоят в задании функции y и ее производных до (n − 1)-го порядкавключительно при некотором определенном значении x = x0 :y|x=x0 = y0 ,(n−1)y ′ |x=x0 = y0′ , . . .
, y n−1 |x=x0 = y0.(5)(n−1)В этих условиях x0 , y0 , y0′ , . . . y0— определенные числа. Дляуравнения n-го порядка (2) имеет место теорема существования иединственности, совершенно аналогичная теореме А из [2]. Сформулируем ее в несколько иной форме, чем это мы делали в [2].Т е о р е м а А.
Если f (x, y, y ′ , . . . , y (n−1) есть функция своих аргументов, которые считаются все независимыми переменными, однозначная, непрерывная и имеющая непрерывные частные производные по y, y ′ , . . . , y (n−1) при значениях аргументов(n−1)(x0 , y0 , y0′ , .
. . , y0) и всех значениях, достаточно близких к ним,то уравнение (2) имеет одно и только одно решение, удовлетворяющее начальным условиям (5).Мы смогли бы сформулировать эту теорему совершенно так же,как и в [2], если бы ввели в (n+1)-мерном пространстве переменных(x, y, y ′ , . . . , y (n−1) ) область B, в которой правая часть уравнения (2)однозначна, непрерывна и имеет непрерывные производные по аргументам y, y ′ , . . .
, y (n−1) . Все эти аргументы вместе с x рассматриваются как независимые переменные функции f (x, y, y ′ , . . . , y (n−1) ).В следующей главе мы еще вернемся к этой теореме.(n−1)Изменяя в начальных условиях постоянные y0 , y0′ , . . . , y0, получим семейство решений, зависящее от n произвольных постоянных. Эти произвольные постоянные могут входить в решение и некак начальные условия:y = ϕ(x, C1 , C2 , . .
. , Cn ).(6)15]§ 2. Дифференциальные уравнения высших порядков. . .61Такое решение уравнения (2), содержащее n произвольных постоянных, называется общим интегралом уравнения (2). Оно можетбыть написано и в неявной форме:ψ(x, y, C1 , C2 , . . . , Cn ) = 0.(7)Придавая C1 , C2 , . . . , Cn определенные числовые значения, получим частное решение уравнения (2). Дифференцируя (6) или (7)по x (n − 1) раз и подставляя затем x = x0 и начальные условия (5), получим n уравнений.
Предполагается, что эти уравнения разрешимы относительно C1 , C2 , . . . , Cn при любых началь(n−1)ных данных (x0 , y0 , y0′ , . . . , y0) из некоторой области изменения(n−1)′x0 , y0 , y0 , . . . , y0. Таким образом, мы получаем решение, удовлетворяющее условиям (5). Определение особого решения то же, чтои для уравнения первого порядка. Основой дальнейшего решенияявляется теорема А.Укажем кратко распространение метода степенных рядов [8]для уравнений n-го порядка. Если правая часть (2) есть ряд, разложенный по целым неотрицательным степеням разностей(n−1)x − x0 , y − y0 , y ′ − y0′ , . . . , y (n−1) − y0и сходящийся при условии, что абсолютные значения этих разностей не превышают некоторого положительного числа, то решение,удовлетворяющее начальным условиям (5), может быть представлено в виде рядаy0 +y ′′y0′(x − x0 ) + 0 (x − x0 )2 + .
. .1!2!(8)для всех x, достаточно близких к x0 . При этом уравнение (2) совместно с условиями (5), как и в случае уравнения первого порядка, определят коэффициенты этого ряда. Действительно, подставляя в уравнение (2) x = x0 и начальные значения (5), определяем(n)y (n) = y0 . Дифференцируя затем уравнение (2) по x и подставляя(n)(n+1)x = x0 , начальные значения (5) и y (n) = y0 , определяем y0и т. д.
Можно поступать и иначе, а именно подставить в обе части62Гл. I. Обыкновенные дифференциальные уравнения[16уравнения (2) вместо y степенной ряд(n−1)y = y0 +Xy0′y(x − x0 ) + . . . + 0(x − x0 )n−1 +ak (x − x0 )k (9)1!(n − 1)!∞k=nс неопределенными коэффициентами an , an+1 , . . . Располагая правую часть по целым неотрицательным степеням (x − x0 ), сможемпостепенно определить упомянутые коэффициенты, приравниваячлены с одинаковыми степенями (x − x0 ) в обеих частях полученного равенства.16. Графические способы интегрирования дифференциального уравнения второго порядка.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
