1610915346-ca3c42683bad539de2fd15cb675d150f (824739), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Уравнения первого порядка35Подставляя в (40) и принимая во внимание равенство (41), получимдля u линейное уравнение видаu′ − [P (x) + 2Q(x)y1 ]u − Q(x) = 0.Общий интеграл этого уравнения имеет видu = Cϕ(x) + ψ(x).Подставляя это выражение u в написанное выше равенство для y,получим общий интеграл уравнения Рикатти в видеy=Cϕ1 (x) + ψ1 (x).Cϕ2 (x) + ψ2 (x)7. Способ Эйлера—Коши. В [2] мы указали приближенноепостроение интегральной кривой уравненияy ′ = f (x, y)(42)при начальном условииy|x=x0 = y0 .(43)Этот прием можно упростить, употребляя вместо сетки квадратовлишь прямые, параллельные осиOY . Получающийся таким путемприем приводит к сравнительно простому и практически удобному способу приближенного вычисления ординаты у искомой интегральнойРис.
7.кривой при заданной абсциссе. Нанесем на плоскости последовательность прямых, параллельныхOY : x = x0 , x = x1 , x = x2 , . . . , причем x0 < x1 < x2 . . .Пусть M0 (x0 , y0 ) — начальная точка интегральной кривой(рис. 7). Из нее проводим луч с угловым коэффициентом f (x0 , y0 )36Гл. I. Обыкновенные дифференциальные уравнения[7до пересечения его в точке M1 с прямой x = x1 .
Пусть y1 — ордината M1 . Она определяется из соотношенияy1 − y0 = f (x0 , y0 )(x1 − x0 ),ибо отрезки M0 N и N M1 выражаются числами x1 − x0 и y1 − y0 ,а тангенс угла N M0 M1 по построению равен f (x0 , y0 ). Из точкиM1 (x1 , y1 ) проводим луч M1 M2 с угловым коэффициентом f (x1 , y1 )до пересечения его в точке M2 с прямой x = x2 . Ординаты y2 точкипересечения определяются из соотношенияy2 − y1 = f (x1 , y1 )(x2 − x1 ).Точно так же, исходя из точки M2 (x2 , y2 ), можно определитьследующую точку M3 (x3 , y3 ) и т. д.Положим теперь, что нам надо при заданном значении x определить значение y решения уравнения (42), удовлетворяющее начальным условиям (43).
В силу сказанного выше, для этого надопоступать так: промежуток (x0 , x) разбиваем на отдельные частиx0 < x1 < x2 < x3 < . . . < xn−2 < xn−1 < x . . .(44)и последовательно определяем ординаты y1 , y2 , . . . , yn−1 по формулам:y1 − y0 = f (x0 , y0 )(x1 − x0 ),y2 − y1 = f (x1 , y1 )(x2 − x1 ),y3 − y2 = f (x2 , y2 )(x3 − x2 ),(45)....................................yn−1 − yn−2 = f (xn−2 , yn−2 )(xn−1 − xn−2 ),Y − yn−1 = f (xn−1 , yn−1 )(x − xn−1 ).При указанных в [2] условиях относительно свойств функцииf (x, y), если число промежутков увеличивается, а каждый из нихстремится к нулю, то величина Y , получаемая из формул (45), будет стремиться к истинной ординате y искомой интегральной кривой, если заданное значение x достаточно близко к начальному x0[см.
53].7]§ 1. Уравнения первого порядка37Складывая равенства (45) почленно, найдем без трудаy ∼ Y = y0 + f (x0 , y0 )(x1 − x0 ) + f (x1 , y1 )(x2 − x1 ) + . . . ++ f (xn−2 , yn−2 )(xn−1 − xn−2 ) + f (xn−1 , yn−1 )(x − xn−1 ).(46)В простейшем случае уравненияy ′ = f (x)написанная формула будет иметь видy0 +n−1Xs=0f (xs )(xs+1 − xs ),что, как известно [I, 87], дает приближенное выражение для величиныZxy0 + f (x)dx,x0т. е. для решения данного уравнения.Вычисление по формулам (45) производится в следующем порядке.
Первая из формул (45) дает разность (y1 − y0 ). Складываяее с y0 , получаем вторую ординату y1 и с помощью второй из формул (45) находим разность (y2 − y1 ). Складывая эту последнюю сy1 , получаем третью ординату y2 и с помощью третьей из формул(45) находим разность y3 − y2 и т. д. Прибавляя все эти разности кy0 , находим Y .Мы вернемся еще к этому методу в следующей главе.П р и м е р. Применим указанный приближенный метод к уравнениюy′ =xy2при условии y(0) = 1. Разделяя переменные и интегрируя, убедимся втом, что искомое решение выражается формулойy = ex2/4.38Гл.
I. Обыкновенные дифференциальные уравнения0,0,10,20,30,40,50,60,70,80,9111,0051,01511,03031,05091,07721,10951,14831,194200,050,10050,15230,20610,26270,32320,38830,45930,537400,0050,01010,01520,02060,02630,03230,03880,04590,0537[811,00251,01001,02271,04081,06451,09421,13031,17351,2244При применении формул (45) будем считать, чтоxk − xk−1 = 0, 1(k = 1, 2, . . .).В прилагаемой таблице приведены результаты вычислений с округлением в последнем знаке.
Первый столбец содержит величины x, второй —соответствующие им величины y, третий — значения xy/2, четвертый —· 0, 1, наконец последний — значения ординат точнойразности ∆y = xy22интегральной кривой ex /4 .При x = 0, 9 ошибка, как видно из таблицы, меньше 0,031, т. е. составляет приблизительно 2,5%.8. Применение степенных рядов. Дифференциальные уравнения интегрируются в квадратурах лишь в исключительных случаях. В связи с этим, кроме указанного в [7] метода приближенногоинтегрирования уравнения, применимого в весьма широком классеслучаев, изложим еще метод степенных рядов.
При его применениибудем предполагать, что правая часть уравнения (42) имеет в точке(x0 , y0 ) и ее окрестности производные всех порядков при x и y.Итак, рассмотрим уравнение (42) с начальным условием (43).Подставляя в правую часть (42) x = x0 , y = y0 , получим значениеy0′ производной y по x при x = x0 . Дифференцируя (42) по x, припредположении, что y — искомое решение, получим уравнениеy ′′ =∂f (x, y) ∂f (x, y) ′+y.∂x∂yПодставляя в его правую часть x = x0 , y = y0 и y ′ = y0′ , определимзначение y0′′ второй производной y ′′ при x = x0 .
Дифференцируя8]§ 1. Уравнения первого порядка39написанное выше равенство еще раз по x, получим, как и выше,значение y0′′′ производной третьего порядка y ′′′ при x = x0 и т. д.Если функция f (x, y) дифференцируема сколько угодно раз, мысможем определить произведение всех порядков от y при x = x0 итем самым построить ряд Тейлораy ′′y0′(x − x0 ) + 0 (x − x0 )2 + . . .(47)1!2!Возникает вопрос о сходимости этого ряда. Доказывается, чтоесли правая часть уравнения (42) представляет собою ряд, расположенный по целым положительным степеням разностей x − x0 иy − y0 [I, 161]:y0 +f (x, y) =∞Xp,q=0apq (x − x0 )p (y − y0 )q ,сходящийся, если абсолютные значения этих разностей достаточномалы, то функция f (x, y) дифференцируема сколько угодно раз призначениях x и y, достаточно близких к x0 и y0 , ряд (47) сходитсяпри всех x, достаточно близких к x0 , и его сумма y есть решениеуравнения (42), удовлетворяющее условию (43).Вместо указанного приема постепенного определения производных при x = x0 можно применить и другой прием, а именно методнеопределенных коэффициентов.
Подставим в обе части уравнения(42) вместо y степенной ряд с неопределенными коэффициентамиy = y0 + a1 (x − x0 ) + a2 (x − x0 )2 + . . .(48)Располагая правую часть по степеням (x − x0 ) и приравниваякоэффициенты при одинаковых степенях (x − x0 ), сможем определить постепенно коэффициенты a1 , a2 , . . . Ряды (47) и (48) будутсовпадать, как в этом нетрудно убедиться.П р и м е р. Найдем решение уравненияxy,y′ =2удовлетворяющее начальным условиямy|x=0 = 1,(49)(50)40Гл.
I. Обыкновенные дифференциальные уравненияв виде степенного рядаy =1+∞X[9αs xs ,s=1причем мы взяли свободный член равным единице, в силу начальногоусловия (50). Дифференцируем этот ряд:y′ =∞Xsαs xs−1 .s=1Подставляем полученные выражения вместо y и y ′ в уравнение (49):α1 + 2α2 x + 3α3 x2 + .
. . + (n + 1)αn+1 xn + . . . =1= x(1 + α1 x + α2 x2 + . . . + αn−1 xn−1 + . . .).2Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x в левой и вправой частях, получим приведенx0α1 = 0ные в табличке соотношения. Отсю11x2α2 = 2даясно, что12xx3...xn...3α3 = 2 α14α4 = 21 α2......................(n + 1)αn+1 = 12 αn−1......................α1 = α3 = α5 = .
. . = α2n+1 = . . . = 0,111, . . . , α2n =,α2 = , α4 =42!42n!4nт. е. окончательно [I, 126]1x2+y =1+42!x2421+3!x243++... +1n!x24n+ . . . = ex2/4.9. Общий интеграл и особое решение. Выше мы определили общий интеграл, как решение дифференциального уравнения,содержащее произвольную постоянную. Пусть точка (x0 , y0 ), входящая в условие (43), принадлежит области B теоремы А. Изменяяв начальном условии значение y0 , мы получим бесчисленное множество решение уравнения (42), и y0 может играть роль произвольной постоянной. При рассмотрении примеров дифференциальных9]§ 1.
Уравнения первого порядка41уравнений мы получали общий интеграл, в который произвольнаяпостоянная входила не как начальное значение y.Понятие общего интеграла, строго говоря, нуждается в дополнительных разъяснениях. Мы не будем этим заниматься, посколькуестественной основою теоретического исследования дифференциальных уравнений является упоминаемая нами выше теорема А.Кроме того, весьма редко удается выразить общий интеграл через элементарные функции или квадратуры. Естественно пониматьпод общим интегралом такое решение дифференциального уравнения (42), содержащее произвольную постоянную, из которого можно получить все решения, определяемые теоремой А при начальных условиях (x0 , y0 ), заполняющих какую-либо область плоскостиXOY .
Если общий интеграл получен в неявной формеψ(x, y, C) = 0,(51)то соответствующие значения C определяются уравнениемψ(x0 , y0 , C) = 0.Пусть имеется общий интеграл уравнения (42) в виде, разрешенномотносительно C:ω(x, y) = C.(52)В таком виде он получался для уравнения с отделяющимися переменными.
Функция ω(x, y) или равенство (52) называются обычноинтегралом уравнения (42).При подстановке в эту функцию вместо y какого-либо частногорешения уравнения (42) мы должны получить постоянную величину, т. е. интеграл уравнения (42) есть такая функция x и y, полнаяпроизводная которой по x равна нулю в силу уравнения (42).Беря полную производную по x от обеих частей уравнения (51),получим [I, 69]∂ω(x, y) ∂ω(x, y) ′+y = 0,∂x∂yили, поскольку y есть по предположению решение уравнения (42),заменяя y ′ на f (x, y), получим∂ω(x, y) ∂ω(x, y)+f (x, y) = 0.∂x∂y(53)42Гл.
I. Обыкновенные дифференциальные уравнения[9Функция ω(x, y) должна удовлетворять этому уравнению независимо от того, какое именно решение уравнения (42) мы подставляли в эту функцию. Но в силу произвольности начального условия(43) в теореме существования и единственности значения x и y могут быть какие угодно, если мы берем все решения уравнения (42),т.
е. функция должна удовлетворять уравнению (53) тождественно относительно x и y. Покажем, наконец, каким образом можнопроверить решение уравнения (42), когда оно дано в неявной формеω1 (x, y) = 0.(54)Как и выше, получаем уравнение∂ω1 (x, y) ∂ω1 (x, y)+f (x, y) = 0,∂x∂y(55)причем это соотношение должно быть выполнено во всех точкахкривой (54), т. е.
равенство (55) должно быть выполнено не обязательно тождественно относительно x и y, но лишь в силу равенства(54).Рассмотрим, например, уравнениеy′ =1 − 3x2 − y 2.2xyНетрудно видеть, что окружностьx2 + y 2 − 1 = 0есть решение этого уравнения. Действительно, в данном случаеf (x, y) =1 − 3x2 − y 22xyиω1 (x, y) = x2 + y 2 − 1,равенство (55) имеет вид2x + 2y1 − 3x2 − y 2= 0,2xyт. е.1 − x2 − y 2= 0,xи оно очевидно выполняется в силу уравнения окружности. Покажем,что общий интеграл данного дифференциального уравнения будетx3 + xy 2 − x = C.10]§ 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
