1610915346-ca3c42683bad539de2fd15cb675d150f (824739), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Всякому решению дифференциального уравнения n-го порядка соответствует некоторая линия на плоскости XOY , которую мы будем называть, как и для уравнения первогопорядка, интегральной линией (кривой) этого уравнения. Самому дифференциальному уравнению первого порядка соответствовало поле направлений [2]. Выясним теперь геометрический смысл уравнения второгопорядкаy ′′ = f (x, y, y ′ ).(10)Пусть s — длина дуги интегральной кривой и α — угол, образованныйположительным направлением касательной с положительным направлением оси OX.
Мы имеем [I, 70]dy= tgα,dxи, дифференцируя по x, получимdx= cos αds1 dα1 dα ds1 dαd2 y===;dx2cos2 α dxcos2 α ds dxcos3 α dsно dα/ds есть, как известно [I, 71], кривизна кривой1dα= ,dsR(11)и предыдущее равенство дает1d2 y= cos3 α 2 .(12)RdxЗдесь R положительно, если α возрастает вместе с s, и отрицательно,если α убывает при возрастании s.Положим, например, что ось OX направлена вправо и ось OY наверх(рис. 12).
При этом, если R > 0, то кривая будет при возрастании s16]§ 2. Дифференциальные уравнения высших порядков. . .63закручиваться справа налево(против часовой стрелки), а приR < 0 — в противоположную сторону.Согласно формуле (12), дифференциальное уравнение (10)можно переписать так:1= f (x, y, tgα) cos3 α.R(13)Отсюда видно, что дифференциальное уравнение второгопорядка дает величину радиусаРис. 12.кривизны, если заданы положение точки и направление касательной в этой точке.Из этого обстоятельства вытекает способ приближения к интегральной кривой уравнения второго порядка при помощи кривой с непрерывно меняющейся касательной и составленной из дуг окружностей. Этотспособ аналогичен способу приближения к интегральной кривой уравнения первого порядка при помощи ломаной линии [2].Положим, что начальные условия для искомой интегральной кривойy|x=0 = y0 ,y ′ |x=0 = y0′ .Отмечаем точку M0 с координатами (x0 , y0 ) и через эту точку проводим направление M0 T0с угловым коэффициентом y ′ =tgα = y0′ (рис.
13).Уравнение (13) дает нам соответствующую величину R = R0 .Отложим отрезок M0 C0 , равныйR0 и перпендикулярный к направлению M0 T0 , и из точки C0 ,как центра, опишем небольшуюдугу M0 M окружности радиуса R0 .Рис. 13.Заметим при этом, что направление отрезка M0 C0 , в силу сказанного выше, определится знакомR0 . Если, например, R0 < 0, то движение по дуге окружности от M0 кM1 должно происходить по часовой стрелке (рис.
13). Пусть (x1 , y1 ) —64Гл. I. Обыкновенные дифференциальные уравнения[16координаты точки M1 и tgα1 — угловой коэффициент касательной M1 T1к окружности, проведенной в точке M . Уравнение (13) даст соответствующую величину R = R1 . Отложим отрезок M1 C1 , равный R1 и перпендикулярный к M1 T1 , т. е. лежащий на прямой M1 C0 , причем направлениеего определится знаком R1 , и из точки C1 , как центра, опишем небольшую дугу M1 M2 радиуса R1 .
Для точки M2 так же, как и для M1 , получим из уравнения (13) значение R = R2 , отложим отрезок M2 C2 , равныйR2 и т. д.Для указанного построения употребляют линейку, в одном конце которой находится отверстие для карандаша. От этого отверстия вдольлинейки идет прямая линия с делениями, по которой отсчитывается величина R, и имеется небольшой треножник, одно отверстие которогоустанавливается в соответствующей величине R точке прямой, а два других — только на бумаге. Передвигая в точках M1 , M2 и т. д. треножниквдоль упомянутой прямой в зависимости от изменения величины R, мыне меняем в этих точках направление касательной и получаем такимобразом требуемую кривую.Укажем теперь другой способ графического уравнения (10), дающийприближенное представление интегральной кривой в виде л о м а н о йл и н и и.
Способ этот является обобщением способа, указанного намина рис. 7. Кроме y, введем ещенеизвестную функцию z = y ′ .Вместо одного уравнения второго порядка (10) мы получим тогда систему двух уравнений первого порядка с двумя неизвестными функциями y и z:dy= z,dxdz= f (x, y, z).
(14)dxСпособ, который мы изложим, применим к общему случаю системы двух каких угодноуравнений первого порядка:dz= f (x, y, z)dx(15)при начальных условияхdy= g(x, y, z),dxРис. 14.y|x=x0 = y0 ,z|x=x0 = z0 .(16)17]§ 2. Дифференциальные уравнения высших порядков. . .65Ломаные вычерчиваются на плоскости XOY , как для y(x), так и для z(x)(рис. 14). Нанесем, как и в [7], на плоскости XOY прямые x = x0 , x =x1 , x = x2 , .
. ., параллельные оси OY , причем x0 < x1 < x2 < . . . Отметим точки M0 и N0 с координатами (x0 , y0 ) и (x0 , z0 ). Из этих точекпроводим лучи с угловыми коэффициентами соответственно g(x0 , y0 , z0 )и f (x0 , y0 , z0 ) до пересечения с x = x1 , и пусть M1 (x1 , y1 ) и N1 (x1 , z1 ) —точки пересечения. Из этих точек проводим лучи с угловыми коэффициентами g(x1 , y1 , z1 ) и f (x1 , y1 , z1 ) до пересечения с прямой x = x2 , ипусть M2 (x2 , y2 ) и N2 (x2 , y2 ) — точки пересечения и т.
д.Для ординат y1 , z1 ; y2 , z2 и т. д. мы имеем формулы, совершенноаналогичные формулам из [7].17. Уравнение y (n) = f (x ). Уравнениеy (n) = f (x)(17)является непосредственным обобщением уравнения y ′ = f (x). Выясним сначала форму общего интеграла уравнения (17). Пустьy1 (x) есть какое-либо решение уравнения (17), т. е.(n)y1 (x) = f (x).(18)Введем в уравнение (17) вместо y новую искомую функцию z поформулеy = y1 (x) + z.(19)Подставляя в уравнение (17), получим для z уравнение(n)y1+ z (n) = f (x)или, в силу тождества (18),z (n) = 0.Раз производная n-го порядка должна быть равна нулю, то самафункция z есть многочлен (n − 1)-й степени с произвольными постоянными коэффициентамиz = C1 + c2 x + . . . + Cn xn−1 ,66Гл.
I. Обыкновенные дифференциальные уравнения[17и формула (19) дает общий интеграл уравнения (17)y = y1 (x) + C1 + C2 x + . . . + Cn xn−1 ,т. е. общий интеграл уравнения (17) есть сумма какого-либо частного решения этого уравнения и многочлена (n − 1)-й степени спроизвольными постоянными коэффициентами.Нам остается, таким образом, найти какое-либо частное решениеуравнения (17). Считаем, что функция f (x) непрерывна на промежутке I, содержащем некоторую точку x = x0 , и будем искать торешение, которое удовлетворяет нулевым начальным условиям:y|x=x0 = 0,y ′ |x=x0 = 0,(20). . . .
. . . . . . . . . . .y (n−1) |x=x0 = 0.Интегрируя уравнение (15) почленно от значения x0 до переменногозначения x, получимy(n−1)−(n−1)y0=Zxf (x)dx,x0(n−1)где y0есть значение y (n−1) при x = x0 . В силу последнего, из(n−1)условий (20) y0= 0, и мы будем иметьy(n−1)=Zxf (x)dx.x0Интегрируя правую часть по x еще раз в пределах от x0 доx, получим y (n−2) и т. д. и, наконец, после n-го интегрированияполучим искомую функцию. Это повторное интегрирование обычнозаписывают так:y=Zxx0dxZxx0dx . . .Zxx0dxZxx0f (x)dx.(21)18]§ 2. Дифференциальные уравнения высших порядков. .
.67Эти n повторных квадратур можно заменить одной, как мы сейчаспокажем.Напишем для y(x) формулу Тейлора с остаточным членом ввиде интеграла [I, 126]:y ′′y0′+ (x − x0 )2 0 + . . . +1!2!Zx(n−1)1n−1 y0+(x − t)n−1 y (n) (t)dt,+ (x − x0 )(n − 1)! (n − 1)!y(x) = y0 + (x − x0 )x0(n−1)где y0 , y0′ , y0′′ , . . . , y0— значения y и его производных при x = x0и буква t обозначает просто переменную интегрирования.
В силуначальных условий (20)(n−1)y0 = y0′ = y0′′ = . . . = y0= 0,а, в силу дифференциального уравнения (17), y (n) (t) = f (t), такчто вышеуказанная формула Тейлора дает1y(x) =(n − 1)!Zxx0(x − t)n−1 f (t)dt.(22)Итак, формула (22) дает решение уравнения (17) при нулевыхначальных условиях (20) или, что то же, дает выражение повторного интеграла (21) в виде однократного интеграла.Прибавляя к решению (22) многочлен (n − 1)-й степени с произвольными коэффициентами, получим общий интеграл уравнения(17). Заметим, что в правой части формулы (22) x входит как вверхний предел интеграла, так и под знак интеграла.
Интегрирование совершается по t, и при этом x считается постоянным. Формула(22) справедлива, очевидно, и при n = 1, если считать 0! = 1.18. Понижение порядка дифференциального уравнения.Укажем несколько частных случаев, когда порядок уравнения может быть понижен.68Гл. I. Обыкновенные дифференциальные уравнения[181.
Положим, что уравнение не содержит функции y и ее нескольких последовательных производных y ′ , y ′′ , . . . , y (k−1) т. е. имеет видΦ(x, y (k) , y (k+1) , . . . , y (n) ) = 0.Вводя новую функцию z = y (k) , понизим порядок уравнения наk единиц:Φ(x, z, z ′ , .
. . , z (n−k) ) = 0.Если найдем общий интеграл этого последнего уравненияz = ϕ(x, C1 , C2 , . . . , Cn−k ),то y определится из уравненияy (k) = ϕ(x, C1 , C2 , . . . , Cn−k ),рассмотренного нами в [17].2. Если уравнение не содержит независимой переменной x, т.
е.имеет видΦ(y, y ′ , y ′′ , . . . , y (n) ) = 0,то примем y за независимую переменную и введем новую функциюp = y′.Считая, что p есть функция от y и через посредство y зависитот x, и применяя правило дифференцирования сложных функций,получим для производных от y по x выраженияdpdp=p,dxdy 2dpd dpd2 p 2d dp′′′y =p =p p = 2p +p,dx dydy dydydy......................................................y ′′ =откуда видно, что в новых переменных порядок уравнения будет(n − 1).Если это преобразование проинтегрированоp = ϕ(y, C1 , C2 , .
. . , Cn−1 ),18]§ 2. Дифференциальные уравнения высших порядков. . .69то нахождение общего интеграла данного уравнения приводится кквадратуреdy = pdx = ϕ(y, C1 , C2 , . . . , Cn−1 )dx,откудаZdy= x + Cn .ϕ(y, C1 , C2 , . . . , Cn−1 )Одна из произвольных постоянных Cn входит в качестве слагаемого к x, а это равносильно тому, что всякую интегральную кривуюможно перемещать параллельно оси OX.3.
Если левая часть уравненияΦ(x, y, y ′ , . . . , y (n) ) = 0есть однородная функция [I, 154] аргументов y, y ′ , . . . , y (n) , то, вводявместо y новую функцию u(x) по формулеy=eRudx,получим для u уравнение (n − 1)-го порядка. Это следует из следующих очевидных формул:y′ = eRudxu,y ′′ − eRudx(u′ + u2 ), .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
